Considérons deux intégrales elliptiques

l'une de première espèce, l'autre de seconde espèce (n° 273). Supposons que les lacets relatifs aux quatre points critiques «o» ^o «2» ^3. qui

correspondent aux valeurs -f- i, r' — i, ~ r de la variable x, se succèdent dans l'ordre positif, et que le rayon 0/du circuit passe entre les points «0 et «3. Sur les deux circuits, la valeur initiale de j étant ±. i, les fonctions U et V ont au même point des valeurs égales et de signes contraires, et, par conséquent, l'intégrale J\}dN a la même valeur.

Elle devient infinie avec x\ car, si l'on pose ^ — — ^, et si l'on développe en série suivant les puissances croissantes de x' , on a

- =q=-r- (i + a.r'^-4-Sx'< + . . .), X ^ A' '

dV ï

INTÉGRALES ÂBÉLIENNES. 681

d'où l'on déduit

Le point 0' sur la sphère est pôle de celte dernière fonction. L'intégrale relative à chaque circuit, décrit dans le sens positif, est t^> ce qui

fait pour les deux circuits — '^•, tel est, dans ce cas, le second

membre de l'équation (i). Chaque lacet ne fournit qu'un seul terme, et le premier membre, sous la forme (7), est égal à

(a, — a,4-a,)6o-f-(— ««-f-a,— Oj) 6, + (a,— a, -t- a3)6,H- (— a, -F a^ — ai)bif

quantité qui se réduità —i(a^bi — aibo) etparsuiteà — ^(œw'j— o'w,); on retrouve ainsi la relation obtenue au n° 273,

439. L'intégrale elliptique de troisième espèce, telle qu'elle s'est présentée d'abord, est donnée par la formule (16) du n° 275; nous la mettrons sous la forme

|3 étant la valeur qu'acquiert y lorsque la variable x va de l'origine 0 au point a par un chemin déterminé Oa, j ayant au point 0 la valeur initiale -h i. Cette intégrale admet quatre points logarithmiques, savoir les deux points (a, ± |3) et les deux points (— a, ± |3). Quand la variable X tourne autour de chacun d'eux dans le sens positif, l'intégrale éprouve les accroissements ± ni, q= izi. Joignons les deux points géométriques a et — a par une ligne qui ne coupe aucun des lacets relatifs aux points critiques algébriques, et complétons le lacet qui enveloppe ces deux points par le chemin déterminé Oa.

Si U est l'intégrale de première espèce, et V une de troisième espèce, l'intégrale fUdY, conservant une valeur finie quand x devient infinie, est nulle sur chacun des deux circuits. Le lacet qui enveloppe les deux points (a, |S), (— a, /3) entre dans l'un des circuits; le même lacet, considéré comme enveloppant les deux points (a, — /3), (— a, — /3), entre dans l'autre circuit; ces deux lacets donnent d'ailleurs des termes égaux. En désignant par as et s' les périodes de V fournies, comme celles de U, par les deux cycles formés, l'un des deux lacets (a„) et («a)» l'autre des deux lacets («,) et («(,), on a l'équation

— 2(coe'— co'e) + 27ri I d\]=^o.

Pour préciser, nous supposerons que la ligne déterminée Oa passe entre les points «, et a,, ce qui est toujours possible, quelle que soit la position du point a, et nous appellerons a la valeur de l'intégrale de première espèce, quand la variable oc décrit la ligne Oa, avec la valeur initiale y = i. Si l'on considère le cycle formé par la ligne qui joint les deux points a et — a, la ligne Oa et une ligne symétrique allant de l'origine au point - a, on a

d'où

(W-h dU-{- d[] = a,- a, =

1 û^U — 2 / f/U — w' = 2rt -— w' ; «^ — a «/o

et l'équation précédente devient

(i8) we'— w'(e — TTi) = 27:«i.

Le même raisonnement s'applique au cas où U est l'intégrale de deuxième espèce, V étant toujours une intégrale de troisième espèce. L'intégrale /Uû^V conserve encore une valeur finie, quand œ devient infinie, et l'on obtient l'équation

(19) oo,e'— co', (e — Tri) = 27riÇ(a).

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 683

Des deux relations précédentes, on déduit

440. Considérons maintenant deux intégrales elliptiques de troisième espèce

Jo (^'-a')r' ~Jo {^— a'^)j'

Joignons les points a et — a, a' et — a' par des lignes qui ne coupent pas les lacets relatifs aux points critiques algébriques et qui ne se coupent pas entre elles. Si l'on appelle 2£, et ê\ les périodes de la seconde intégrale, relatives aux deux cycles précédents, on a l'équation

— 2(e£', — e'ei)+ 27r/ / rfU— 271// d\=o.

Supposons que le lacet (a) précède le lacet (a'); avec une disposition convenable de ces lacets, et en raisonnant comme précédemment, on obtient

XX /» a /» a' /» a'

dW = ij dy-e\~T:iy / d{]=2 rfU - e', - a *^o V — a' V O

et l'équation devient

Jf* a.' p OL

d\J — ^-ni j d'Vr=[s — 7ri)e', — e'(e, — 7ri) + r*,

ou, en vertu des relations (20), 21) r^ du- r d\ = k'IaKia') - a'i;ia)] ~ '^'

L'intégrale (17), exprimée à l'aide de la variable s, est

c'est celle qui est donnée par la formule (20) du n° 275; nous la dési-

684 LIVRE IX. - CHAPITRE Hl.

gnons parla lettres, afin de la distinguer de l'intégrale n(s, a) considérée par Jacobi. L'équation (21) devient

(28) zs{a',a) ~-tcs{a, a') = h^[a^{a') — a'i^{a)]

Elle effectue la permutation dû paramètre et de Targument.

On passe d'une forme à l'autre, en remarquant que l'on a identiquement

i — k''k'(a)x' , , ,/ w'\ lia)'

^ ' x^—l^ la -\ J ^ '

el, par suite,

ou

l'ia)

L'équation (24) montre que les périodes 2^2 et w'2 de l'intégrale Tl{z,a), fournies par les deux cycles («o) + («a). («0 ■+- («0) sont égales à celles

de l'intégrale zsiz, a -h -- j» augmentées respectivement des quantités

— •^cùDalogX(a), — w'D«logX(a); ce sont précisément celles qui sont données par les formules (aS) du n° 275.