CHAPITRE PREMIER

INTÉGRALES ABÉLIENNES.

4-26. Soit ¥{x,y) — o une équation algébrique et entière, irréductible, et du degré m par rapport à j. A chaque valeur de x correspondent m valeurs dey. Lorsque la variable x part d'un point fixe a7„, y ayant une valeur initiale jo. 6t décrit différents chemins qui aboutissent à un même point x, la fonction algébrique y acquiert m valeurs en ce point. Nous associerons à la variable x la valeur correspondante ôe y sur chaque courbe, et nous appellerons /?omf analytique le système des valeurs de x et y. Nous dirons que deux courbes décrites par le point (a?, y) se coupent, lorsqu'au point d'intersection des deux courbes géométriques qui figurent la variation de x la valeur de v est la même. Le point analytique décrit une courbe fermée, ou un cycle (n° 104), lorsque la valeur de j redevient la même au point de départ.

On a donné le nom d'intégrales abéliennes aux intégrales définies

j<f{a;,x)dx.

dans lesquelles (p{x,y) est une fonction rationnelle de x et y. Ces intégrales rentrent dans la catégorie de celles que nous avons étudiées dans le Chapitre IV du troisième Livre; car la quantité u = (p{x,y) est elle-même une fonction algébrique de x, satisfaisant à une équation du degré m par rapporta u.

Nous avons démontré (n" 106) que, pour chaque valeur de x, l'intégrale acquiert m valeurs, augmentées chacune de multiples quelconques de certaines périodes. Nous nous proposons maintenant de rechercher les intégrales auxquelles on peut ramener toutes les autres, quand l'équation Y[x^y) — o reste la même, et que la fraction rationnelle ç> (a?, j) est quelconque.

Nous mettrons d'abord l'intégrale sous la forme adoptée par Abel. Concevons que l'on opère une substitution du premier degré

— ^^'+ b'y-'+h" ex' -f- c'y' + c" ^

l'équation proposée se transforme en une équation f[cc\y') = o, du même degré; désignons par m ce degré par rapport aux deux variables oc' et y. Si l'on pose

A = a'b"—b'a", A' = a" b - b" a, k" = ab'-ba',

et si l'on rend l'équation homogène en y remplaçant x' et y par —» '^» et multipliant par 2"", on a

^^dx'^^ dy'^^ dz' r"" dx = ^ ^ -^

{ax'+a'r-]-a"Y-%

La fraction © {^,y) est le quotient de deux polynômes entiers M et N; appelons /i le degré du dénominateur, n' celui du numérateur; après la substitution, on aura

N' ( ax' + a' y' -^ a" )«'-»

M' et N' étant des polynômes entiers en x' et y', le premier du degré n', le second du degré n. Si l'on pose maintenant

^^ ' ' ' N'[ax'-i-a'y'-ha"y"-^'

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l'intégrale prend la forme

dx'

\dy)

Dans la nouvelle fraction rationnelle >if[x',y), le degré du numérateur surpasse de w — 3 unités celui du dénominateur.

4-27. D'après cela, étant donnée l'équation /(a;, j) — odu degré m par rapport à ^ et à r, nous considérerons l'intégrale

/v dr

dans laquelle ^(x,y) désigne le quotient de deux polynômes entiers MetN, dont le second est d'un degré quelconque /i, le premier du degré /i -h /w - 3. La substitution du premier degré nous permet de supposer que l'équation renferme un terme en f" et un en a?'" ; les m valeurs de j conservent alors des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de x, et deviennent infinies avec x\ nous pouvons supposer aussi que les m valeurs du rapport - restent finies et différentes, quand x devient infini;

chaque branche de l'intégrale conserve alors une valeur finie au point 0:^ — 00 sur la sphère, et reste holomorphe dans le voisinage de ce point; car la quantité v^= ux^ reste finie (n° 110).

On peut remplacer la fraction rationnelle =^ par une autre dont le

dénominateur ne renferme que la variable x. Soient, en effet,

/z= aoj"'H- «,/"-'-+- . . + «,„, N = 6„j" H- ft.j-"-' + . . . -H 6„,

les coefficients a et h étant des polynômes entiers en Xy dont les degrés sont marqués par les indices. On sait que, si l'on élimine j entre les deux équations/— o, N — o, le premier membre de l'équation résul-

tante X = o est le déterminant

C'est un polynôme entier en x du degré mn. Si l'on multiplie les éléments de la première colonne verticale pary""^""' ceux de la seconde pary"^"~-,..., ceux de l'avant-dernière par j, et qu'après les avoir ainsi multipliés on les ajoute à la dernière, on remplace cette dernière colonne par

sans changer la valeur du déterminant; mais alors ce déterminant, ordonné par rapport aux éléments de la dernière colonne, se compose de deux parties, contenant en facteur, l'une/, l'autre N, et l'on a

X = A/+BN.

Les polynômes A et B sont les déterminants que l'on obtient en remplaçant dans le déterminant X la dernière colonne par l'une ou l'autre des deux suites

ordonnés par rapport à j, ils sont de la forme

A = A«7"-' H- A, j"-^ + . . . + A„, , B = Boj"-'+ B,j"-»+ . . . -■- B„,.

Les coefficients A^ et By^, qui sont, au signe près, les sous-déterminants relatifs aux éléments de la dernière colonne, sont des polynômes entiers en 00 du degré [m — i) [n — i) ■+■ hy et, par conséquent, les degrés des

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polynômes A et B sont respectivement mn — m elmn — n par rapport

aux deux variables a? et j.

Cela posé, si l'on multiplie par Blés deux termes de la fraction ^^j

on aura, en vertu de la relation (-3), et en tenant compte de l'équation

M BM BM N "BN ~~X"

Le dénominateur de la nouvelle fraction ne contient plus que la variable X. Le numérateur est un polynôme entier en x et j, du degré rnn 4- m — 3 par rapport à ces deux variables, mais seulement du degré H -\~ lin — 4 par rapport à/; nous le représenterons par

BM = X(™,)(„-,)r''"-^"-'+X(„-,)(„^.,)+,j""-*-"-'-i- . . .-f-X,„„+«„

en indiquant par des indices les degrés des coefficients.

428. Il est clair que réquation/= o permet de réduire ce polynôme au degré m — i par rapport ày, sans changer le degré total; soit

BM = XL- ,r""'+ X,„.^-' -f- . . . + XL + m- s-

On peut même le réduire au degré m — 2. On a, en effet,

f'^ = maoy""'' -+- ( m — 1 ) a, j"'-' -f- . . . ,

BM - ^^y; = x;„,:^"'-+xi„r-'-+^- • •+xL.-„.-3 = H,

et, par suite, '

TBM dx rXnn-.^^^ TH fh^

En faisant abstraction de la première intégrale, qui s'exprime par une quantité algébrique et le logarithme d'une quantité algébrique, on a à considérer l'intégrale

dans laquelle le dénominateur X est un polynôme entier en x du degré mn, et le numérateur H un polynôme entier en x et j du degré mn -\- m — 3 par rapport à ces deux variables, mais seulement du degré m— 2 par rapport à y.

Si l'on divise par X les coefficients X"„„, X^,,„^.,,... du polynôme H, à partir du second, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes deo?, on aura des quotients Co, c,, Ca,..., c,„3 de degrés marqués par les indices, et des restes Ro, R, , • • • » ^m-:\ du degré mn - i . En posant