CHAPITRE II
ÉQUATION MODULAIRE.
Existence de Véquation modulaire.
40i. Nous nous occuperons spécialement du cas où n est impair et premier. Dans ce cas, la formule (i3) du n" 396 donne n -h i fonctions de transformation, savoir : llz, -5 w'J et les n fonctions représentées par la formule llz, œ, -U dans laquelle t reçoit n valeurs entières consécutives; mais nous mettrons ces dernières sous la forme X U, w, ) • Si 1 on désigne par e I une des n -+- i quantités — j — — » les modules de ces /z -h i fonctions sont donnés par
la formule
Nous poserons yl = "'> V^i = ^"' ^^ i^^^s définirons les n 4- i valeurs de V par la formule
d'où l'on déduit
ilLpA-^u TT ^^-'
^^^ ^~a''" 11 v{pz)
ÉQUATION MODULAIRE. 625
Si dans l'expression de ^ ^ déduite des formules (i4) du n° 332,
relatives à la multiplication de l'argument, on remplace z parjoe, et si l'on remarque que cette quantité devient égale à i, on obtient l'expression de^^l^ par une fraction rationnelle en P et X''(/?s); chaque valeur
de ^ est donc une fonction symétrique et rationnelle des quantités
Grâce à la substitution de — à - dans l'expression du premier module, cette fonction ne change pas quand on remplace £ par «£, a étant un nombre entier premier avec n. On en conclut, d'après le raisonnement du n° 387, que les /i -f- i valeurs de | sont les racines d'une équation algébrique du degré n-h i en ^, ayant pour coefficients des fractions rationnelles de k^ ou de u^. En remplaçant | par — ? on obtient
une équation algébrique entre u et v, du degré n -h i par rapport à v; on lui donne le nom d'équation modulaire. Quand on remplace u par
ue * , les valeurs de ^ ne changent pas et, par conséquent, celles de v
fftnr.i
sont multipliées par le facteur constant e " . Nous remarquons encore que l'équation ne change pas quand on y remplace u etv par — u et — V.
Expression des racines de l'équation modulaire.
402. Nous avons démontré au n" 365 que les quantités y^ et y^'. données par les formules (29) et (3o) du n° 205, sont des fonctions holomorphes de la variable p — r-^ si, pour toutes les valeurs de cette variable dans lesquelles le coefficient s est positif et différent de zéro, c'est-a-dire pour la moitié du plan située au-dessus de l'axe des x. Nous poserons
(3) î(p) = v/5«" JI-E__.^
in -= 30
Ow
2mT.i
>.m — i)iii
Les deux formes sous lesquelles nous avons écrit chacune de ces fonctions s'accordent; car les deux premières quantités, par exemple, dont les huitièmes puissances sont égales à P, ayant des valeurs réelles et positives pour les valeurs p = si, sont nécessairement égales pour ces valeurs de p, c'est-à-dire quand cette variable décrit l'axe des y\ elles sont donc égales dans tout le demi-plan (n°* 114 et 366). A l'inspection des formules précédentes, on reconnaît que les deux fonctions qu'elles définissent, et qui ont été étudiées par M. Hermite [Comptes rendus, i858), jouissent des propriétés suivantes :
ihT.i
<p(p-}-,)r:=e''^^, 9(p4-2) = eXp), 9{p+CiA)=re~^(p(p).
Elles sont réelles et positives pour les valeurs p = si.
403. Dans ce qui suit, nous prendrons u = (p(/3), et, pour distinguer les 71 4- 1 valeurs de v, nous désignerons par V celle qui se rapporte à
la fonction X(^, -> &)') et par (^^ celle qui se rapporte à la fonction z, (ù,- î — ^1- Nous allons démontrer que ces quantités, telles
qu'elles sont définies par la formule (i), ont pour expressions
D'après la remarque faite au commencement du n° 365, les quantités
û ( [^ et, par conséquent, les valeurs de v sont des fonctions holo-
morphes de p. Considérons d'abord V et donnons à p la valeurs; dans
les développements de ôi]—^] etde^af^^j en produits d'après les
formules (20) du n° 202, les facteurs placés sous le signe produit étant tous réels et positifs, le quotient de ces deux quantités est réel et a le
signe de cos (^^ j -, la valeur de V est donc réelle et a le signe du pro-
EQUATION MODULAIRE. «27
duit des " ~ ' facteurs cos(^^)> quand/? varie de i à— — - • Lorsque est pair et égal à 2/2', les ti! premiers facteurs étant positifs, les
n' suivants négatifs, leur produit a le signe de (— i)'". Lorsque est
impair et égal à 2/2'— i, les /i' — i premiers facteurs étant positifs, les ri suivants négatifs, leur produit a le signe de (— i)"'. Ainsi V a le signe
de (— i) ' , et, comme (p{np) a une valeur réelle et positive, il y a accord entre les deux formules. Pour abréger, nous désignons par a le
nombre entier — ^^'
On obtient Vt en attribuant à e, dans la formule (i), la valeur
&)'H-i6fa> ., , £ p + iSt
Si Ton pose p h- i6t — p', on déduit des formules (6) du n° 74
on a d'ailleurs u = (p{p' — i6t) = ç)(p'); pour p' = s'i, ces quantités et, par suite, Vc ont des valeurs réelles et positives. Il en est de même
de la quantité (p(-) donnée par la seconde des formules (5). Ainsi il
y a accord entre les formules.
