Considérons les intégrales (i i) ; on a

J)^{x'"f) = mx"'-^x -f- x"''D^x = - mx'"~'f^-h ' — D^ (j') -,

la quantité placée entre parenthèses est un polynôme entier en x du degré in ^ m — i , que nous représenterons par

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 673

on en déduit, par l'intégration

et la première intégrale s'exprime à l'aide des autres. On ramène ainsi toutes les intégrales (ii) à celles dans lesquelles l'exposant est plus petit que in — \, c'est-à-dire aux 2/1 — 1 intégrales

rdx Çxdx CxUlx r x'" -»

dx

Pour que l'intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, il est nécessaire et il suffît que l'exposant soit inférieur ou égal à /i — 2; il y a donc n — i intégrales ultra-elliptiques de première espèce, savoir :

, ,, rdx Cxdx r x-dx rx'-^dx

(.4) jy. j-,. ./—•■•• J-J- .

D'après ce que nous avons dit au n** 113, le nombre des périodes pour chacune d'elles est 171 — 2; nous remarquons qu'il est double de celui des intégrales de première espèce. Les /i intégrales suivantes sont de seconde espèce.

Les intégrales (12) sont les dérivées par rapport au paramètre a de l'intégrale de troisième espèce

Cette intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, excepté aux deux points d'intersection de la droite ^ — a avec la courbe (ro). Soit b l'une des valeurs de r pour œ = a; les deux points critiques sont {a, b), (a, — b); la partie principale de l'intégrale

est \og{x — a) dans le voisinage du premier point, et — ]og{x—a) dans le voisinage du second point.