Pour 71 = 3, l'équation modulaire (n° 411) est (i

f{u, ^) = ^{v* — u*— iui> ^- 2«'f') = o. Si Ton représente par t le produit iw, on a uJ,[ = 3P-t-2u\ vfl^Zv~t-^iv\ -uvfj:=Zo{A-t^r

On déduit d'ailleurs de l'équation modulaire la relation

(38) (i — M»)(i — f») = (i — mV)<;

il en résulte

(3/'— ^— 2M') fl — /') -XU^ -^ V

Les formules relatives à la transformation du troisième degré sont donc

2M'H- V flC)

aW

Si — X — x^

Lorsque le module k est réel et plus petit que l'unité, le multiplicateur de la première fonction est réel et positif. Pour les valeurs trèspetites de u, on a approximativement (^ — — i^^ ^i = 3, ce qui détermine le signe. Maison peutsupposer que, dans les formules précédentes, V désigne l'une quelconque des quatre racines de l'équation modulaire; car, lorsque la variable u décrit différents lacets, la racine V, sur laquelle nous avons raisonné, reproduit toutes les autres, et la fonction de transformation correspondante devient égale à chacune des autres, ou égale et de signe contraire : cela dépend du signe de ^, . Les formules (89) représentent ainsi les quatre transformations du troisième degré.

Transformation du cinquième degré,