La résolvante peut être mise sous la forme (n

Concevons que l'on réduise les n fractions au même dénominateur, et prenons pour dénominateur commun la fonction ^iz, -, w'J- Le numérateur, ou la fonction holomorphe

satisfaisant aux relations

(\ vi / 10' to \

inr.i

si l'on pose, comme précédemment, a = e~«~, est égal à la fonction 3^1 (z — a — 5 -5 w'j» multipliée par un facteur constant (n** 150). On a donc

>IIT. z l

{28) jK{z,ix)=,Xi — ^ — 7 "- — '-\ ~ =X

On connaît ainsi les zéros de la fonction ^(z, a); ils sont donnés

par la formule z = a hp~ -i- çcù'. En faisant z = — » on trouve

La résolvante a (2, a~') étant égale à — si{— z, a), les /i'''"** puissances des deux résolvantes a(z, a), éi{z, a~*) sont des quantités

conjuguées OlL + —3^X'( 2, -h 01L — —xX'fz, -)• Pour avoir l'ex-

pression de la seconde résolvante, il suffit de changer le signe du nombre entierfldans la formule (28); on en déduit

ù f w' W Au/ ^'' ^> f\

et par suite (n° 329)

(3o) ^(z,a)a(z,a-} = (^y[x^(z, ^, co'] -V(«'^,^, co')].

Les radicaux conjugués se ramènent ainsi l'un à l'autre.

Si l'on pose on = (^VoiL, . ^ = ^^V'j;^,, p, :=.x(a^, ^\ w'). en élevant les deux membres de l'équation précédente à la n'^'"" puis-

sance, on obtient la relation

(3i) ^i - OL'Ai - f) (i - 1(]y^) - [y-- p\)%

qui a la même forme que la relation (17), et qui pourra servir dans le calcul des coefficients des polynômes aiL< et 3^, , à l'aide delà constante p, , que l'on regardera comme connue; à chaque valeur de /j, correspond un couple de polynômes.

Multiplication de la seconde période par un nombre impair.

383. Le même raisonnement s'applique à la multiplication de la seconde période. En désignant par 7 la quantité donnée Xiz, w, — ) et par x l'inconnue ^{z, w, w'), on a l'équation du /î'^'"^ degré (n" 351)

Les valeurs de l'inconnue sont comprises dans la formule

L'équation a des racines égales lorsque la quantité donnée j est égale à ± I ou à ± ^', quand j = i , elle admet la racine simple ^r = i et toutes les autres racines sont doubles; quand y= t-î elle admet la racine simple a? = t- et toutes les autres racines sont encore doubles.

On en conclut que les polynômes $' et <ï'i satisfont, quel que soit le nombre impair n, aux deux identités

(33) f'. ii^^ -,(i^)G% (^ï:'-^k,x(^,={x-kx)\\\

G et H étant des polynômes entiers en x du degré

DIVISION DE L'ARGmŒNT. S95

Od résoudra l'équalion (32) à l'aide de la fonction

qui satisfait aux relations

^(z4-w) = -^(z), ^(2 + — ) =(3-51(2). La fonction

qui satisfait aux relations

admet les périodes 200, — » et l'on a

(35) f{z) = Dïi'-h-Sf^'vlz,(à,'^\,

Cfïi' et 01:,' étant des polynômes entiers en X (z, w, — j > le premier impair et du degré /i, le second pair et du degré /i — 3 au plus. On en déduit

(36) .!a(2,(3)--= y ^ilfz-^-q"^] =UDrL'-i--^^'l'lz,oi,'^

et par suite

On calculera les polynômes 31l' et X' comme les précédents. On peut de même réduire les ti — i radicaux à un seul par la relation

^ étant une racine primilive de l'équation binôme x" = i .