Supposons que dans l'équation modulaire on remplace u par ( — i )* V; pour avoir les racines de la nouvelle équation, il suffira de remplacer/? par Zip dans les formules (5); la racine v,^ est égale à (p{p), c'està-dire à M. De même, supposons que l'on remplace u par Vt* ce qui revient à remplacer /9 par - — ' — i la racine V de la nouvelle équation
sera égale à {—i)'^(p{p + 16^), c'est-à-dire à (— i)°'w. Il en résulte qu'à toute solution (w, f) de l'équation modulaire correspond une autre solution [v, (— i)"w] de la même équation.
404. De la troisième des formules (63) du n° 367, relatives à la divi-
sion par 2 de la seconde ()ériode, on déduit
mais, d'après les formules (55) du n° 365, on a
il en résulte l'expression
Kl'"'"')
(6) cp(p)=:^7r = -^
qui nous permettra de trouver toutes les valeurs de p pour lesquelles la fonction '^{p) a une valeur donnée.
Nous avons vu, au n*' 398, que, pour que les carrés des modules de deux fonctions elliptiques
soient égaux, il est nécessaire et il suffit que les rapports p = — , p, = — satisfassent à la relation (16); on a alors 9*(p<) = ^^{p)- Cher-
dions maintenant la condition pour que les deux fonctions ^(p), <p(/3)) soient égales, ou égales et de signes contraires.
Comme on a i?-, = (~ \Y'k, il faut d'abord que a' soit pair; posons a' = id^ ; comme on a y/i^ = (— i)''' V^, d'après la première des formules (55) du n° 365, il faut que le nombre d^ soit lui-même pair; posons a\ =^ 2.d^. Comme nous l'avons dit au n° 398, il résulte des
formules (i5) que les fonctions X(^, ^w,,^ w', U X(z, &),w') sont égales, et, par suite, les fonctions v iz, — w,, ^ (ù\u v(^, w, &>'); lorsque a' est pair, il en résulte aussi que les fonctions X [2,^^,,^ — U
ÉQUATION MODULAIRE.
X Iz, w, — I sont égales. On a donc
et, par suite, en vertu de la formule (6),
Ainsi, pour qnecpip, ) = d= (p(p), il est nécessaire et il suffît que Ton ait
avec la condition {^a + i)(4^'-f- i)— j6ba\ = i.
Points critiques.
405. Les périodes co et w', déterminées par des intégrales définies, comme nous l'avons expliqué aux n*"* 221 et 231, sont des fonctions continues de k^ ; il n'y a exception que pour P = o et X:^ = i ; ces deux quantités, et par suite leur rapport p, sont donc des fonctions holomorphes de la variable k'', dans toute portion du plan, à contour simple, ne comprenant aucun de ces deux points critiques. Par rapport à la va-
Fig. 8i.
riable m, il y a neuf points critiques, savoir l'origine m = o et les huit
thr.i
points u = e ^ , placés aux sommets d'un octogone régulier Oo «« • • • «t {/ig. 8i). Chacune des valeurs de v est une fonction holomorphe de p.
et par conséquent de m, lorsque cette variable u se meut dans une portion du plan, à contour simple, ne comprenant aucun des points critiques dont nous venons de parler, et qui sont les seuls qui existent dans le plan par rapport aux racines de l'équation modulaire.
Pour former les lacets, nous ferons partir la variable u d'un point 6,, situé sur l'axe Oa?, à une distance du point 0 plus petite que l'unité. Le lacet («o) est formé d'une droite 6„Coet d'un petit cercle; le lacet (a,) d'un arc h^h^ égal à^ de circonférence, d'une droite h^c^ et d'un petit cercle; le lacet {a.,) d'un arc bf^b^h,, égal à | de circonférence, d'une droite b^c^ et d'un petit cercle,...; le lacet (dr,) d'un arc bob^...b^ égal aux I de la circonférence, d'une droite b^c^ et d'un petit cercle; enfin le lacet (0) du cercle 6o b^...b^b^,. Au point b^, la période w étant réelle et positive, et la période w' de la forme (ù"i, on a /3 = ^o^ = si, s étant une quantité réelle et positive; nous distinguerons les n 4- i racines par leurs valeurs initiales
V=(-i)»9(np,), f„ = 9(^^j, v,^(p(^!— ^-)v, Vn-r-^<?\^ j^ -M',
la première est réelle et a le signe de (— i)*, la seconde est réelle et positive.
