CHAPITRE PREMIER
FORMtJLB6 DE TRANSFORMATION.
390. Dans le Chapitre I du Livre VI, nous nous sommes proposé, étant donné un polynôme Y du quatrième degré en j, de trouver une
l'onction rationnelle y de x, telle que l'expression différentielle --l- se
doc
transforme en une autre — ^^ X étant un polynôme du quatrième degré
en Xy et nous avons examiné spécialement les transformations qui donnent au nouveau polynôme X la forme canonique [\~oc-)[\—'k-x-). Supposons maintenant que les polynômes X et Y aient tous deux la forme canonique, et considérons l'équation différentielle
/ X c(r dx
Si l'on y joint la condition initiale y = y^ pour a? = o, cette équation définit une fonction j de x. On donne le module k\ lorsque les deux quantités^, et ^, sont prises arbitrairement, la fonction y de x est, en général, transcendante. Abel s'est proposé de rechercher dans quels cas j est une fonction algébrique de x, et de la déterminer [Œuvres complètes) .
Désignons, pour abréger, par Aa? le second radical, par A, j le premier, et posons
dx r'" dy
r^ dr
nous aurons
(2) x — l{z,i, If), /=>.(z + a, g-,, /r,),
Soit (2w, &)') un couple de périodes elliptiques de la fonction oo, dont le module est k et le multiplicateur égal à l'unité, (aw,, co'J un couple de périodes elliptiques de la fonction y, dont le module est k, et le multiplicateur g,. A une valeur de'x correspondent les deux séries de valeurs de z représentées par les formules z 4- 2mu ■+- m'co', &) — z-4- 2wwH-/n'w', où met m' sont des nombres entiers quelconques; pour qu'à ces valeurs correspondent un nombre fini de valeurs dey, il est nécessaire que certains multiples de 2Cu et de w' soient respectivement égaux à des sommes de multiples de 2^0, et'de œ'j, et, par conséquent, que les réseaux construits sur les deux couples de périodes aient un réseau de sommets communs (n° 175). On doit donc avoir entre ces deux couples de périodes des relations de la forme
2Û --2ÛM -H èw' :^ 2a, w, ^- 6, w', ,
£2' ::= 2 a' W + 6' W' = 2 fl', w, + h\ w', ,
a, b,. . . étant des nombres entiers, et 2O, Q' les périodes d'un réseau formé de tous les sommets communs. Nous avons vu (n° 177) que, réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, les variables x et y sont liées par une équation algébrique du degré 2N, par rapport à a? et du degré 2N par rapport à /, N et N, étant les déterminants dz [ah' — ba'), d- («, b\ — è^ a\). Les coefficients de i dans les deux
rapports — ? — étant positifs, les deux déterminants ont le même
signe; on peut les supposer positifs.
Nous avons démontré (n** 176) que, lorsque deux réseaux (2w, w'),
FOHMULES DE TRANSFORMATION. 607
(2w,, w'J admetlent un réseau de sommets communs, il existe un réseau (se, e') auquel appartiennent tous les sommets des deux réseaux proposés, de sorte que l'on a
2&) — 2/>e -f-^e', aw, = 2^1 e 4- g, e'.' «' = ^p' e + q'e, m', = 2p\ t -+■ q\ t' ,
p^q,... étant des nombres entiers, et, quand la maille de ce réseau (22, s') est la plus grande possible, les déterminants pq' — qp\ P\(\^ ~ qip\ sont égaux respectivement à N, et à N. En vertu du tbéorème du n" 179,
la relation qui existe entre les deux fonctions paires Xf- h- s, e, e' j ,
, w, w'j est du premier degré par rapport à la première et du
degré N, par rapport à la seconde; il en résulte que la fonction
u = X ( ^ ~ ^^ + z, e, e'\ est égale à une fraction rationnelle du degré N,
par rapport à la fonction x = 'k(z, «, «'). De même, la fonction
(^ = X( ^~~"' + z 4- a, £, gj est égale à une fraction rationnelle du
degré N par rapport a la fonction j= l(z + a, «,, w'J. Désignons par ki et g^ le module et le multiplicateur de la fonction X (z, e, s') ; si
1 on pose Ç = \- z, a — - — -+- a, on a
M = X(Ç, s, e'), f = X(Ç -f- a', e, e'), d'où
en appelante la constante X(a', e, s'). Telle est la forme sous laquelle on peut mettre la relation algébrique qui existe entre x et j; le premier membre est une fonction rationnelle de y, le second membre une fonction rationnelle de 00 et d'un radical carré portant sur un polynôme entier en x. Le problème d'Abel revient ainsi à la recherche des fonctions rationnelles u de ^ et t' de y, satisfaisant aux équations différentielles
du dx dv dy
Dans la première équation, on donne k, et il faut déterminer g^, k^ et la fonction uàn x-, dans la seconde, g^ et k^ étant connus, il faut déterminer gi, k^ et la fonction ç' de j.
