RELATION KNTRE LES PÉRIODES DE DEUX INTÉGRALES ABÉLIENNES

Relation entre les périodes de deux intégrales ahéliennes de première espèce.

434. Appelons U et V deux intégrales de première espèce, relatives à une même équation algébrique /(a;, j) — o du degré m. Le point 0' sur la sphère étant un point ordinaire, l'intégrale JWdN, prise sur l'un quelconque des circuits, U et V étant les valeurs des intégrales comptées à partir de l'origine de ce circuit, est nulle (n° 111). L'ensemble des m circuits donne donc l'équation

(i) y C\5dy = o.

Considérons les/? lacets binaires de première espèce

qui se rapportent h un système circulaire de p racines se permutant autour du point critique a, et les p circuits

dans lesquels entrent respectivement ces lacets ( n° 1 12). Cherchons la partie qui, dans le premier membre de l'équation (i), correspond à ces lacets (Oa). Sur chaque circuit, un élément mm' de la droite Oa est parcouru deux fois, dans des sens contraires. Nous désignerons par dY^^, dYff^,... les valeurs de dY sur l'élément mm', quand la variable x décrit la droite Oa, la racine j ayant en 0 l'une des valeurs initiales

INTÉGRALES ABÈLIENNES. 675

7^0' J^. Sur le circuit (C)^;;, quand on arrive à l'entrée du lacet (a)|;,

l'intégrale U a acquis la valeur Ut;;; sur la droite Orn elle augmente ensuite de la quantité U[", de sorte qu'elle a en m la valeur U^» -f- U^., et l'élément mm' donne l'élément différentiel (U:" 4- U!') d\„ . Quand la variable x, après avoir décrit un petit cercle autour du point critique a, dans le sens positif, revient en m, la fonction U a une autre valeur U'; en achevant le circuit, on aurait

U'-i-U^-i-U': = o, d'où U'=-TJ!:-!-U„^.

c?V ayant sur mm' la valeur — c?V„ , on a le second élément différentiel {{J2 — Ug")6/V„ . Ainsi le circuit (C)^;; donne, pour l'élément /;^//^' de la drc^ite Oa, les deux éléments différentiels

le circuit (C)â; donne, pour le même élément mnï, et ainsi de suite; enfin le circuit (C)"'':; donne

En ajoutant ces résultats, on obtient la partie qui dans la somme (i) se rapporte à l'élément wm', savoir:

(2) (u^: + u:r') ds,, + (uf; + U!:) ^v,. +.., + (u-^:; + u'p) ds,^^.

Posons

uf; H- u^: = a::, uf: -f u;; = a:;, . . . , u^: + u^f = A:r' ,

et remarquons que ces quantités sont les valeurs de l'intégrale U, relatives aux lacets de seconde espèce («')"^, (a')";,..., («')â",. décrits dans le sens négatif (n° 112); la quantité précédente se réduit à

(3) kXdSs. H- a::c?v,, +. . .+ a:':-*^^„.

Il faut considérer maintenant les éléments successifs de la droite Oa,

c'est-à-dire intégrer de 0 à a. Si l'on appelle h„^, hg,... les valeurs de l'intégrale V, relatives à la droite 0«, quand la racine y a en 0 l'une des valeurs initiales y^„, J-,..-., on obtient la quantité

La somme des valeurs de l'intégrale U, relatives aux p lacets binaires de seconde espèce étant nulle, on a

a, + A„^ +. . .-t-A„'„;-i- A„„ :^ o, et la quantité (4) devient

Nous désignerons par al[, ai',..., a^°^ les valeurs de l'intégrale U, relatives aux p lacets binaires de première espèce, et par bl\, bl\,. . ., è^?' celles de l'intégrale V, relatives aux mêmes lacets, décrits dans le sens positif; comme on a

l'expression (5) se met sous la forme

(6) - a:: c .- a:: (6f: + bi\) -...- a:-: {b% + 6;; + . . . + ig::).

Telle est la partie qui, dans la somme (i), correspond à un système circulaire de racines. Chaque système circulaire donnant une quantité analogue, on aura l'équation

(7) - 2 [a:: bi\ + a:: (6»; + 6^;) + . . . + kç:M + 1^: + • • • + ^f::)] - o,

le signe 2 s'étendant à tous les systèmes circulaires de racines.

Cette équation peut être mise sous une autre forme. En intégrant par parties et remarquant que les valeurs des intégrales U et V sur

LNTÉGRALES ABÉLIENNES. 677

chaque circuit sont nulles, on a idenliqueinent

(8) 2J\}d\ -^-lf\d{}.

Si l'on désigne par B";, B^\ .., B^;" les valeurs de l'intégrale V relatives aux lacets de seconde espèce, décrits dans le sens négatif, on obtiendra l'équation (7) sous la forme

4-35. Nous allons faire voir que l'on peut transformer cette équation, de manière qu'elle ne renferme plus que les périodes de l'une et l'autre intégrales. Après avoir choisi un système de lacets fondamentaux de première espèce, appelons U,, Uo,. . . , V,, Va,. . . les valeurs des intégrales U et V, relatives aux lignes fermées composées uniquement de lacets fondamentaux et conduisant de la racine y^ à chacune des autres j,, y.2. ••» Jm-i- A chaque lacet binaire de première espèce correspond un cycle simple; nous désignerons par c^i,^^ et -ubj^ les valeurs des intégrales U et V, relatives au cycle simple dans lequel entre le lacet binaire (a)f^ Ces intégrales sont nulles, lorsque le lacet binaire est l'un des lacets fondamentaux; dans le cas contraire, ce sont des périodes de l'une et de l'autre intégrales. Comme on" a ad,!' — V„ -h è!' — V^ ,

C 00 ou su 6 1 '

l'équation (7) devient

- 2 [a:: < + a:: «; -1-^)-^...+ A^p {^.^yR^^.,,^ ^jp^)]

- 1 (a:: V,. + a:; v,, -h . . + a:;:: v,^^ + Kr yj = o.

La quantité V^ se trouve dans les parties relatives à différents systèmes circulaires, dans toutes celles où un lacet binaire de première espèce permute la racine déterminée j^ en une autre; mais nous avons vu (n° 112) qu'aux lacets de première espèce, qui permutent la racine y^ en une autre, correspondent les lacets binaires de seconde espèce, qui entrent dans le circuit de seconde espèce (C')î; la somme des .quantités A, par laquelle est multiplié V„, est donc nulle. La seconde partie étant identiquement nulle, l'équation précédente se réduit à sa première partie, c'est-à-dire à

Considérons maintenant les cycles formés chacun de lacets fondamentaux et d'un lacet de seconde espèce; on a, comme précédemment,

x'„^'==: Ua„-+- «'„"' — Ua,, ct l'équatiou précédente devient

[II

La quantité Ua est multipliée par toutes les quantités oii), relatives aux cycles simples qui se rapportent aux lacets de première espèce correspondant aux lacets de seconde espèce qui permutent la racine ja en une autre; mais ces lacets de première espèce forment le circuit de première espèce (C)". Ce circuit pouvant être regardé comme la réunion des cycles simples, la somme des quantités b par laquelle est multipliée Ua est nulle. Ainsi la seconde partie est encore identiquement nulle, et l'équation (i i) se réduit à

{i2)2[<;<+x'::(iPo,^:4-<:)+...+ ^':;;:;(<;+<:+

elle est de la forme

(i3) • 2ww' = o,

w et w' étant des périodes de Tune et l'autre intégrales.

Relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce et d'une de troisième espèce.