OT — J

Q =r: Co7"' - = -i- C,f"-' + .. .-\-C„

R =- K.n - ,r-' + R.>"' ' 1- R.r ' + •••+ R»-3. on a ainsi

et l'intégrale (4) se partage en deux parties

Chacune des fractions rationnelles — ^— ^> x"'"* ^^ décompose en

une somme de fractions simples de la forme ; — -, ' A étant une

constante et aune racine du dénominateur. La seconde intégrale se décompose donc en intégrales telles que

G étant un polynôme entier en j, indépendant de a?, et du degré /^^ — 2.

Intégrales abèliennes de première et de seconde espèce. 429. Considérons la première des intégrales (5), savoir

Le polynôme Q, du degré m -- 3 en x et j, renferme —

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 667

coefficients; on peut donc ramener toutes les intégrales (7) à

(m — f)(/n— 2). ., , • l•^ 1 . x^ . . , intégrales particulières de cette sorte. Parmi ces intégrales, il en est qui conservent une valeur finie sur toute la sphère; ce sont celles-là que l'on appelle intégrales de première espèce. D'après ce que nous avons dit au n*^ 427, les m valeurs de j restent finies pour toutes les valeurs finies de x, et le point a? = co est un point ordinaire pour la fonction V; il suffit donc d'examiner ce qui a lieu quand/,' = o, c'est-à-dire aux points où plusieurs racines de réquation/= o deviennent égales entre elles. Soit (^r,, j,) un point où n racines de l'équr.tiony= o sont égales à j, ; posons x =^ x^~- x\ y = y-, -'- y'. Dans le cas particulier où la dérivée/' n'est pas nulle, on a (n°33)

f^{Xx'-hBy"')-i-...;

les n racines égales forment un systèm'e circulaire et sont représentées par la série

on en déduit

/; = »Bj"'-'-4- ..=c>

La fonction m= y?? placée sous le signe somme, étant une quantité

infiniment grande d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale conserve une valeur finie, mais elle acquiert n valeurs différentes, quand la variable tourne autour du point critique (n" 107).

En général, les n racines égales se partagent en plusieurs systèmescirculaires représentés chacun par une série de la forme

SiAj'^ir'^estle premier terme dupremiergroupedansréquation(n"34), /est, par rapport à x' , un infiniment petit du degré a- -:- /3, et, par conséquent,/' un infiniment petit d'un degré(«— i)--i-|S, égal ou supérieur à l'unité. Supposons que dans le numérateur Q — Q, -h Ik'y'^'x'^' on ait remplacé y par sa valeur; pour que l'intégrale reste finie, il fau-

(Ira égaler à zéro le terme constant Q, et les coefficienls de tous les

termes dont les degrés sont inférieurs ou égaux à (a - i ) ^ -l- (/3 — i).

Chaque point double à tangentes distinctes donne la seule condition Q, = o. On obtiendra ainsi un certain nombre de relations linéaires entre les coefficients du polynôme Q; si m' est le nombre des relations distinctes, il restera m, — (^~^)(^~^^ ^' coefficients arbitraires; ce

sera le nombre des intégrales de première espèce. Pour toutes ces intégrales, les points critiques sont ceux de la fonction algébrique y, définie par réquation/(^, j) =o; les mêmes cycles donneront leurs périodes; nous avons vu (n^'* 111 et 242) que le nombre des périodes distinctes, pour chacune d'elles, est au plus égal à2 (/? — i) — 2(m — i). Outre ces intégrales toujours finies, nous en prendrons m' autres, que nous choisirons de manière que chacune d'elles satisfasse aux m' équations de condition, excepté une; ce seront les intégrales de seconde c^joece. La première satisfait aux m' conditions, excepté la première; la seconde aux m' conditions, excepté la seconde, et ainsi de suite. Chacune des intégrales de seconde espèce ne devient infinie qu'en un point sur la sphère.

Intégrales abéliennes de troisième espèce.