391. Ordinairement, on donne le nom de transformation à la résolution de cette question particulière : trouver une fonction rationnelle j de X qui satisfasse à l'équation différentielle
dr dx
dans laquelle le module k est connu, et les deux constantes ^, et k^ inconnues. Jacobi a donné, en même temps qu'Abel, la solution de ce problème [Fundamenta nova).
En désignant par a une constante, nous avons vu que x et y sont des fonctions elliptiques d'une même variable auxiliaire z,
(2) X=l{z,l,If), X—l{z-i-OC,g„kr),
et nous avons appelé (2«, w') un couple de périodes elliptiques de la première, (aco,, œ'J un couple de périodes elliptiques de la seconde. Pour que l'équation entre x et y soit du premier degré par rapport a y, il est nécessaire, d'abord, que le nombre N soit égal à i et, par conséquent, que les deux réseaux {10^, w'), (2Û, Ù') coïncident; on doit donc avoir
(4) 2M = 2a W, 4- 6w', , &)' rrrz 7.a'(t\i~^ b'o)\.
A une valeur de x correspondent deux valeurs 2 et w — ^ de la variable z; il faut que les deux valeurs correspondantes de j, savoir :
X(2 + a, M,, w',), )i[w+2a — (2 -4- a), Wi, &/,],
soient égales, ce qui exige que la constante a soit de la forme
(5) a — — (« — i) o-^i + pco, -h <7 — »
petq étant des nombres entiers. Quand ces conditions sont remplies.
y est égal à une fonction rationnelle de a?; le déterminant positif n = ab' — ha! indique le degré des polynômes entiers qui composent la fraction, ou du moins le degré de celui des deux polynômes qui est du degré le plus élevé; c'est ce qu'on appelle le de^rè de la transformation.
392. Nous ferons d'abord quelques remarques qui abrégeront la discussion :
• 1° L'équation différentielle renferme les modules k et k^ seulement au carré; par conséquent, si, dans une solution du problème de la transformation, on remplace k par — k ou k^ par — k^ , on obtient une autre solution de la même équation différentielle.
2° L'équation différentielle ne change pas quand on y remplace x par — X ou y par — j, et en même temps ^, par — ^i, le module A*, restant le même. Elle ne change pas non plus lorsqu'on remplace x
par y— ou y par -. — ) et ^, par ± ^i, le module A-, restant encore le
même. Si donc on opère l'une de ces substitutions dans une des solutions du problème de la transformation, on aura une autre solution de la même équation différentielle.
3° Les diverses valeurs du module cherché k^, qui, dans les transformations du même degré, correspondent à une même valeur de k, sont réciproques deux à deux; car, si une fonction rationnelle y àe x satisfait à l'équation (i), la fonction /'= ^,j du même degré satisfait à l'équation différentielle de même forme
to
dans laquelle le nouveau module est r et le nouveau multiplicateur g^k^\ c'est une autre solution du problème de la transformation. De même, si l'on pose a? = r-. l'équation (i) devient
dy dx'
f V^(i-r^Hr-/r?rl y/(,^'.)^ JL^.]
D'après cela, si l'on considère les transformations relatives aux équations (ï) et (7), dans lesquelles le module donné a des valeurs réciproques, les valeurs du module cherché k^ seront les mêmes; mais il est clair que, si, dans les solutions de la première équation, on remplace
simplement k par r; on obtient celles de la seconde; comme on revient
de celle-ci à la première en remplaçant x' par kx, il en résulte que,
si, dans une solution de l'équation (i), on remplace^ par ^ et a? par ^a?,
on obtient une autre solution de la même équation.