Pour les valeurs de u situées à l'intérieur du cercle décrit de l'origine
avec un rayon égal à l'unité, en développant (i — k^x^) ' en série, et faisant ^ = i, on déduit de la formule (3) du n° 221
D'autre part, l'équation (35) du n° 279 donne
on en déduit par l'intégration
(9) p-p„= A[8Iog^^-i-A(/r'-/r-.)+^(/'^-^'j;+...]»
ÉQUATION MODULAIRE. 631
en supposant que log — soit égal à zéro pour u = w^, c'est-à-dire au
point ^0- Lorsque u tend vers zéro, le coefricient positifs, dans l'expression |0 = r-h si, augmente à l'infini; si l'on prend la fonction o{p) sous sa première forme, on reconnaît que les n h- i valeurs de v tendent vers zéro. Quand la variable u décrit le cercle 0 dans le sens positif, la valeur de p devient po -f- i6; la racine V reste holomorphe dans le voisinage du point 0 et se développe en une série convergente
w — t (lO) V={— l)''2 S «"-t-...,
suivant les puissances entières de u. La racine V[-=^ <p ( ^— — - \ devient çj 1 ^ L , et, par conséquent, se change en Vt.^^ ; ainsi les
n autres racines forment autour du point 0 un système circulaire (^-o, f',, ('2,..., ('„,) se permutant dans l'ordre des indices; ces racines sont représentées, dans le même ordre, par la série
n — t X (il) f = tT^'U" -f- . . . ,
ordonnée suivant les puissances croissantes de w.
406. Considérons maintenant le point critique m= i. La fonction elliptique, au module complémentaire, admet les périodes co, = — u'i,
c/^ = Oui (n^ 236), dont le rapport p' est égal à Quand le point u
décrit la droite 60 «o» la première période w< reste réelle et positive, le rapport p, donné par l'équation (io), conserve la forme si, et de même le rapport p'. La période w, est représentée par une intégrale définie analogue à celle qui donne w (n° 221); faisant encore ^ = 1» il suffit de remplacer dans celle-ci k par^'; elle peut être développée en une série pareille à la série (8) et convergente pour les valeurs de k'^ dont le module est plus petit que i; on en déduit, comme précédemment,
les coefficients A, B,... étant les mêmes que dans l'équation (9), et par suite
(i3) p'p;=.-LJ^iog|^-4-A(/r''-/r7)+?(A-'*-/C)+...].
Lorsque u tend vers i, le coefficient 5', dans l'expression p'= r'-h s'i^ augmente à l'infini; si l'on prend la fonction (^(p) sous sa seconde forme, on reconnaît que la racine v^ tend vers i, et la racine V vers (— i)". 'Quand la variable u décrit autour du point «o» 6t dans le sens positif, un cercle ne comprenant aucun autre point critique, l'argument
de k'"^ augmente de 271, p' devient p^ -\- 2, et p égal à —^ — La racine
ç^ = (p(^\~ ^(^np'), réelle et positive sur la droite 60^0» reste liolo-
morphe dans le voisinage du point Œq ; on obtient son développement en posant u = \ — u' , i^u = i — v'q ; d'où
et, en se servant de la seconde forme de la fonction ij>(/5), (i4) v', = 7.-^''-'hi"'-h
LaracineV,après7toursautourdupoint«o> devient(— i)"(p(— ^^°
elle se change* en une autre ^^ que nous allons déterminer. D'après ce
np» \ /p»-\-i6l
^yp«i'
que nous avons dit au n° 404, les deux fonctions © -
sont égales, ou égales et de signes contraires, lorsque leurs arguments satisfont à une relation de la forme
p„-f- i6f 8a'(i—iypo)-h{^b'-\-i)npo 8a' 4- [(46' + i) n — 16a' y] p„
u {/^a-hi){i— 2.ypo)-\-2bnpt (4« -f-ij+ 2[6/i — (4a +i)y]po
avec la condition (4« -l- i) (4^' + 0 — i6ba' = i.l\ faut pour cela que bn —{lia + 1)7 = o, ou 7 = -: ces deux fractions, étant irréduc-
ÉQUATION MODULAIRE. 633
tibles, auront leurs termes respectivement égaux, ou égaux et de signes contraires. Si n est de la forme [\n ^ \, on prendra a— n', b — 7; la relation précédente se réduira alors à
po-4- \&t = ^a' -i [{^b' -\-\)n — i6rt'y]po;
on prendra a — 2/, et l'on déterminera les deux nombres entiers 4^'-!-' et t par la condition 827/ — n(l\h' -{-i)— — 1 . Si /i est de forme 4«' — i, on prendra a — — n' , b — — "-^y a' — - 2/, et l'on déterminera l^s deux autres nombres par la condition 827/ -f- n[[\b' -+- 1) = — i. Le rapport des deux fonctions 9 étant (— i)*^ ou (— i)", la racine V devient égale à Vi; les deux nombres conjugués 7 et ^sont liés par cette condition, que le produit 827/ donne le résidu — i par rapport au diviseur n.
