La résolvante peut être mise sous la forme

„T ^ iz -1- q — \ 7=--- - V ^ n )

Concevons que l'on réduise les fractions au même dénominateur, et prenons pour dénominateur commun Oizy w, — )•, le numérateur, ou la fonction holomorphe

cp(z)r^.!a(2, (3)0^^,0), ^),

satisfaisant aux relations

si l'on pose ^ = e « , est égal à la fonction OAz~b-'> w, — )» multipliée par un facteur constant. On a donc

0Az — b--,(,^,—\ , . âAz —b -■> M,—\

0» connaît les zéros z — b^ -\- pu -\- q~ de la fonction Si{z, |3). En faisant z — — , on trouve

La résolvante ^(z, |3~') étant égale à — Ji(— ij, |S), les /^'^""■* puissances des deux résolvantes S^[z, p), .a (s, ^''') sont des quantités

conjuguées arL'+ — Jb'X'lz, — ) » 31l' o^'XMz, — j- On a d'ailleurs

et les radicaux conjugués se ramènent l'un à l'autre. Si l'on pose 31L'= {^)'0K\. s^'= (^')"*'.- P>->(*^' "■ ^) • »n «btient la relation

(42) 01L',»-X-(r-j')(i-;^^jy-)r^(j'-pî)«,

analogue à la relation (3i), et qui pourra servir dans le calcul des coefficients des polynômes Dïl' et DX,' à l'aide de la constante pa, que l'on regardera comme connue. A chaque valeur de p-i correspond un couple de polynômes.

Les trois relations (17), (3i) et (42) ont la même forme; chacune d'elles renferme le module de la fonction donnée; elles diffèrent par la signification de la constante p,

385. Remarque. — Nous avons traité le problème de la division de l'argument par un nombre impair n, en résolvant une équation du degré n^. On peut traiter la même question en résolvant successivement

deux équations du degré n. On donne j = X(/iz, w, w') = X (z, -, — ) ;

cherchons d'abord i = X(z, -? w'j ; c'est la multiplication de la seconde période par n (n° 383). On a à résoudre l'équation du n'^"'" degré

La formule (37) devient

(43) t r= 1!L {y.+ 2"^0]L',-^ dl,\àf).

glffl

b98 LIVRE VII. - CHAPITRE V.

Les polynômes DXi\ et 2fc\ en 7 satisfont à la relation

(44) s/ïi',^ - dL\'{i - x'){i - k'r') =ir' - pl)"'

Connaissant ^ = XU, -, w'j 5 on cherchera ensuite a? = X(z, w, w');

c'est la multiplication de la première période (n° 380). On a à résoudre une seconde équation du n^*'"'^ degré

"n[-.fs]-'H['-""("-)i=^"^

La formule (24) devient

(45) x:^.^^{t-\^l "sJîfiL, + m., M).

Les polynômes Oïï^, et 3^, en t satisfont à la relation

(46) D\L] -dmi- p){y- k] p) = [t'-pi y,

où ^,=:r>. («.— 5 -» 0)'] ••, cette dernière constante est une fraction rationnelle de Xla-^ (W, w'j • D'après les formules du n*^ 349, les deux constantes k. et — sont des fonctions rationnelles de X( ~ ) • Ainsi toutes

g ^ \nj

les constantes qui entrent dans ces calculs s'expriment rationnellement au moyen du module donnée et des deux constantes Xf-U >,( — );

ceci est bien d'accord avec ce que nous avons dit au n** 376.

Appliquons cette méthode au cas où n — 3. Les deux formules (43) et (45) renferment chacune deux radicaux conjugués, qui se ramènent immédiatement l'un à l'autre, en vertu des relations (3o) et (40'' ^"

a donc

DIVISION DE L'ARGUaŒNT. S99

Le calcul des polynômes n'offre aucune difficulté. L'identification des deux membres de l'équation (44) ou (46) donne

On peut supposer a — b = i, d'où p. — ^(1)» pi = ^(t' |)'

Calcul de X

386. Les formules précédentes renferment rationnellement le module ^ et les constantes Xm- H X-( — )5 ces dernières quantités sont

deux des racines de l'équation P, =0, à laquelle se réduit l'équation (i), quand on y fait j = o, et qu'après avoir supprimé la solution a? = o on regarde x^ comme l'inconnue. Nous savons former le

polynôme pair P, du degré — — - par rapport à x- ; les coefficients sont

des polynômes entiers en P, qui ont eux-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Nous nous bornerons, dans l'étude de cette équation, au cas où le nombre impair n est premier et nous poserons n = im -\- 1 . Nous supposerons en outre le multiplicateur g égal à l'unité.

