Soient

ces deux intégrales. Nous supposerons que l'on puisse joindre les deux points logarithmiques (^,,71), {x^^yz) par une ligne qui ne coupe aucun des lacets relatifs aux points critiques algébriques a„, a,, — Dans ce cas, nous formerons un nouveau lacet avec cette ligne, deux petits cercles décrits autour des points logarithmiques, et une ligne 0^

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 679

allant de l'origine à un point delà ligne XfX^. Dans le cas contraire, on introduirait deux lacets nouveaux unissant l'origine à chacun des points logarithmiques. Chaque circuit enveloppe tous les lacets. Les valeurs des deux intégrales étant nulles sur chaque circuit, l'équation (i) subsiste. Le lacet (^,^2) n'entre effectivement que dans un circuit; quand la variable ce décrit ce lacet, l'intégrale V acquiert sur

les petits cercles a?, et Xo les accroissements — 2ni et -f- "ini, et, par conséquent, reprend à la fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée; ce lacet ne modifie donc en rien les parties de la somme qui se rapportent aux autres lacets. Il suffit d'y ajouter la partie fournie par ce nouveau lacet; les lignes Oh et XfX^, étant parcourues deux fois avec des valeurs de UdY égales et de signes contraires, ne donnent rien dans la somme; il reste à considérer les deux petits cercles Xf et x^; le premier donne — 2nî\]^, le second -f- aTTiU^,, ensemble 27rî(U;r — U;r,)» ou 2ni j é/U, l'intégrale étant prise le long de la ligne XfX^- On a donc l'équation

(i4) > oiO)'-T-27:/ / </U=o.

Relation entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce. 4-37. Soient

ces deux intégrales. 11 faut considérer deux nouveaux lacets {x^Xz)* [x\x\) unissant, l'un les deux points logarithmiques de la première

intégrale, l'autre ceux de la seconde. Nous supposerons que les deux lignes cCfOo^, ^t\x'^ ne coupent pas les lacets relatifs aux points critiques et ne se coupent pas entre elles.

L'équation (i) subsiste encore. Les nouveaux lacets ne modifient pas la partie qui se rapporte aux premiers lacets. D'après le raisonnement

du numéro précédent, le lacet {oo\x\) donne 2ni ^/U; la seconde

forme de l'équation (8) montre que le lacet (^1^2) donne de même

— 2ni I dy . On a donc l'équation

\ om'-hzni I dU — i-nij rfV=o.

Application aux intégrales elliptiques.