I -h H* fr — M") (P — M»){l -/+/=*) P—u
On obtient ainsi les formules
ft3—n»)f aC) ~ ^' ^"(1- /) ' ~
' :ïï^— —ê^'
Pour n = 7, l'équation modulaire a seize points doubles; d'après la troisième des formules (47), ils sontdonnéspar l'équation i — t-ht- =0; puisque /* + ! = (/ + 1) (/*— ^ + i), on a /' = — i , et par suite, ^»4 ç;8-— 2/, M*ç^*= i^ ; on en déduit m* = ^* = /, d'où i — u^-h u*^ = 0. Ainsi le discriminant est w^(i ~ u^Y {i — m* -t- w" j^
Équation différentielle entre les modules.
420. Nous avons vu (n° 279) qu'une période quelconque de l'intégrale elliptique de première espèce satisfait à l'équation différentielle linéaire du second ordre
qui admet, par conséquent, pour intégrale générale | = «w -f- b(ù\ a et b étant deux constantes arbitraires. Si l'on pose Ç = kk'^^^y cette équation devient
Considérons une autre solution a'w-i-6'w' de l'équation (49)> et
posons
a'oi-hb'tù'
^ ao) -f- «oj
2T:i{ab'— ba'\ kk''
nous aurons, en vertu de la relation (35) du n° 279, ,| = ,a.-.«-)(.^^'-»'^) =
et, par suite,
dk t,^r=~'2.T:i{ab'—ba')-T-'
En substituant dans l'équation (5o), et laissant la variable indépendante quelconque, on obtient l'équation
(5i) 'idkd'k-Z{d'ky+i^-^^\ dk' = {^\'idpd'ç>-Z{d'pY].
En appelant a><, &>\ les périodes elliptiques relatives à un autre module ^o et posant
«1 Wi -f- t>i 0) ,
ÉQUATION MODULAIRE. 6S3
on a de même
Lorsque les deux modules k et ^, varient simultanément, de manière que l'ou ait constamment p^ = p, des deux équations précédentes on déduit l'équation différentielle du troisième ordre
( 7.dkdky{dkd'k,- dk,d'k)-'i[{dkd'ksi'- [dk.d^ky]
La relation /s, = p, qui est de la forme /-~x (ù\ a'w -<- j3'w'
a', |3', |3 étant trois constantes arbitraires, en est l'intégrale générale. Les deux couples de périodes des fonctions elliptiques qui résolvent le problème de la transformation satisfont à une relation de cette forme (n°390); on en conclut, comme cas particulier, que l'équation modulaire, quel que soit son degré, donne une solution de l'équation (52). (Jacobi, Fundamenta nova.)
421. Galois avait annoncé que, jusqu'à a* = 1 1, le degré de l'équation modulaire peut être abaissé d'une unité. MM. Hermite et Betti ont donné de ce théorème deux démontrations basées sur des principes différents. Considérons une fonction symétrique ou alternée (ç^a» ^p) de deux racines de l'équation modulaire, puis la même fonction de deux autres racines, et ainsi de suite jusqu'aux deux dernières racines, et
désignons par U une fonction symétrique de ces quantités; on démontre aisément, à l'aide des lois de permutation établies précédemment, que, lorsque n ne surpasse pas 1 1 , parmi les différentes manières d'associer les racines deux à deux, il en Bst pour lesquelles la fonction U n'acquiert que n valeurs pour chaque valeur de u et, par consé? quent, satisfait à une équation du degré n.