393. Nous distinguerons plusieurs cas dans le problème de la transformation, suivant que les nombres entiers a et 6 sont pairs ou impairs.
Premier cas : a impair, h pair. — Les valeurs de a sont de la forme / Il
p' (ùi -{- q'—\ elles se réduisent aux quatre valeurs o, co,, — ? w, h — -\
les deux premières donnent des fonctions y égales et de signes con-
traires, et de même les deux dernières; aux deux valeurs ol = o, o!.=i~
correspondent des fonctions qui se déduisent l'une de l'autre par la
substitution -, — 5 le module k. restant le même; on pourra donc se /r,j ^
borner à l'hypothèse a.~ o. Quand on aura trouvé les transformations
qui s'y rapportent, on en déduira les autres par les substitutions —y
et±:7-^-
Deuxième cas : a pair, b impair. — Les valeurs de a sont de la
forme,(2/?'+ i) — -f- {iq' ^ i) — ; elles se réduisent aux quatre va- 2 4
leurs ± — ±^; il suffira de chercher les transformations fournies
par l'hypothèse a = — + ^; les autres s'en déduiront par les substitutions — V, zh ï
Troisième cas : a ei b impairs. — Les valeurs de a sont de la forme
//«, -h (2^'-+- 1") y-\ il suffira de considérer l'hypothèse a = — ■• Mais
nous remarquons que ce t-roisième cas donne les mêmes transformations que le précédent; car, si l'on met les relations (4) sous la forme 2(ù = 2{a — b)(ùi -h 6(2(0, + w'J, co' = 2(a'— è'jiw, H- è'(2ot), -f- w'j), le nouvau coefficient a — b devient pair; les fonctions de transformation X {z, w,, (ji\), l[z, w,, 2C0, + (t)\) sont égales et ont des modules égaux et de signes contraires.
Quatrième cas : a et b pairs. — Les valeurs de a sont de là forme
{2p' 'h i)~ -h g' —^'i elles se réduisent aux quatre valeurs ib — , =:t — -4 — -• W suffira de considérer l'hypothèse a = — • '
Transformations du premier degré.
394. Nous nous occuperons d'abord des transformations du premier degré, ce qui revient à supposer ab' — ba' = \. Le quatrième cas ne se présentant pas et le troisième rentrant dans le deuxième, il suffit d'examiner les deux premiers.
Premier cas : a impair, b pair, a ~ o. — Le nombre b' est impair. Soient rt = 2a, + i, b~2bt, b' = ib\ ^ i; les relations (4) deviennent
co = (2a, + i)m, -t- 6, 0)',, 0'= oa'(ùi -\-{ih\ -4- i)co',.
Les deux fonctions j = X(2, w,, w'J, x = l{z, w, co'), ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant.
i« è, = 260- — En faisant ^ — -» on trouve que ce rapport est égal
à ± i; en faisant z == — » on trouve /c, :=: ±: k; on a ainsi la première transformation
(a) ki = k, g^=i, x — x,
à laquelle nous joindrons celle que l'on en déduit par la substitution — j, savoir : ^, = k, g^ = — i ,/= — x. La substitution j — donne la transformation corrélative
(«') A-,=/.-, 8^=-^^, y'=hc'
à laquelle nous joindrons de même celle qui s'en déduit par la substitution — y, savoir: kf = k, g, = ±:i , y — — 7— •
2" è, = 2^0-1- 1. -En faisant z= '- — —, on trouve que le rapport -
est éffal à ± X:; en faisant ensuite z ~ -■> on trouve k. = ±: r\ on a ainsi la seconde transformation
( b ) li\ = ^^ 5 g^ — k, y = k X,
et la corrélative
{h') /r,-i, g^-àzk, y=.'^.
et celles que l'on en déduit par la substitution —y.
T^ ^ • z, • • &),&/, c, ., A -h Bo:
Deuxième cas : a pair, 0 impair, a = ^ — h -r • — Soit y = ^— ;
' » 24 '^ I -4- Lx
en faisant ^ =^ o, on a a; — o, j = X(— H- ^-S ^m ^« ) = -= (n^ 365),
\ 2 4 / sj ki
et par suite A = -^- Le nombre a' est impair, mais b' est pair ou
sjki
impair.
i'' b' pair. -- Soient a — ia^, b~ib^+^\,a!r= 2a', + i, b' =^ 26',.