Les racines de l'équation P, = o, qui est du degré m(/i -1- i), sont

représentées par la formule £c- = X- (/? - + ^ — ) » dans laquelle/? et q

désignent deux nombres entiers quelconques. On peut remplacer les nombres p Qi q par leurs résidus relatifs au diviseur n, et prendre ces résidus positifs ou négatifs, de manière que leurs valeurs absolues soient inférieures ou égales à m; d'ailleurs on peut supposer l'un d'eux positif. Nous obtiendrons donc toutes les racines en combinant avec q = o les m valeurs positives 1 , 2, . . . , m de />, et avec les m valeurs positives 1 , 2,. . . , m xle gr les /i valeurs consécutives o, ±: i ±2,. . . , ± m

de/?. Les m premières racines sont comprises dans la formule X^{/?—) - Les w/i suivantes peuvent être représentées par la formule X- ( q - — ^-^ ] >

t)00 LIVRE VII. - CHAPITRE V.

dans laquelle t reçoit n valeurs entières consécutives; car les n multiples consécutifs du nombre 2^ premier avec n donnent pour résidus par rapport à n les ti nombres o, ± i , i 2, . . . , ± m; de cette manière, nous disposerons les m{n -h i) racines en /i -h 1 suites, comprenant chacune m racines. Les racines de la première suite sont données

par la formule V f/^--)' dans laquelle p varie de i à m; celles d'une

autre suite par la formule X- Ip j » dans laquelle t est un nombre

constant et/? varie de i à m. Désignons, en général, par e Tune des n -\- 1 quantités -> , les m racines d'une suite quelconque seront

Remarquons que, si l'on remplace e par as, a étant un nombre entier premier avec n, ces m racines se reproduisent dans un autre ordre.

387. Cela posé, appelons ^ une fonction symétrique et rationnelle des m quantités de la suite (47)» et concevons que dans cette fonction on remplace les quantités X'^(2e), X^(3e), . . . , ^^{mi) parleurs expressions rationnelles à l'aide de ^' et de X*(£), d'après les formules relatives à la multiplication de l'argument, ^ sera une fonction rationnelle de kr et de X-(e), que nous désignerons par F[X^(e)]. Supposons que, dans l'expression de la fonction |, on remplace e par as, a étant un nombre entier, positif, inférieur ou égal à m; comme nous venons de le remarquer, les m quantités de la suite (47) se permutent, et, par conséquent, la fonction symétrique^ de ces m quantités conserve la même valeur; on aura donc

, Fp(ae)]=--F[X'(e)].

Ainsi, la fonction Y(x^) jouit de cette propriété de conserver la même valeur, quand on y remplace x"^ par l'une quelconque des m racines d'une même suite. La fonction ^ est donc égale à la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction F, portant successivement sur les m racines de la suite, et l'on a

DIVISION DE L'ARGTOIENT. 601

La quantité ê ayant n -\- i valeurs différentes, la fonction | a ellemême n -h I valeurs différentes, une pour chaque suite. La somme de

ces n -h I valeurs de |, savoir — 22F(^-), est une fonction symétrique

et rationnelle des m(n -+- i) racines de l'équation P, = o; elle s'exprimera donc rationnellement au moyen des coefficients de cette équation, c'est-à-dire au moyen de k'.

Toute autre fonction symétrique et rationnelle des m quantités de la suite (47) jouira des mêmes propriétés; elle aura n + i valeurs, dont la somme s'exprimera rationnellement au moyen de k-. Telles sont les

fonctions 1^^% On en conclut que les coefficients A,,Ao ,

A„+, de l'équation

du degré /i+ i, qui admet pour racines les /i -f- i valeurs de S, sont des fonctions rationnelles de P.

Une autre fonction symétrique et rationnelle yj des quantités de la suite (47) satisfera à une équation analogue à la précédente ; mais, comme à chaque système de valeurs de k^ et de | correspond une seule valeur de vj, on conclut, d'après un raisonnement pareil à celui du n*' 182, que vj s'exprimera rationnellement au moyen de P et de Ç.