En attribuant 37 les w — i valeurs successives i, 2...., /i — i, on obtient pour t ces mêmes valeurs dans un certain ordre; il y a d'ailleurs réciprocité entre les deux nombres; on en conclut que les n racines V, Vf, Vi,...,v„^i, da^ns un certain ordre, forment un système circulaire autour du point critique u — i . Si l'on pose V=^(— i)"(i — v'), elles sont représentées par la série
nous désignerons ce système circulaire par (V, Vt,^ ^r,»---»^f„,)-
407. Considérons maintenant le lacet (a,). Quand la variable u décrit l'arc ^0^0 d'après l'équation (9), p acquiert la valeur po-t- 2;
la racine V devient (— i)"(p(/ip„ 4- 2/1) ou e * V; la racine Vt devient
^\ n ) ~^Y n -^- 2n > c est-a-dire e « v,^. Ceci
est bien d'accord avec une remarque faite au n° 401 , savoir que, quand on remplace u par ue ' , les valeurs de v sont multipliées respective-
ihnr.i
ment par e " . Supposons que l'on parte du point ^o avec la valeur
initiale V; en 6, on a cette même valeur multipliée par le facteur ê~^~ ; sur le lacet b^a^, la racine acquerra la valeur qu'elle avait, au point
63 i LIVRE VTII. — CHAPITRE II.
homologue, sur le lacet h^^a^^, multipliée par ce facteur constant"; quand
, 9mti
on aura parcouru 7 fois le lacet b^a^, on aura en è, la valeur e " Vt , qui, lorsqu'on revient en bo, est ^^ +». Ainsi la loi de permutation sur le lacet (a,) se déduit de celle qui a lieu sur le lacet («„), en ajoutant le nombre constant a aux indices des racines.
Considérons d'une manière générale le lacet [a/,). Quand la variable décrit l'arc b^b,.. . b^, p acquiert la valeur p^ -f- 2^, la racine V devient
égale à'e ** V, et la racine Vt'àe^ ^r-/,a- En partant du point b(, avec la valeur initiale V, quand la variable 11 aura décrit y fois le lacet bf^fl^,
on aura en b,^ la valeur e ^ Vt * qui, au retour en b^, est Çt +/,«. Il suffit donc d'ajouter le nombre constant Aa aux indices relatifs à la permutation sur le lacet («o) pour avoir la permutation sur le lacet (a^)'
408. La fonction elliptique, au module réciproque, admet les périodes w, — co — 0)', oi\ — «' (n° 234), et les valeurs de p et p^, qui se rapportent à ces deux couples de périodes, sont liées par la relation
- =r ^ i; on en déduit
Concevons que, dans l'équation modulaire, on remplace u par -5 et désignons par {v) les racines de la nouvelle équation; il est facile de reconnaître que ces racines sont réciproques de celles de la première équation. Considérons d'abord la racine
elle sera réciproque de la racine v^, si l'on a
Il faut, pour cela, que le coefficient de p dans le second dénominateur soit nul, et, par conséquent, que les deux fractions irréductibles-^ »
ÉQUATION MODULAIRE. 635 soient égales. Si n est de la forme 4^^' + i , on prendra a = n',
b=^ — 2n' , a' r= 2§, et l'on déterminera les deux nombres b' et 5 par la condition i6(/i — i)5-f n(l\b' + i) — i . Si /z est de la forme l\n' — i . on prendra a = — n\ h = 2/1'— 1, a' — ~ 2^, et l'on déterminera b' et ^ par la condition \6{n — i) ^ — n{^b' -+■ 1) = 1 . Dans les deux cas, l'indice ^ est tel, que le nombre 16$ donne le résidu — i par rapport au diviseur n. On verrait de même que la racine (^'«s) est réciproque deV.