Si l'on remplace z par z ^ ? x se change en -^î j en — j, et l'on
^ f\ OC
a l'identité
A + B^ ^"^ Tx __ C "*" tJ ^^
d'où l'on déduit C- =; X:, B = — AC, et la fonction de transformation
devient
Supposons d'abord que les trois nombres a,, a',, ^'j soient pairs; à
cause de la relation ab'—bd—i, le nombre è, sera impair. Pour
et par suite
Faisons maintenant z — — — — ^ ^ z', z' ayant une valeur trèspetite, et développons en séries suivant les puissances de z'\ en négligeant les puissances supérieures à la première, nous aurons (n** 365)
- /&) &)' A I iz'{\ — k)
et par suite
s/k sjk
l'identification donne
isjki
On obtient ainsi la transformation
, . . /'-V^Â^\' , if ,j\t ' i-h^ki — x^k
\iH-V^/ ^ i — \/ki-hxs/k
Les autres combinaisons de nombres entiers se ramènent à la précédente, a l'aide des transformations du premier cas. Considérons les
fonctions j, =: X, (s + ~ -f -^j » Ja = ^2 (^ + ^ + 7^) ' qui correspondent aux deux couples de périodes définies par les formules
2M, =r 2 6'&) — 6oj', 2 0)2=: 2 6', W — 6, Oj', &)', ;= — 2 rt' &) ^ a 0)' , w'j = — 2 a, &) H- rt, &)',
dans lesquelles les nombres bomologues a et a,, 6 et Z>,, a' et a'j.
h' et V^ sont en même temps pairs ou impairs. La quantité
Wî — Ml w', — m', la' — «', h' — 6',\ la — «i b — h\ a/
est de la forme /^w -^ q — -> et par suite de la forme/?, w. H- g', -^j /?, q,
Pty q, étant des nombres entiers. Si l'on pose 2 = ^ "' T "^ '^'' ®°
aura donc
7' = ^.{2' ), r. =-^ X.U' +-/'. co, + ^. y) •
L'expression de ja en fonction de y, rentre ainsi dans le premier cas de la transformation.
En faisant subir à la fonction (c) la transformation [b), on obtient la nouvelle fonction
id) ^-= 7f ' ê-.=±-('-v//0, r = -jj ;t'
\i — \jkj 2 i-^~ ^k i-ï-x sjk
dont le module est réciproque du précédent. Par la substitution -. — ? on en déduit les transformations corrélatives
, ,, , f^ — \ll(\ <h /T\= ^ -"- \Jk l >rX\lk
\i + V « / i — sjk\ — xsjk
On a, en outre, les quatre fonctions qui se déduisent des précédentes par la substitution —y.
2° h' impair. — Ce cas se ramène au précédent. Si, dans une solution du problème de la transformation, on remplace k par —k, il est clair que l'on obtient une autre solution de la même équation différentielle. Ceci revient à remplacer \[z, œ, 'Si') par la fonction égale X(z, 0), 2&) + w'), qui a un module égal à celui de la première et de signe contraire; mais, si les nombres h et h' sont impairs, dans les relations (4) mises sous la forme
2« = 2« Wi 4- 6w',, 2 w + w'= 2(<z + a'jwi 4- (6 -h 6')w',,
le nouveau coefficient b -^ b' est pair. Ainsi les solutions qui se rapportent au cas actuel se déduisent des précédentes par le changement de i?: en —k-, on obtient de la sorte les deux nouvelles transformations
/ V / I i — i\^'\ , i f ' i7\7 i -\-i \]k i — ix'\]Tf
(^) ^^'= -r^^ ' ^.=±-('--'v^^)' r= — 7jf ^. >»
\i + i\lkj 2 ji~i)Jk 1-+- ixsjk
I ■c\ I fi-hi\/k\' , i I ■ iT\2 i — iJTi i — ixJk
i>jkj 2 , , { y/^ , .^ j^ ^'^
qui se rapportent à deux modules réciproques, et les deux corrélatives
\ — ISjlf \ ! W • /T\2 I -t- i v/n" I -f- «^ V" rjf)^ gi=±-[i + isjk), y'= ^- ^-*-,
/ /■/ \ /. / I + it' v/^\' j W • /7 ^ î i — isjk \-^ix\Jk
i — i^kj 2 i^i^/f i i^ ^ff
et, en outre, celles qui s'en déduisent par la substitution —y.
