La fonction résolvante d'Abel se met sous la forme

VJ^^ e{.-..pl..<,%)

Nous supposerons mainfeeiiant que l'on attribue à chacune des lettres

/? et g' les n valeurs consécutives •,■•••> — i, o, -f-i,...,

Considérons le produit des dénominateurs; les nombres 2/? donnant pour résidus par rapport à w les /i nombres consécutifs —

— 1, o, I,..., » et la fonction B ne changeant pas quand l'argument augmente ou diminue de w, ce produit est égal à

c'est la fonction B[nz), multipliée par un facteur constant (n** 331). Nous pouvons représenter deux racines quelconques de l'équation

binôme x" — 1 par a — e"^, |3 = 6"^', a et b étant deux nombres entiers. La fonction holomorphe

satisfait aux relations

La fonction holomorphe

satisfaisant aux relations

est égale à la fonction 0,{nz)^ multipliée par un facteur constant (nM50). On en déduit

(^{z) = ke-^-^ e,(nz ~ b- ~ a-\, \ n n /

et, par suite,

Iiil£?- / .03 w'\

" 6,{nz — o « —

Q{nz)

On connaît ainsi les zéros de la fonction doublement périodique R(ï), aux périodes aw, w'; ils sont donnés par la formule

dans laquelle « et 6 sont deux nombres entiers constants, caractérisant les deux racines a et /3 de l'équation binôme x" — y, p et q deux nombres entiers arbitraires. On déterminera la constante A en faisant

z = —: on trouve

[b- -ha—) \ n n )

379. Considérons maintenant la résolvante R(2, a ', |3- '); d'après la formule (6), on a

les /i'^""^* puissances des deux résolvantes R(s, a, |3), R(s, a~^', |3~') sont donc des quantités conjuguées M +NX'(wz), M — NX'(/î-). Pour avoir l'expression de la seconde résolvante, il suffit de cbanger les signes des nombres entiers « et 6 dans la formule (i4); la constante A

ne change pas; on en déduit

QAnz — b a—\Qi\nz^b--\-a —

6'{nz) et, par suite, en vertu de la seconde des relations (7) du n° 329,

Les radicaux conjugués se ramènent ainsi l'un à l'autre.

En élevant les deux membres de l'équation (16) à la /i'^'"^ puissance, on obtient la relation

Si Ton pose M — 7i"Mo N — n"N,, p — llb^^ + a^]^ cette relation devient

(17) M?-Nî(i-j')(i-/r'r=) = (r'-p')".

Elle peut faciliter le calcul des polynômes M, et N, en y: le premier, qui est impair et du degré n, renferme coefficients; le second,

qui est pair et du degré 72 — 3, en renferme -i ce qui, avec p, fait

n + i inconnues. L'identification des deux membres donne n-hi équations entre ces inconnues. Mais la constante p est l'une des racines oo^ autre que zéro, de l'équation (i), dans laquelle on fait y ^ o. Comme à chaque valeur de p^ correspond un couple de polynômes M^ et N,, les coefficients pourront s'exprimer rationnellement à l'aide de p^, en tenant compte de l'équation qui détermine cette quantité. On retrouverait d'ailleurs cette équation en éliminant les n coefficients des polynômes Ml et N, entre les 72 -h i équations provenant de l'identification.

Multiplication de la première période par un nombre impair.

380. Dans le Chapitre précédent, nous avons trouvé les expressions de X(s, -5 (ù'\ et de X(z, w, — j en fonction de X(2, w, w'). Il s'agit

maintenant, connaissant llz, -, w'J ou X(z, «, — ]? de trouver

Proposons-nous d'abord, connaissant y = llz, -, w'j> de trouver x = X(2, w, &)'); on a l'équation du /i"^'"*" degré (n° 349)

Les /i valeurs de l'inconnue sont comprises dans la formule

(19) x = llz-h^p^^U

dans laquelle/? reçoit n valeurs entières consécutives.