Considérons maintenant une autre racine
^^'^^"^X p^ + iôt')"^ / n ~\'^ r i6t'-{i6t'—irp y
"^y p^-hi6f V '^\i6t'-hn-ii6t'-hn-i)p]
elle sera réciproque de Vi si l'on a
p-hi6t 8iï6t'-hn)a'-hi6t'(/^b'-hi) — [{i6t'—i)(^b'-hx)-h8{i6t'-hn — i)a']p n ~ {16 1' -h n){ia -h 1) -h 32 t'b — [{16 i' -h n- i)i/{a+i)-\-2{i6i—i)bjp'
Le coefficient de p, dans le second dénominateur, doit être nul; la
fraction *^ , est irréductible; la fraction -^ — ~^ ' est aussi irré-
ductible, si t' n'est pas égal à 71 — ^; ces deux fractions étant égales,
on prendra a = — [\t' , b = 8t' -i- Le second dénominateur se
réduit alors à n. On déterminera les deux nombres b' et a' par la condition
(i6/'-i)(46'-f-i) + «(i6iM-n- iK = -i, et Ton fera
Le nombre a' devant être pair, et b' multiple de 4> posons a' = 2a", b' = l{b"; la condition précédente devient
ou
{\&t' — \)t^na" = ~t';
rindice / est tel, que le nombre (16/— i)t donne le résidu — ■ /' par
eae livre viii. - chapitre ii.
rapport au diviseur n. Il y a exception, lorsque t' — n- d-, mais nous avons vu que la racine (v„^) est réciproque de V. Quel que soit n, la racine (ç^o) est réciproque de Vq.
L'étude des valeurs de v, quand la variables u est très-grande, est ramenée ainsi à celle des valeurs de (ç^), quand la variable m< est trèspetite; les n -hi valeurs de [v] s'annulant pour u^ — o, les nn- i valeurs de V deviennent infinies pour m = co . Sur la sphère, le point u ~ co est donc un point critique analogue aux précédents; la racine u^ est méromorpbe et du degrés; les/i autres sont du degré - et forment un système circulaire.
Comme exemple, nous écrirons les permutations pour n — 5 :
Lacets: («„) («.) («,) («s) • «)
(V('2<',(^,C3). (VCo<^(<^:-t'-). (y^i^^VoV,), {YVtV.V^V'i), {Yv,V:,VtV„);
sur les lacets {a^), (a«), {a^), les permutations sont les mêmes que sur («o), {a, ), («a)» parce qu'il suffit d'ajouter 5a aux indices. On a, d'ailleurs,
Supposons que Ton unisse le point initial &„ au point 0', sur la sphère par un lacet formé d'un arc de grand cercle passant entre les points «o et «ï, et d'un petit cercle décrit autour du point 0', dans le sens négatif par rapport à ce point; ce lacet peut être remplacé par un circuit positif se ramenant à la suite des lacets («o)» («i )'•••' (^7)» (0)'» 'a racine Vf se reproduit, les autres se permutent dans l'ordre V, ^2» ^4» ^3> ^o-
409. Nous avons démontré au n° 401 l'existence de l'équation modulaire. On pourrait aussi la déduire des considérations précédentes; d'après le théorème du n° 135, la fonction ç' de m n'ayant pas sur toute la sphère de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques, et admettant n + i valeurs en chaque point, est liée à la variable u par une équation algébrique. Le lacet (a^), parcouru une fois, et le lacet (0), décrit n — i fois, forment un système de lacets fondamentaux; car, si l'on part du point 6^ avec la valeur initiale V, après le lacet {a.,) on a t^^, ; en décrivant ensuite n- i fois le cercle 0, on
ÉQUATION MODULAIRE. 637
obtient dans Tordre des indices croissants les w — i autres racines; on conclut de là que l'équation modulaire est du degré n -+- 1 par rapport à Vf et irréductible, La somme des ordres négatifs de la fonction v sur la sphère, c'est-à-dire la somme des degrés des racines infinies, étant n-\-i, il résulte du corollaire II du n" 135 que l'équation est aussi du degré /ï -h I par rapport à M.
Formation de l'équation modulaire.
410. Supposons l'équation entre m et ^^ mise sous la forme entière, et ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de v. Les Ji -+ i valeurs de V conservant des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de M, le coefficient du premier terme peut être supposé égal à l'unité.
Nous avons vu (n** 405) que, pour w = o, toutes les racines s'annulent; leur produit (— i)*w'"^', déduit des équations (lo) et (i i), est le dernier terme de l'équation. Quand on attribue à u une valeur trèspetite, tous les coefficients de Téquation, excepté le premier, ont des valeurs très-petites ; il y a deux manières de former le groupe des termes du degré le moins élevé (n° 34); le premier mode kuv ^ (— i)°'m'"*"*
donne la racine holomorphe V, et l'on a, par conséquent, A= — 2 ' ; le second mode ç^^' -f- Xuv donne le système circulaire des n autres racines.