Autour de chacun des points critiques, une racine Va. reste holomorphe, et la racine associée v^ acquiert les n autres valeurs; la quantité {Va, ^p)et, par conséquent, la fonction U prennent /i valeurs, formant un système circulaire. Si cette fonction n'acquiert dans toute l'élendue du plan que n valeurs, il est impossible que deux de ces valeurs aient un élément commun ((^a. ^p); car, par un chemin convenable, ^a devient égal à la racine qui reste holoinorphe autour de l'un des points critiques; si deux valeurs de U avaient un élément commun ((^a» ^p)» sans être identiques, elles engendreraient deux systèmes circulaires de n valeurs chacun. On peut associer deux racines ^a t3t v<^ prises à volonté; car, autour du point critique où v^. reste holoniorphe, ^p acquiert les n autres valeurs. Dans une valeur de la fonction U, deux éléments ne peuvent présenter une même différence d'indices, parce que, si l'on décrivait le lacet (0) un certain nombre de fois, l'un des éléments de-
viendrait égal à l'autre. Dès qu'on a reconnu que le lacet («o) ^^^^ acquérir à la fonction U les mêmes valeurs que le lacet (0), on est certain que cette fonction n'a que n valeurs dans tout le plan, les autres lacets se ramenant aux lacets («o) et (0).
422. Ces considérations permettent de trouver aisément les modes favorables. Nous associerons les racines par différence, et nous ferons
le produit des quantités.
Pour w = 5, si l'on prend comme premier facteur V — v^^ 'a combinaison
(i) U = (V-(;.)(t', -cO(^5-fa)
est la seule dans laquelle la différence des indices dans les derniers facteurs ne soit pas la même. Par le lacet (0), celte fonction acquiert les cinq valeurs
(2) I U, = (V-.',)(t'.-f.)(f4-fo), [ U, =(¥-('.) (fo-f3)(f. — f:).
D'après la loi de permutation écrite au n° 408, le lacet {a„) reproduit ces mêmes valeurs dans un autre ordre; on en conclut que la fonction U n'a que les cinq valeurs précédentes, et, par conséquent, qu'elle satisfait à une équation algébrique entre u et U, du cinquième degré en U. Pour/î = 7, il y a deux combinaisons favorables
(3) U = (V-fo)(t'. -i'3)(f4-f«)(f. -t's),
(4) U = (V-f,)(c;=-c/6)(c5-fJ(c.-t'»).
On les obtient de la manière suivante : sur le lacet (a,,) la loi de permutation est (V, v^, v,^, t'^, v^, v,, v^)- Prenons comme premier facteur V — ç'o. et comme second V2 — ^a. par exemple- ç^a — ^3*» quand on décrit le lacet (Oo)» leproduit(V — Vo) (^2 — ^3) devient (cg — ^o) (V— Vt): le premier produit complété, devant reproduire le second après le lacet (0) parcouru une fois, contiendra le facteur t^^ — v^, qui donne
naissance à ç^g — ^o» et, par suite, le dernier facteur sera <^, — t^g. Par le lacet (0), la fonction (3) acquiert sept valeurs; ces mêmes valeurs se reproduisent sur le lacet («o); oïi ^n conclut que la fonction U satisfait à une équation algébrique entre u et U, du septième degré en U. La fonction (4) jouit de la même propriété. •
Pour 71 = 11, on a aussi deux combinaisons favorables
(5) u — ( V— V,){V,, — (^5)(<^3 — fe) (fs — (',)(('j— Vx){v^ — V:
(6) U = (V — t'„)(f,„ —V») [vt — v,)[vT~Vi){vt — v^){v; — v,),
que l'on obtient de la même manière. Sur le lacet (a^) la loi de permutation est (V, v^, Vq, «'4, t^3, t^9, (^2. ^8. ^7» ^5. ^to)- Oo prcudra comme premier facteur V — ç^,, et comme second ^,o — ^a- Pour w = 1 3, il n'y a pas de combinaison favorable.
423. De l'abaissement du degré de l'équation modulaire pour n = 5, M. Hermite a déduit une méthode de résolution de l'équation du cinquième degré par les fonctions elliptiques [Comptes rendus, t. XYIII). Formons l'équation du cinquième degré en U. Les valeurs de U étant finies pour toutes les valeurs finies de w, le coefficient de U^ est égal à l'unité. Pour a = co , les six valeurs de v sont infinies, l'une du degré 5,
les autres du degré ■= (n'^^OS); les cinq valeurs de U sont infinies et
du degré -^^ la somme des ordres négatifs de la fonction U étant égale
à 27, l'équation est du degré 27 par rapport à m (n" 135).