Transformations d'un degré impair.
395. Nous avons vu déjà (n° 393) que le troisième cas rentre dans le second. Une transformation du premier degré ramène le second cas au premier. Si l'on considère, en effet, la fonction u = 'k{z, wo. w'o). relative au couple des périodes sco, = w'i, œ'g = — 2w, équivalent au couple 2co,, w'j, on remarque que la fonction j = X(2 + a, w,, w'J est égale à une fonction rationnelle de u du premier degré; en appelantes et ^2 le module et le multiplicateur de la fonction w, on a, d'après la formule (c) du numéro précédent.
^'K^riJ' »-=^^^-(-^^)'' r
si kl I — M sZ/tj
I — sjki I + u s/ki Mais les relations (4) deviennent
''«2 — aw-i,'
le premier coefficient étant actuellement impair, le second pair, l'expression de u par une fraction rationnelle en x rentre dans le premier cas de la transformation.
Ce premier cas se subdivise en deux, suivant que h est de la forme [\h^ ou 4^) H- 2. On ramène le second cas au premier par une autre transformation du premier degré. Considérons, en effet, la fonction M = X (z, «2, w'^), relative au couple des périodes 2002 — 200,4-20'^, co'2 = oo'j équivalent au couple 200,, oi)'^, et désignons par k^ et ^o son module et son multiplicateur; on a, d'après la formule (6),
Les relations (4) deviennent
2w = aacoa -F- (6 — 2a) oo'j, co' =1 2 a'wj + ( 6' — 2a')cù'./,
le second coefficient est maintenant de la forme /^b^. Ainsi les transformations fournies par les valeurs de b de la forme 4^< H- 2 présentent des modules réciproques de ceux qui se rapportent aux transformations fournies par les valeurs de b de la forme ^b^.
396. Étudions d'abord les transformations d'un degré impair n. Le quatrième cas ne se présentant pas, il suffit, d'après ce que nous venons de dire, de supposer a ~ 2a, -\~j, b = l[bf, a -~ o, ce qui réduit les relations (4) à
(8) OJ = {2«, -f- l)Oi), + 2&, w', , w' -=^ 2«'&), -I- 6'oj', ;
les quatre nombres entiers qu'elles renferment ne sont assujettis qu'à la condition
(9) {2a, -h i)b' ~ ^bi a' = n.
Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans lesquels les deux nombres 2a, + i et b, admettent un même plus grand commun diviseur n', qui sera nécessairement un diviseur de n; posons n = n'n'\ 2a,-hi = /i'(2ao-+ i), by=^n'b^\ la première des relations (8) devient
f'* / 1 II
et la condition (9) se réduit à
(10) (2rt, + l) 6'— 46i«'-~ «"•
Les nombres 2^2 + ^ et 4^2 étant premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres a" et ib" -\- 1 satisfaisant à la relation
(11) (2rt. -f-i){26"+i)-4/»,a"=i.
Si l'on pose
on voit que le couple des périodes (w,,w', ) est équivalent au couple
(^)co"j, que les fonctions X(z, &>,, w',), Xfz, ^î co"), qui ont mêmes
zéros et mêmes infinis, sont égales, ou égales et de signes contraires, et que leurs modules sont égaux, ou égaux et de signes contraires. Des relations (10) et (11) on déduit
(i2) a=n"a"-{ia, + \)t, b' =n"{-xh" + \) - ^b^t,
t étant un nombre entier. En remplaçant a" et 2b' -\- 1 par leurs valeurs tirées de ces dernières relations, on trouve
ti n n
et l'on arrive à la formule
(.3) y=iy,^,—^—-
pareille à celle du n° 361 . Mais, ici, la lettre t désigne un nombre entier quelconque; car, quel que soit t, en prenant arbitrairement les deux nombres 20.. -hi et b., premiers entre eux, on déterminera les deux nombres 2è"-r-i et a" par l'équation (11), puis les deux nombres a' et b' par les équations (12); l'équation (10) en résulte, et par suite l'équation (9). Ainsi, lorsque n est impair, les fonctions représentées
()18 LIVRE VIll. - CHAPITRE I.
par la formule (i3)^ et celles qu'on en déduit par des transformations du premier degré, donnent toutes les transformations rationnelles du degré n.