D'après une remarque faite au n° 403, l'équation se reproduit, quand on y remplace u Qi v respectivement par ^^ et (— i)"^^, et qu'on multiplie tous les termes par (— 1)*; le premier et le dernier terme se permutent; il en résulte que les coefficients des différentes puissances de V sont, par rapport à u, du degré n au plus, et par conséquent que le degré de l'équation modulaire, par rapport aux deux variables u et v., ne surpasse pas in. D'après ce que nous avons dit au n° 408, l'équation se reproduit aussi quand on y remplace u et v respectivement par - et -; et qu'on multiplie tous les termes par (— i)"m"+V'^'; le
terme kuv donnera le terme (— \fku'*v"; on en conclut que l'équation modulaire est bien du degré in. L'équation ne changeant pas quand on y remplace u et ç' par — « et — v, tous les termes sont d'un degré pair.
Les coefficients de l'équation en | (n° -401) sont des polynômes entiers en u^; pour u = o, la première racine est finie et égale à
(— j)"^ ' ; les autres deviennent infinies; cette équation est donc de la forme
(i6) w^''a^''+'+ V u'h>{aj,+ bj,u'-\- Cj,u"'-^...)l"-^'' ''
les exposants /3o, /3,, [i.y,..., /3,^ , étant tous plus grands que zéro. En
remplaçant ^ par — , et multipliant tous les termes par u"^*, on obtient
l'équation modulaire
(17) «8(Po-«)(/«+'+ \ u'-f-'H^p-^^ [a^ -h bj,u' -{-... )v"-*-'-J'
Le premier coefficient devant se réduire à l'unité, on a |3o == a. Les exposants np -h ^{pp — a) sont plus grands que zéro; on prendra pour chacpn d'eux la plus petite valeur de cette forme, et, dans les polynômes placés entre parenthèses, on ira jusqu'à une puissance de u^ telle, que le degré total du coefficient ne surpasse pas n. On aura ensuite à déterminer un certain nombre de coefficients numériques; la condition que l'équation doit se reproduire, après chacune des deux substitutions dont nous avons parlé plus haut, en restreint beaucoup le nombre; d'après ce que nous avons dit au n" 406, le premier membre devant pour u = i se réduire à (^— 1) [^ — (— lY']", on aura encore entre ces coefficients des relations qui suffiront à les déterminer dans les cas les plus simples.
411. Quand le nombre premier n ne surpasse pas 7, les polynômes placés entre parenthèses se réduisent à des constantes. Pour n — 3, on obtient immédiatement l'équation modulaire
(18) V* -\- 2U^V^ — 2UV — M* = O.
Pour n — 5, elle est de la forme
v'^ -\- /{U^v'-^ a^u^v* — (ijU^v^ — ^uv — m«=i:o;
ÉQUATION MODULAIRE. 639
le premier membre devnnt se réduire à f^» - •) (^+ ')* pour m = i , on Si a.y= 5, et l'équation modulaire est
(ig) ('«+ 4«"'f*+ 5M'f* — 5u*v~ ~ ^uv — u^= o.
Pour n — 7, on trouve de même
(20) f» — 8m'c'+ 28 mS"— 56tt*f*-|- nOM'f'— SGM'f^H- 28?<2(^'— Sl/t^H- M'r=0.
Pour w — I r , l'équation modulaire est de la forme
{21) ' -i-ff«a'c*+«5a'i''4-a'(a,— aïM')f«— ûTiM^f*— «(«'f*
Le premier membre devant se réduire à {ç— i){v -h i )" pour m = 1 , on a a, = — 22, ao= 44» <3f, = i65, «5= i32, 6;, =: 88.
Dans tous les cas, le calcul des coefticients peut être effectué de la
manière suivante. Supposons que la fonction -^e ' ^(p), donnée par
la formule (3) du n** 402, ait été développée en série suivant les puissances entières de ^ = e'^^'; en remplaçant dans ce développement g
par q", on aura celui de -=.e " (p{np); les deux quantités m et V sont
1 égales à ces deux séries entières, multipliées respectivement par y/^q^
et par (— i)*^^^^ Si on les substitue dans l'équation (17), et si l'on
divise tous les termes par q *., le résultat de la substitution ne contiendra plus que des puissances entières de ^; en l'ordonnant par rapport aux puissances croissantes, et égalant à zéro les coefficients des puissances successives de q, on obtiendra des équations linéaires entre les coefficients cherchés qui serviront à les déterminer. Il faudra pousser le développement en série assez loin pour avoir un nombre suffisant d'équations. Sohnke a calculé par ce procédé les coefficients des équations modulaires jusqu'au nombre premier 19 inclusivement {Journal deCrelle.t.XYl).
