Considérons maintenant l'équation

(49) «"■ — B, II"- ' 4- BîM™--' — ,..., =t B„, = o

du degré m, dont les racines sont les m quantités de la suite (47 )•

D'après ce que nous venons de dire, les coefficients BjjBo B;„ de

l'équation, étant des fonctions symétriques et rationnelles de ces quantités, s'expriment rationnellement au moyen de P et de |.

Cette dernière équation peut être résolue par la méthode d'Abel. Appelons, en effet, a une racine de l'équation binôme ac'" = i, et /• un nombre entier, inférieur à n, et qui soit racine primitive de ce nombre premier n. Puisque /""' ou /-'" donne le résidu i par rapport au diviseur n, r"* donnera le résidu — i ; il en résulte que les puissances r", r', /■-,..., r"'-' donnent pour résidus les m premiers nombres

I, 2,..., m, affectés chacun de l'un des signes + ou — ; d'après cela, les Tn quantités de la suite (47) seront représentées par la formule x^ = \'^{f{), dans laquelle on attribue à l'exposant s les m valeurs o, I, 2,..., m — I.

La fonction

satisfaisant à la relation

la fonction /(e) = [c'a(£)]"' satisfait à la relation

nrt)--=f{t).

Si l'on remplace les quantités ^^(r^s) par leurs expressions rationnelles au moyen de P et de "^^^U), comme nous avons fait précédemment, la fonction ,a(s) deviendra une fonction rationnelle de ^^ et de X^(£): il en sera de même de la fonction/(e); nous désignerons cette dernière fonction, ainsi transformée, par iJ^[X'*(£)]. A cause de la relation/(r'£) =/{s), la fonction <^ conserve la même valeur quand on y remplace la racine X^(e) par une autre racine quelconque X'^(r^£) de la suite (47)- La fonction/(£) est donc égale à la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction tj; portant successivement sur les m racines de la suite, et l'on a

A :^^ fft — I

Le second membre, étant une fonction symétrique des racines de l'équation (49)» s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients de cette équation : ce sera donc une fonction rationnelle M de P et de ^. On en déduit

A chaque racine de l'équation binôme x'" = i correspond une équa-

tion analogue à la précédente. Le second membre de l'équation qui se rapporte à la racine a — i est égal à la somme des racines de l'équation (49)» c'est-à-dire à B<. En ajoutant membre à membre les m équations ainsi obtenues, on arrive à la formule

(52) ar^a;*==X'(e)=-(B, + 2'(^M),

qui renferme m — i radicaux.

On ramène ces radicaux à un seul en observant que, si a est une racine primitive de l'équation binôme a;"' =: i, l'expression

^1(6, or)"-' ^(£,«0

est une fonction symétrique des racines de l'équation (49) et, par conséquent, une fonction rationnelle de hr et de \.

Ainsi, la résolution de l'équation P, = o du degré m (/i -f- 1 ), par rapport à l'inconnue a;% est ramenée à la résolution d'une équation (48) du degré n -1- i par rapport à une inconnue auxiliaire ^, de telle sorte que les valeurs de x' s'expriment par des radicaux à l'aide des n + \ valeurs de ë. ^

389. Étant donnée une fonction elliptique X(z, ^), dont le multiplicateur est égal à l'unité, nous avons vu (n^'SGS) que la division par un nombre impair et premier n de l'une quelconque des périodes définies par les relations (4i) du n° 360 donne n 4- i fonctions différentes, savoir: la fonction X(s, -> w J et les /z fonctions X(z, w, - — ^-^)> t recevant n valeurs entières consécutives. Si l'on désigne, comme précédemment, par £ l'une des n-\-\ quantités -» ? on déter-

minera le module kf et le multiplicateur gf de ces diverses fonctions par les formules

établies aux n**^ 349 et 351. Le carré k\ du module k^, étant une fonc-

tion symétrique et rationnelle des m quantités de la suite (47) et ayant n -r I valeurs, satisfait à une équation du degré « + i, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de k^ . On pourra s'en servir comme d'une inconnue auxiliaire pour résoudre l'équation (49)- Le multiplicateur g^ , qui est aussi égal à une fonction symétrique et rationnelle des quantités de la suite (4?)» s'exprimera rationnellement au moyen de k- et k\. Les polynômes ^ et $<, (P'et^i, entiers par rapport à la fonction donnée \[zy k), et à l'aide desquels on obtient les

fonctions XU, —■> w'j? X (z, co, ~)' ont pour coefficients des

fonctions symétriques et rationnelles des mêmes quantités; ces coefficients s'exprimeront rationnellement au moyen de k- et k'\.