397. Nous avons vu, au n" 363, que les fonctions données par la formule (j3) pour n" valeurs consécutives de zsont, non-seulement différentes, mais encore que deux d'entre elles ne peuvent être dans un rapport constant; nous avons vu aussi qu'il en est de même pour celles qui sont fournies par deux modes de division différents du nombre n. On en conclut que le nombre des transformations du degré n, du genre de celles que nous cberchons maintenant, est égal à la somme des diviseurs de n.
Nous les partagerons en deux classes : celles qui sont données par les valeurs de t qui n'ont pas de diviseur commun avec n' et n" , et celles qui correspondent aux combinaisons dans lesquelles les trois nombres n\ n", t admettent un plus grand commun diviseur. D'après ce que nous avons dit au n'^ 362, les premières sont égales à
:iiX fz, — , oo'j ) ou à ±\lz, (à^,—\\ cllcs proviennent de la division
par n de l'une des périodes des couples (200,, w'J définis par les formules (40 du n''360. Considérons maintenant les combinaisons dans lesquelles le plus grand commun diviseur des trois nombres n' , n", t est égal à A, et soient n! = hn^ , ri' ~- hn\ , n ^= h^ n, , t =: ht,; on obtiendra les fonctions correspondantes
en divisant par n, l'une des périodes des couples (2w,, w'J et multipliant ensuite l'argument par h. Cette deuxième classe ne se présente pas lorsque les exposants des facteurs premiers du nombre n sont tous égaux à l'unité.
Lorsque le module donné k est fini et différent de zéro, les deux périodes particulières 2w, w', déterminées par des intégrales définies (n*^221), ont des valeurs finies différentes de zéro, et leur rapport est imaginaire; il en est de même des deux périodes de chacune des
fonctions représentées par la formule (i3), et, par conséquent, ces fonctions ont toutes des modules et des multiplicateurs finis et différents de zéro.
398. Nous ferons encore remarquer que les carrés des modules de deux des fonctions représentées par la formule (i3) ne peuvent être égaux ou réciproques, quel que soit le module donné A. Cherchons d'abord la condition pour que deux fonctions elliptiques
l{z, &),&)') = l{gz, k), }.{z, co„ w', ) — X(g-, z, k,)
aient leurs modules égaux, ou égaux et de signes contraires. Si l'on avait ^, = ± ^, les deux fonctions
seraient égales, et leurs périodes satisferaient à des relations de la forme
(l5) — w, rrr f4fl -I- |)m -4- 2 06)', — rù' r=z -?.a' (x^ -^r ( ib' -\- \\(ù' ,
avec la condition (4 a -m) (4^'-f-0 ~ ^ba' — i. En désignant parp et o, les rapports — < — ^» on aurait
(.6) .rf + (4f + .)P.
Cette condition est suffisante; car, lorsqu'elle est remplie, on peut déterminer la quantité^? de manière que les équations (i5) soient vérifiées; les deux fonctions (i4) sont égales, et Ton a A, = i k.
Si Ton avait kt = ± t^ puisque la fonction >(z, œ, — w', , w'J est
égale kllgikfZ,j-\i la fonction
serait égale à la première des fonctions (i4), et l'on arriverait à la condition
' I — Pi (4« + i j + 26p
Considérons maintenant deux des fonctions (i3), savoir
^^^'i~'' 1^' /' ^\^' 77"' iP' ' ) '
Pour que leurs modules fussent égaux, ou égaux et de signes contraires, quel que soit le module donné k, il faudrait que la condition
at^ -h n\p 2[a'n"-f-(46' -+- i)/] + f46'-f-i)«'p < ^~ [{4a 4- i)n" + 467]"-+- ibn'p
fût vérifiée, quel que soit p, ce qui ne peut avoir lieu que si è = o, et, par suite, a = b' = o, n\ = n, n\ = n", t, ~ t -h a'n"; et alors les deux fonctions seraient égales. Pour que les carrés des modules fussent réciproques, il faudrait que la condition
2t,-h n\ p i[a'n" -h (46M- i)t] + {^b' + i)n'p (<^— 2 1, ) — n\ p ^ ■ [4a + ï)n"-h4bt] -\-o.bn'p
fût vérifiée, quel que soit p, ce qui est impossible, puisqu'on ne peut avoir 4^ -+- » = — '>b.