Points multiples.
412. Outre les points critiques, il existe des points multiples dans U voisinage desquels chacune des racines reste holomorphe.
L'équation (17) du n° 371 devient
, nu(i — m') dv
(^ ( 1 — v^) du
Lorsque, pour une valeur particulière de u, deux valeurs de v deviennent égales, les carrés des multiplicateurs correspondants sont différents, sans quoi les deux fonctions de transfornnation seraient égales, ou égales et de signes contraires, ce qui est impossible (n" 397);
il en résulte que les deux valeurs de -r- diffèrent, et par conséquent
que les points multiples do la courbe analytique représentée par l'équation modulaire sont à tangentes distinctes.
Nous allons démontrer qu'il n'y a pas d'autres points multiples que des points doubles. Au point m, si l'on suit un chemin convenable, trois
racines quelconques peuvent être représentées par ( — i)*9(/Z(5), <p (-)
et 9 r- — ^- — Jî t étant un certain nombre plus petit que n. Pour qu'elles soient égales, il est nécessaire que l'on ait
- 2\ 8a'n-\~{^b'-\- i)p 8a\n + i6/(46',+ i)+ (4^'.-^- Qp
(4« -f- t)/7 -f 26p (4ai-l- i)n -I- 3261/ -f 2 6,p
avec les conditions
(4a -+- r)(46'-Ki)- i66a' =1, (,)»+«' = (,)«.
(4a, 4- l)(46',-f-l)— l6/>,rt',=:;, (— l)'».+«'.:=(— l)«.
La quantité imaginaire p satisferait aux deux équations du second degré
( 7.binp'-{-[{^a-h\)n^— {^b'-\-i)]p — 8a'n = o, '• \ 26,np'-f[(4a,-f-0«'-^-326,f« — (46', + i)]p-8a>— i6/(46',-:-i)- o,
dont les coefficients seraient proportionnels; on aurait donc
(26) bia' n -— b[a\ n -1- 2t(^b\+ 1)],
(27) 6,[(4aH-i)//'-(4Z>'+i)]=3 6[(4a,-f- i)n'+326,^n-(46',-M)].
Nous remarquons d'abord que les deux nombres b et b^ sont premiers avec n; supposons, par exemple, que b soit divisible par n; d'après la
ÉQUATION MODULAIRE. 6 il
première des relations (24), le nombre 4^'+ 1 sérail premier avec n; en vertu de la relation (27), b^ serait aussi divisible par n, et, par suite, 4^', -f- 1 serait premier avec n; cette même relation (27) apprend alors que les deux nombres b et b^ seraient divisibles par une même puissance de n, ce qui est impossible d'après la relation ( 26). Cela posé, en vertu de cette relation (26), le nombre 4^'i + i doit être divisible par n, et, par suite, d'après la relation (27), le nombre 4^' i- i est aussi divisible par /z. Posons l[b' ^\ = n{2^ -i- 1); la condition pour que la première des équations (26) ait ses racines imaginaires devient
[(4a -f-i)« — {2[3-Mjp-t-64fta'<o,
et se réduit à
en tenant compte de la première des relations (24). Le nombre entier pair (4« h- 1) « -r- (2/3 -i- i), devant avoir son carré plus petit que 4» est nul; cette relation (24) se réduit alors à (2/3 + i)^ -+- i6ba' -- — i, ce qui est impossible. Ainsi, en un même point m, trois racines de l'équation modulaire ne peuvent être égales entre elles, et, par conséquent, à parties points critiques, tous les points multiples sont des points doubles à tangentes distinctes. Il est clair que ces points sont situés buitpar buit aux sommets d'un octogone régulier.