430. Dans l'intégrale (6), la lettre a désigne un paramètre arbitraire, et q un nombre entier quelconque, cette intégrale étant la dérivée d'ordre q par rapport à ce paramètre de l'intégrale

on peut se borner à étudier cette dernière. Le polynôme G, indépendant de X, et du degré m — i en y, contient m — \ coefficients; on a donc m — i intégrales de la forme (8). Mais nous considérerons le cas plus général où G est un polynôme entier en x et y, du degré m — i par rapport à ces deux vtiriables. Par une substitution entière et du premier degré, analogue à une transformation de coordonnées, nous mettrons la droite x — a = o sous la forme «0? + /Sj + 7 — o; l'inté-

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 669

grale devient alors

Nous assujettirons d'abord le polynôme G à satisfaire aux conditions nécessaires pour que l'intégrale conserve une valeur finie aux points critiques relatifs à la fonction algébrique y; il restera un certain nombre de coefficients arbitraires. La droite ax ■+ ^y -h y = o 30upe la courbe /— o en m points (a?,, j, ), (a^o.js).- ' («^«.Jw); nous assujettirons en outre la courbe G = o, qui est du degré m — 2, à passer par m — 2 de ces points, par exemple par les m — 2 derniers; de cette manière, la fonction V ne deviendra infinie qu'aux deux points (^■♦JKi)» (^2»/2)» qui sont des pôles simples delà fonction u placée sous le signe somme, et des points critiques logaritbmiques de l'intégrale (n° 108). Telles sont les intégrales de troisième espèce.

On peut ramener toutes les intégrales (9) à m — r intégrales particulières de troisième espèce. Soient en effet G, = o. Go — o,..., G,„, = o des courbes particulières du degré m — 2, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, et passant par tous les points d'intersection de la droite aa^ -f- |3j -1- y = o et de la courbe / = o, excepté deux, savoir : la première, par tous les points, excepté le premier et le dernier; la seconde, par tous les points, excepté le second et le dernier, et ainsi de suite. Si G est un polynôme quelconque du degré m— 2, on peut déterminer les constantes A, , Ao, . . • , A,„i , de manière que la courbe

G — A, G, — Aj Gj — . . . — km-\ G„ , ^3 o

passe par tous les points d'intersection, excepté le dernier; il suffit pour cela de prendre

le premier membre de l'équation est alors décomposable en facteurs, et l'on a

G - A. G, - Aa G, - . . . - A„, G„,, rr: [ax -"- [3j -f- y ) II,

H étant un polynôme entier en x et j, (Ju degré m — 3. Si l'on appelle V,, V.J.. ., V,„ I les m - i intégrales de troisième espèce, qui correspondent aux polynômes G,, Gj,. . ., G,„. ,, on en déduit

Toutes les intégrales (9) se ramènent donc h m — \ intégrales de troisième espèce, et à des intégrales de première et de seconde espèce.

431. Considérons une intégrale de troisième espèce (9), telle que la courbe G = o passe par tous les points d'intersection de la droite

ax H- ^ r H- 7 — o avec la courbe /'— o, excepté les deux premiers (a?,, y,), [x<i,y.). Afin de rendre les polynômes homogènes, concevons

que l'on remplace x et j par ^ et '^-\ les coordonnées d'un point quelconque de cette droite pourront être représentées par

à l'aide d'une variable t. Les points d'intersection de la droite et de la courbe ./=o sont donnés par l'équation

/( A-, + tXi^ y^ -f- tyi, Zt -+- tZi) — Wo -I- Wi f -f- M, /' 4- . . . 4- u„, V" — o, qui se réduit à

M| -i- Ml ? 4- . . 4- Um-\ 1"'--== O,

puisque les coefficients Mo et «,„ sont nuls. Les points d'intersection de la droite avec la courbe G = o sont de même donnés par l'équation

Il faut que ces deux équations admettent les mêmes racines, et, par conséquent, que leurs coefficients soient proportionnels; en multipliant G par une constante convenable, on peut faire en sorte que ces coefficients soient égaux. On aura alors

Vj C, tV-t

«1 U, ' Um-i

LNTÉGRALES ABÉLIENNES. 671

et, par suite,

G,, = c„., = «,„. .^ x,f;.^ ^-rJ'r, -t- -S'/r', =- (^' - ^0/J, + (j. - r» )/^,-

Nous mettrons l'équation de la droite sous la forme