Nous mettrons l'équation modulaire (19) sous la forme

(4o) f{u, v) —(u-— v'Y -h Su^'v^'u' ~ V') + ^m {x ~ u' V*) = o.

En prenant les dérivées partielles du polynôme, et retranchant trois fois ce polynôme, on a

Nous poserons, pour abréger,

(4i) G =(//'-i-c^)[3(m'— (/')'-(- 8?fV], H — 8mc^(i -I- w^f'),

Si, dans l'expression

on remplace uv(\ ~ wV) par sa valeur tirée de l'équation (40)» on trouve

et, par suite,

(43) PQ:.r:G'-H'=5(M'+f')Mw"-<^')'-

ÉQUATION MODULAIRE. 647

Od a aussi

(44) (i tt*)(i(;sj =

^' ~ -^^Mf (i— i/*) (a'+T^j "■ c (! — «(/'/ ô^^ ~ ^' t^ '

On calculera le rapport du second coefficient au premier à l'aide de

l'équation (35)

rt") 5 I — u* ^log(a(») /

On a

et, en remplaçant^ par sa valeur,

Si, dans le dernier terme, on met à la place de Q- et de P^ les quantités égales PQ -f- 2HQ, PQ - 2 HP, cette équation devient

^ du \ du dv j PQ \^ du dv

Calculons le dernier terme

()P r^ àQ ^( dG dÇi\ „/ oii ou\ .. 1 an. aw\

du dv j \ du dv j

Comme on a

dÇj à(^ ^^ dVi <^H ^ , . ^ ,,

du dv du dv ^ '

dOi dG , , . r / n 1 . n

648 LIVRE VUI. — CliAPITKE II.

il vient

Ou ^~ + Pv^ ^- 6G^+ 2H(m^- V') \q{u' - v'Y-'r- 32U--V'] — i6Ruv{i + 5u*v*), ^ au àv \ j\.v\ ^ j

et, en remplaçant G^ par PQ -+- U^,

Qu~ -]- Pv -^ = 6PQ -\ 2.U[g{u' - i''/ -h 32u'v'{u' — V' } -h i6uv{i — u*v')]i

en vertu de l'équation modulaire (4o)» cette expression se réduit à

Qu~-hVv^ --^6PQ-+- 1 on iu'- v')\ ^ du âv ^ '

On a ainsi

UQ " ^-:64Mt^(l — U*i>*) '

du ' ^ ' ' PQ

el, en remplaçant H^ et PQ par leurs valeurs (4^) et (43), et tenant compte de l'équation modulaire,

"^ du ^ u^-v' ' du ~^4(M»— f')»*

On en déduit

On obtient de cette manière la formule de transformation

v^ via'' -{- v'') ,

v(i — uv^]- '' v(m M-f' , c'

On arrive plus rapidement au résultat en se servant de l'une des équations (37). Parmi les relations qu'elle fournit, les deux premières sont

Maôô -^^^o^»)- «70) --^;+5 = «'

ÉQUATION MODULAIRE. 649

L'éliminalion des termes contenant .r h la première puissance donne

on verra que le second membre est carré, et l'on fera le choix du signe en substituant dans Tune des deux relations.

Pour n=3, l'équation modulaire n'a pas de point double; pour « = 5,elle en a huit (n° 413). Le produit PQ, donné par la formule (43), est nul en tous les points où deux racines sont égales; le second facteur M* — v^ correspond aux points critiques, le premier m^ -+- v^ aux points doubles; mais l'équation (4o). dans laquelle on fait s/^ = — m', se réduit à w* -h I — o, de sorte que le discriminant est w"( !—«')*( I -^-u^f.

Transformation du septième degré.