413. On obtiendra ces points doubles en égalant à zéro le discriminant de l'équation modulaire, lequel a pour expression D =zn{vi — Çf,y, i'i et i^/, étant deux racines quelconques; cette fonction symétrique des racines est égale à une fonction rationnelle de u, et, comme elle ne devient infinie pour aucune valeur finie de u» elle est entière. Évaluons son degré : pour « = co , les « -{- 1 racines de l'équation modulaire
deviennent infinies : l'une est du degré n, les autres du degré - (n° 408);
n facteurs binômes Vi—i^/, sont du degré n, les autres du degré -5
et, par conséquent, le discriminant est un polynôme entier en u du degré 2n^ H- /i — 1 . Pour u = o, les n -\- i racines de l'équation modulaire s'annulent; l'une est du degré n, les autres du degré -(n° 405);
chaque facteur binôme est un infiniment petit du degré -, et, par con-
séquent, le polynôme D est divisible par m""*"'. Pour m = i, une racine devient égale à i , et les autres à (— i)"; lorsque le nombre a est pair, toutes les racines deviennent égales; si l'on pose u^^^i — u\ tous les
facteurs binômes sont infiniment petits et du degré - par rapport a u'
(n° 406j; le polynôme D est donc divisible par m'"" ou par (i — m)"^';
? liT.i
la même chose ayant lieu en chacun des points critiquesM = e " , on en conclut que le polynôme est divisible par (i — w*)"~'. Lorsque le nombre a est impair, une racine est égale à i, les autres à — i; parmi les facteurs binômes, v ~ v', n ont des valeurs finies voisines de 2, les
autres sont infiniment petits et du degré--, le polynôme D est divisible par (i — a^)"~'. D'une manière générale, le polynôme D est divisible par (i — w*)"^'"'^". Ainsi le discriminant est de la forme
D=:: a"-«-'{i — a'')"+i-')'"[«„+ a,a''+ aiU'^-{-. ..4- a^u*"'].
Les deux premiers facteurs se rapportent aux points critiques; le polynôme placé entre parenthèses, et qui est du degré
8 An
donne les points doubles.
Soit /(m, v)=^ o l'équation modulaire. En prenant le discriminant sous la forme D = Iif^,.[u,Vi), on reconnaît sans peine que ce polynôme est carré parfait; on voit aussi qu'il est réciproque. Le nombre des points doubles est donc ri^ — i — [\n ~ 4 ( - ' )°''
Calcul des fonctions de transformation,
Mh^. Proposons-nous maintenant de calculer les fonctions de transformation. La première de ces fonctions est (n** 349)
Si l'on pose
;i; = m'X(2, w, w'), y^=zv^'k{z,-i(xi'U et si l'on se sert des polynômes ¥(07) définis au n" 371, la question
ÉQUATION MODULATRE. 643
est ramenée à la détermination de la fraction rationnelle
D'après la première des relations (i5) de ce même numéro, les deux polynômes ont les mêmes coefficients; nous les représenterons par
Le calcul de ces coefficients peut être effectué à l'aide de la relation (16), entre trois coefficients consécutifs, que l'on déduit de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi. Si l'on y remplace a par sa valeur
- lu* -h ~]i cette relation devient
l {im 4-1) (2m -h o.)a^''-*-'^ + 9.m{ n — o.m) lu* 4 — ) a<'"'>
\ 2, n^ du ^ '^
Le premier et le dernier coefficient sont
et, en vertu de l'équation (22), on a,
n V du n vj^,
Afin d'éviter les quantités irrationnelles, nous mettrons l'équation (3o) sous la forme
(33) / . ,, ^aC-') ^ ^ -I- (n -— 2/n 4- T)(n — 2m 4- 2) —
/ x/ i , ï \ n i^u^ ^log(a(o)V
\ u\l H n^ du
Le dernier terme est connu et rationnel, d'après l'équation (Sa). En faisant successivement m =^ o, /w := i, m = 5:,..., on obtiendra les rapports des coefficients au premier, exprimés par des fractions rationnelles en u et v. La connaissance de ces rapports suffit pour la détermination de la fonction de transformatipn (29). D'après le raisonnement du n° 387, les deux quantités
11 ii\pz) ' 11 v'ipz)
données par les formules (5) et (11) des numéros 349 et 351, peuvent s'exprimer rationnellement au moyen de u et v. Il en résulte d'abord que la quantité k'^k'^'^ ou (i —u*) (i — v^) est égale au carré d'une expression rationnelle en m oAv. De l'équation [lo.) on déduit
la quantité — nmf'ufl- doit aussi être égale au carré d'une expression rationnelle. en m et i^; en prenant la racine carrée, on aura le multiplicateur g^, exprimé rationnellement au moyen de u et v.
De l'équation (3o), dans laquelle on ferait m — o et m — -, on
déduit
aC) n I- w« rflog(flW)«
«("> 16 M^ du
i"-^)" ^' "^ 4« "^ dût
On obtiendra ainsi le deuxième et l'avant-dernier coefficient.
415. On peut aussi se servir, pour le calcul des coefficients, de deux équations difPérentielles simultanées, analogues aux équations différentielles d'Abel (n" 345), et auxquelles satisfont les deux fonctions V
ÉQUATION MODULAIRE.
et Yi. Ces équations sont
2a désignant la quantité ^ +- %u m* -f- — , • Si l'on y remplace V et V, par leurs valeurs, et que l'on égale à zéro l'ensemble des termes du
même degré, on aura des relations entre les coe(^lcientsa'"^a"^a'-^
Nous appliquerons ces méthodes aux cas les plus simples.
Transformation du troisième degré.