399. Il est facile de vérifier que les fonctions dont nous venons de parler satisfont bien aux conditions qui servent de base à la méthode de Jacobi (n^ 260). Considérons, par exemple, la fonction (n** 349)
on a ICI
Y "g-^fi --r)(i + r)(i — A-, j)(i + /r,j),
et, après la substitution.
V V = ^^ v/( ^^ - g-, ^M?,) (y? + g-, x^S,) («i- - g, /r, x^S,) ( a' + ij-, /r, ^^i",) .
D'après les identités (20) ou (20)' du n** 380, chacun des quatre binômes placés sous le radical est égal au produit d'un facteur du premier degré en x par un polynôme carré parfait; on a donc
M étant un polynôme entier en ce du degré 2n — 2.
Il en est de même des transformations relatives à la multiplication
de l'argument. So'il y = l{nz)== ~~ (n«332); on a après la substitution
et, en vertu des identités (3) ou (3)' du n° 372,
M étant un polynôme entier en x du degré 2/1- — 2.
Transformations d'un degré pair.
400. Éludions maintenant les transformations d'un degré pair. Soit n = 2.''n^, n, étant impair. Les trois premiers cas de la transformation se ramènent, comme nous l'avons dit au n^ 395, à celui où a — 2«<-!-i, è"4è,, a — o. Considérons les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (9), et dans lesquels les deux nombres entiers 2a, ■+■ I et bf admettent un même plus grand commun diviseur n', qui sera nécessairement impair et diviseur de /z, ; en posant «, = n'n" et raisonnant comme précédemment, on arrivera à la formule
(18) • Jr3.>
dans laquelle t désigne un nombre entier quelconque. A chaque diviseur /i"den, correspondent ainsi 2^7/' fonctions j, et, par conséquent, le nombre des transformations rationnelles de cette sorte est égal à la somme des diviseurs de /i, multipliée par 2^.
Il nous reste à examiner le quatrième cas de la transformation, celui
où les deux nombres aei b sont pairs et a = --' Considérons les systèmes de nombres entiers vérifiant la relation ab' — ba' ~ n, et dans lesquels les deux nombres a et b admettent un même plus grand commun diviseur 2''n'; l'exposant r sera égal ou inférieur à h, et le nombre impair n' un diviseur de n,. Posons « = 2''a,, 6— 2''^,, l'un des nombres a, et b, au moins étant impair. Nous commencerons par diviser la première période r fois successivement par 2. La prer mière des formules (19) du n** 77 donne
d'après les formules du n** 366, on en déduit
kf et gt étant le module et le multiplicateur de la fonction oCf. Si l'on pose Zf = z -i- -, on aura de même
^2 et ^2 étant le module et le multiplicateur de la fonction x.. On posera ensuite z. -~-= z^ -\- ~, z^ = Zo -h —.^ ■ ■ ■> et l'on continuera de cette manière jusqu'à la fonction
Mais on a
^ M (ù OU 0) C)
et, si l'on pose
od =. i =(«, -i- i) ■ h»i -r — "2-^ «if-^i + "'
on aura à chercher la relation entre les deux fonctions
Les relations (4) deviennent
2 — = 2a, w, + 61 w',, w' = 2a'wi H- 6'a)',,
avec la condition a, ^'— 6, a'= i^~' n^. La nouvelle constante a' a la forme voulue pour que y soit égal à une fraction rationnelle en Xr\ l'un des nombres a, et &, étant impair, on est ramené à l'un des trois premiers cas de la transformation. On obtient ainsi les fonctions représentées par la formule
et celles que Ton en déduit par des transformations du premier degré.