Pour les valeurs de m très-petites, les valeurs approchées de v sont
2 Tt l . 7. It J
et, par conséquent, celles de U sont .
Gi3 Gitj 6iti Giti 6iii
(7) U„ = 2^5"^aS U.=rU„e~, U,=:U„e'~, U3=U„/~, \},=\],e~ Nous avons posé ^ = — ; posons de même
^=~ = {i~io)i:i^- Dii^-h)'^
les coefficients de l'équation en | étant des polynômes entiers en m* (n° 401), ceux de l'équation en 0 jouiront de la même propriété; les valeurs de $ ne devenant infinies que pour u = o, cette équation est de la forme
tt«P. $» -f- \ M'^ {ap-{- bpU*-h CpU'^-h. . .) <^'--P -+- [ûi -+- bi II* -h c» M'* 4- . . . ) = o. En remplaçant $ par — et multipliant par m', on obtient l'équation
Pour les valeurs très-petites de m, les valeurs de U étant très-petites du
degré ^» et formant un système circulaire, on a |3o = 9, ûfg = — 2*5%
8(j3p— 9) +i5)o>3, et, par suite, |3^^io — 2/>; nous prendrons |3p = 10 — 2p. L'équation cherchée est donc de la forme
(8) U' + V u'-Piap-h bpU*-hCpU'')\}'-P+ a»(a6 + b,u'-h c,u"-h d,u^*) = o. p=i
Si l'on considère la fonction
relative à la variable m, = -» on a
puisque le produit des racines de l'équation modulaire (n** 41 1 ) est égal à — u^. Ainsi l'équation (8) ne doit pas changer quand on y remplace u
par - et U par — • Mais, par cette substitution, l'équation devient
U* -I- V u'P~' [ttp -t- bp U-* ■+- Cp M-") \}--P H- u^{di -^ c,u'-h b, u'" + a, u'*) = o ;
on en conclut qu'elle ne contient pas de terme en U* et que Ton a
bi = Cl = o, C3 = o, 63 =: tti, C4 == Uf di = ai, Ct, =^ 64. L'équation se réduit à
U' 4- «2 M* tJ-'^+ as mH I + M')U^H- M* («4 -)- 6«M»4-a4W'")U
Pour « — I , la racine f 0 de l'équation modulaire est égale à h- i , et les cinq autres à — i (n° 406); les cinq valeurs de U s'annulent; les polynômes en u, coefficients des diverses puissances de U dans l'équation (9), devant s'annuler pour m = j , on en déduit a^ — o, «3 ~- o, ^4 — — 2(24, ^5 = — «5. ce qui réduit l'équation à la forme simple
(lo) UM- atu*{i — m'j'Uh- asM'(i — a«)^(i + u*} — o.
Nous connaissons le coefficient «5; il reste à déterminer le coefficient «4 ; nous suivrons la marche qui a été indiquée au n" 41 1 pour le calcul de l'équation modulaire. A une valeur réelle, positive et très-petite de m, correspond une valeur de p de la forme p = si, s étant positive et trèsgrande et par conséquent une valeur de q réelle, positive et très-petite. En développant <jj(/5) en série et se bornant aux deux premiers termes, on a
u = 2.^ q* {i — q), Va = 2.' q*
1 j / mi jL iil\ i i/iii i ii!i\
v, = !i'q''[e' -q'e '), v, = ii'q''\e' - q' e '-> ) ,
/ iii I iiix -' -^/ — — 1 — \
V,— Vi = 12^ sin -^q [ I + q }, v, — t/3 = ia' sm ^ q*''\ i + V A
\], = o} 5' q^'ii + q'").
En substituant dans l'équation (10), divisant tous les termes par ^», puis égalant à zéro le terme constant et le coefficient de q^, on
trouve «5 = - 2*5'^, «4 = — 2*5^ L'équation cherchée est donc
(i I ) U'— 2<5'm' ( I — u'YV — 2'5'u'{i — u*Y{i + «»)—- o.