On voit, comme au n'* 372, que l'équation a des racines égales lorsque

la quantité donnée j est égale à ± i ou à liir-* Quand le nombre entier est pair, si j — i , l'équation admet la racine simple a; = i ,

et toutes les autres racines sont doubles ; si j = y- > elle admet la racine

a7= 7» et toutes les autres racines sont encore doubles. On en conclut que les polynômes pairs $ et $, satisfont aux deux identités

(20) (e-^^$, = (i-^)G% (S-^fi\x(S,=z(i-kx)E'y

G et H étant des polynômes entiers du degré 5 et à celles qu'on en

déduit en remplaçant x par — x. Quand le nombre est impair,

on a les deux identités

(20') (î^-^a;(S^ = (i-i-x)G\ ^-^k,x(Si={i-hkx)E\

Pour résoudre l'équation (18), nous nous servirons de la fonction (21) ^(z,a)= \ aPllz -i-p —

800 LIVRE Vil. - CHAPITRE V.

qui, comme la fonction R(z, «, p), satisfait aux relations

Cette fonction admet les deux périodes 2w, w'; mais la fonction

f{z) = [a(z)]«, qui satisfait aux relations

admet les périodes — 5 w'; elle a d'ailleurs les mêmes infinis que la

fonction llz, -? w'j 5 aux mêmes périodes, chacun au degré n. On a donc

(22) f{z)=:OVu-hSfLl'(z,^^, oAy

OTO etx étant des polynômes entiers en liz, --, wM ? le premier impair et du degré n, le second pair et du degré « — 3 au plus. On en déduit

(23) ^(i!,a)r^ S a/'X(z H-;?^") = y/OlL + ^a'^s, ^\ co').

A chaque racine a de l'équation binôme ^r" — i correspond une équation analogue à la précédente. D'après la formule (18) du n** 354, l'équation qui se rapporte à la racine a = i a pour second membre ^^Xf^, -»w'|« Si l'on ajoute membre à membre ces n équations,

chacun des termes Xiz+p—X-, dans le premier membre de l'équation résultante, aura son coefficient nul, excepté le terme \{z)y dont le coefficient sera égal à tz, et l'on obtiendra la formule

(.4) i(z,.,.')--Mj^-,{z,l,J) -i-:^^a,L + w(.,i; qui renferme n — i radicaux.

DIVISION DE L'ARGUMENT. î59f

La méthode suivie au n** 376 permet de calculer les polynômes 3îl et 3^. Si l'on développe chaque terme, la fonction ^{z) se compose de deux parties, l'une égale à une fraction rationnelle en X(z), l'autre égale au produit de W{z) par une fraction rationnelle en X(z). II en sera de même de la fonction f{z) = [.^(-s)]"- De la dérivée de

l'expression de X Iz, -■> w') par une fraction rationnelle en X(2), on

déduit X'(z) égale au produit de XMz, - j par une fraction rationnelle

enX(z); la secoi5de partie deviendra ainsi égale au produit de X(z, - j par une fraction rationnelle en X(z), et l'on aura

A, B, C étant des polynômes entiers en X(s).

La fonction /(z) ne changeant pas quand on remplace z par

z -i- p — ') les fractions rationnelles j^' tt ne changent pas quand on

remplace X(z) par l'une quelconque des valeurs de oc données par la formule (19). On prendra, pour chacune de ces fractions, la moyenne arithmétique de ses valeurs quand on y remplace X(z) successivement par les/i racines de l'équation (18); cette moyenne arithmétique, étant une fonction symétrique des racines, s'exprime rationnellement à l'aide des coefficients de l'équation et, par conséquent, à l'aide de la

quantité donnée J — X (z, - ) et des deux constantes F et X- ( — j • On

arrive ainsi à la forme (22).

381. On peut ramener à un seul les /i — i radicaux que renferme la formule (24). Désignons par a une racine primitive de l'équation binôme x" = i et par a'" une racine quelconque. La fonction

(25) ¥iz)r=r[Si{z,a)]"-^Si{z,ocn,

satisfaisant aux relations

Y(z-h'^\=i-iY¥iz), ¥iz-hr^') = ¥{z).

admet, dans tous les cas, les deux périodes -^, w'; elle a les mêmes

infinis que la fonction llz, -? w'J ? aux mêmes périodes, chacun au degré n — r -h i; on a donc

P et Q étant des polynômes entiers en X iz, - j • Quand r est pair, le

premier polynôme est pair, le second impair; c'est le contraire qui a Ireu quand r est impair. Il en résulte que le premier polynôme est du degré n — r-j- u le second du degré n — r — i an plus. On les calculera comme on a calculé les polynômes oïL et 3iL. On déduit de là

P -f-QX' (z,-

Les n — I radicaux se ramènent ainsi au radical S{.{z, a), et la formule (24), après la substitution, ne donne plus que les n valeurs de l'inconnue.