CHAPITRE m

THEOREME D ABEL.

44t. Une courbe (p(a?,j) = o du degré n coupe la courbe/(j:', j) = o

du degré w en mn points, que nous désignerons par (^,,>3,), (^a.ïja).

Une autre courbe ^[x^y) = o du degré n coupe de même la courbe f= o en mn points (S'j , yj', ), (^'j, ri^ ), — Joignons ces points deux à deux par des lignes |,^2» lal^'-- ^"^ "^ se coupent pas, c'est-à-dire telles qu'au point d'intersection des deux lignes géométriques figurant la variation de x, la valeur de y ne soit pas la même. A l'aide de chacune des lignes S|', de deux petits cercles décrits autour des points ^ et ^' et d'une ligne 0^ unissant l'origine 0 à cette ligne ^|', nous formerons un lacet enveloppant les deux points ^ et 4'; nous aurons mn lacets de ce genre. Soit

Nous supposons d'une manière générale que les lignes analytiques qui forment les lacets (|^'), le lacet (j^i^Ca), et ceux relatifs aux points critiques de la fonction algébrique/ de x, ne se coupent pas. Sur chaque circuit, enveloppant tous ces lacets, l'intégrale /Uc?V étant nulle, on a, pour l'ensemble des m circuits, l'équation

(i) 2/UrfV = -}L/v</U = o.

Quand la variable x décrit l'un des lacets (2^'), la fonction U, éprouvant aux points ^ et ^' les accroissements 4- :tni et — 2râ, reprend à la fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée; de même, la fonction V sur le lacet (x^x^). Il en résulte que ces lacets n'ont pas d'influence

sur la partie de l'intégrale qui se rapporte aux lacets relatifs aux points critiques de la fonction algébrique; cette partie sera donc de la forme 2ww', w et «' étant des périodes des deux fonctions U et V (n° 435); mais, quand la variable x décrit un cycle, les fonctions entières (p et ^

reprenant leurs valeurs primitives, la fonction log j éprouve une variation égale à :ini'ni, m' étant un nombre entier; l'expression 2wco'se réduit ainsi à la forme 27:1 Im' u»'.

Le lacet (cCfX^), d'après ce que nous avons dit au n° 436, donne le

terme 2ni j d\og ^- De même, d'après la seconde forme de l'équa-

tion, chaque lacet (^^') donne un terme 27:1 j clY. On obtient ainsi l'équation

qui constitue le théorème d'Abel, dans son acception générale.

442. On peut associer les points | et ^' deux à deux, de manière que tous les nombres entiers m' soient nuls. On sait, en effet, que, si l'on fait passer une courbe du degré n par un certain nombre de points pris à volonté sur la courbe/— o du degré m, les autres points d'intersection en résultent. Lorsque n est plus petit que m, le nombre n' des points

que l'on peut prendre à volonté est égal à — '•, la courbe du degré n

est alors déterminée; mais, lorsque n est égal ou supérieur à w, ce nombre

estegala/7?^ -, il est moindre que celui qui est nécessaire

pour déterminer la courbe. A n' points |,, ^2,..., ^n' d'intersection de la courbe 9 = 0 avec la courbe/=o, faisons correspondre /z'points pris à volonté parmi les 7?ïri points d'intersection de la courbe (j; = o avec/— o, désignons-les par ^\, 'ë^,..., S'„ . et joignons-les aux précédents par des lignes arbitraires ^,^', , ^al'o,..., S,/S'„,, avec la restriction indiquée. Sur ces lignes prenons des points ^\, ^'^,.. ., ^", voisins respectivement des points S,, ^a»- • •» l/Zî par ces n' points nous pourrons faire passer une courbe ©" -- o du degré n et différant très-peu de la courbe 9 = 0;

cette courbe coupe la courbe/=:o en mn — n' autres points |'^.^,, H',^,,..., ^"„,„, voisins respectivement de 1,/+,, !//+?, ..., ?,„„. Sur les mêmes lignes on prendra ensuite des points Ë% H'^,. . ., Il', voisins respectivement de |"j, S2,..., C', 6t l'on fera passer par ces points une courbe (55'"= o du degré n et différant très-peu de la courbe 9"== o. Cette courbe coupera/= o en d'autres points |^.^.,, |^,^, |^„, voisins respectivement de |'^^., 2]!,,^ ,,. . ., |"„„, et ainsi de suite; on passera de la sorte, par une déformation continue, de la courbe 9 à la courbe <j>. La série des points |,/+,, ||^.^,, H^',^,,... formera une ligne continue unissant le point 1^^^, de la courbe çj à un certain point ^„,^, de la courbe ^\ de même la série des points l^'+o. C-»-.» C'+.»" formera une ligne unissant le point ^n'+i de la courbe 9 à un certain point ^„.^, de la courbe t|^, et ainsi de suite. De cette manière, la corrélation des mn — n autres points | et |' est déterminée : elle résulte de celle adoptée pour les n' premiers points.

Lorsque tj; = 9, la fonction log ^ reste constante sur chaque cycle,

et par conséquent sa variation est nulle; les nombres m' sont nuls.

Lorsque la fonction ^ diftère très-peu de 9, le rapport ^ différant peu

de l'unité, l'intégrale |c?log j sur un cycle différera peu de la précédente, si elle en diffère; et, par conséquent, le nombre entier m' est encore nul. On pourra continuer de cette manière tant que les lignes II', en s'allongeant, ne rencontrent pas les lacets relatifs aux points critiques, ou le lacet (07,072). Avec ces restrictions, l'équation (2) se réduit à

Le même raisonnement s'applique à l'intégrale abélienne de première espèce; le lacet (r, x.,) n'existant plus, l'équation se simplifie et devient

La somme des valeurs de l'intégrale relatives aux diverses lignes qui

joignent les points d'intei^section des courbes/ et 9 aux points d'intersection des courbes/ et ^, de la façon indiquée, est nulle.

Dans ces deux derniers Chapitres, nous avons mis à profit l'ouvrage de MM. Clebsch et Gordan que nous avons déjà cité (n° 113).

Addition des intégrales elliptiques.

443. La formule de l'addition des intégrales elliptiques de première espèce est une conséquence de cette loi générale. La courbe /= o est

(5) r'= (• - ^') (i — h'x^) = I — (1 + k^)x^-^h-'x\ Les points d'intersection de cette courbe et de la parabole

(6) y'=:px^'\-qx-h\ sont donnés par l'équation du troisième degré

(7) iP^-~ lf^)^^+ 2.pqx^-h{q'-+- 2p -+- 1 -f ff^)x + 2q = o,

abstraction faite de la racine x= o. Appelons a?,, 072, œ^ les trois racines de cette équation, etj, , J2» J3 l^s valeurs correspondantes de y données par l'équation (6). On peut déterminer les consta;ites/? et q de manière que deux des racines a?, et x., aient des valeurs données; la troisième x^ sera alors fonction des deux premières. De l'équation (7) on déduit

^i OC1 OC ^

d'où

Xx+Xt __ x\ — x\ __ XiXj-h-x^y*

pXi Xt — 1 ^'1 /î — XiYx

Supposons que la courbe <j> soit la parabole (6) et la courbe 9 la parabole particulière J = - x- + \, pour laquelle a;, = ^j;» — o,

et, par suite, cc^ = o. On a, d'après l'équation (4),

' rfV -4- / V/V + / ^V — O,

ou

(•o) Z, 4- Z, -f- Zj = o.

La relation (g), sous sa dernière forme, donne la première des formules (i) du n° 318, savoir

444. Si V est une intégrale elliptique de seconde espèce, on a approximativement, pour les valeurs très-grandes de x,

{\± kY

log^=C + 3-^^^ -, dW^dzjdx;

° ^ dtzff — p X If

les deux circuits donnent :irù , ,j — •? ensemble 271? ,,^^ ,» ou, d'a-

près l'équation (7), 2 7riir, araiPa; le second membre de l'équation (4) est alors égal à x^ x^x^, et l'on a

(12) / rfV-4- / ^V+ / dW = x,x,x,,

OU

en vertu de la relation (10), c'est l'équation (24) du n°324.

445. Considérons enfin le cas où V est une intégrale elliptique de troisième espèce, mise sous la forme (17), adoptée au n° 439. D'après rbypothèse faite sur la position de la ligne Oa, le lacet qui unit le

point (a, |3) au point (— a, p) entre dans le premier circuit, et-

donne

puisque 9(— a, |3) = (p((5(, P). L'autre lacet entre dans le second circuit, et donne de même

L'équation (3j devient donc

(■4) prfv-H r vv-H r".VH-iiog|ti|.|i4i-^,=o.

Jo Jo Jo 2 °^l^(a,[3)4;{-3', -P)

Évaluons le dernier terme. On a

4^(a,[3)4^(— a,— [3)=(/)aM-i)'-(p— ^a)'.-9,ga(34-(2/?— <;'-i- 1 -{-/,')«' !-(/>'-/»')a' = 'i.qa (3 ^ .- (-- + — H — -f- 7)3: •

[ X\X-iX^ \X{ Xi Xi I J

De la relation y., ~ px\ ^ y ^3 + i. dans laquelle on remplace /> par sa valeur (8), on déduit

I T I X^Xiri—xl

il en résulte

On a de même

THÉORÈME D'ABEL. " 69i

et, par suite,

a a' — o;^ X(rt)X(rt — Z3)

Od obtient ainsi la relation

(l5) Ct(z, ) + CTI 2,) + CT Z, = - log ^ W^ ,. ', ^'

2 A(2ijA(Z)

X(rt)X(rtH- z, 4-2J doù l'on déduit facilement l'équation (28) du n° 325.