Soit, comme exemple, l'équation
Prenons d'abord pour contour un rectangle dont les côtés, parallèles aux axes, sont déterminés par les abscisses a7„ = — i, a?, = -f- 1 et les ordonnées >'„ = — i , j, = -f- i . On a
f{x -\- yi) =.x^~ Ç>x'-j^ + j* —5^-1-1 -I- (4^'/ — \^y'^ — ^X) '• Le long du côté ab
X = x*—6x''—5x-{-2, X^--—/^x^-h^x -h 5, X; = 2o«2-J- i5.r — 8, X3 = — 3a; — 124, X4 = — 3oi868;
les signes des résultats des substitutions de — i et H- i étant
l'indice relatif à ce côté est i. Le long du côté dc^ parallèle à ab, on a
\ = x*—6x--~ 5x -\- 2, Xi — 4'^^ — 4-^ — 5'
Nous remarquons que sur les côtés ab et de les polynômes X sont égaux, et les polynômes Y égaux et de signes contraires. Mais a? varie sur le premier côté de — i à + i, sur le second de -h i à — i; il en résulte que les indices relatifs à ces deux côtés sont égaux. Le long du côté bd, on a
les signes correspondant à — i et -h i étant
rindice est nul. Enfin, le long de ca, on a
Xa = 23j^, X4 = 644 •
En substituant d'abord -\- 1 , puis — 1, les signes des résultats sont
l'indice est encore nul. On conclut de ce qui précède qu'une seule racine est comprise dans le carré ahdc\ cette racine est nécessairement réelle. 11 est bon de remarquer que les indices relatifs aux côtés ah et de du rectangle sont égaux toutes les fois que ces deux côtés sont équidistants de l'axe des x.
Prenons maintenant pour contour une circonférence d'un rayon égal à l'unité et ayant pour centre l'origine. On a sur cette circonférence
On obtient l'indice du numérateur à l'aide des polynômes
l'indice étant égal à — 2, on en conclut que la circonférence ne comprend qu'une racine.
Si l'on remplace la circonférence dont le rayon est i par une autre de rayon égal à 2, on a
l'indice du numérateur s'obtient à l'aide des fonctions
X = 27/<— io2/'4-7, X,=^:— i'H-2/, X, = 48'' — 7,
Cet indice étant égal à 4. on en conclut que la seconde circonférence comprend les quatre racines de l'équation. Il est évident, à l'inspection de l'équation, qu'elle n'admet que deux racines réelles comprises, l'une entre zéro et 1 , l'autre entre i et 2. Le module des deux racines imaginaires conjuguées est donc compris entre i et a; on vérifie ce résultat, en remarquant que ce module a pour expression
X désignant la racine positive de l'équation
Continuité des racines.
28. Soit/(j5, u) = o une équation dont le premier membre est un polynôme entier en z et u, du degré m par rapport à m, et que nous supposons irréductible, c'est-à-dire non décomposable en un produit de polynômes entiers en z et u. Si l'on attribue à z une certaine valeur, l'équation en m a m racines; nous allons démontrer que, si le paramètre z varie d'une manière continue, ces m racines varient aussi d'une manière continue (Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique mathématique y i84i). Cette propriété importante résulte du théorème suivant :
Théorème III. — Si pour z = a V équation a n racines égales à b, pour une valeur de z voisine de a, l'équation a n racines voisines de b.
Pour abréger, remplaçons 2 et w par a + z' eib -^ u'\ pour z' = o, l'équation /(a -\- z',b -h u') — o admet n racines égales à zéro. En ordonnant le premier membre de l'équation par rapport aux puissances
croissantes de u' , on a
f[a -1- z',h+u') — Zc -i- Z, u' -\- Zsm'^ -4- . . . H- Z„?«"' H- Z;,+, «."'+' + . . . + Z»m'"'.
Les polynômes Zo, Z,, . . . , Z„, s'annulent pour z' = o, mais Z„ ne s'annule pas. Du point a comme centre, décrivons un cercle de rayon p qui ne comprenne aucune racine du polynôme Z„, et assujettissons le point z' à rester dans ce cercle. Soit A le plus petit module du polynôme Z„ dans, le cercle |0, B le plus grand module de chacun des polynômes suivants Z„+,, Z^+o, . . . , Z,« dans le même cercle. Nous pouvons mettre le premier membre de l'équation sous la forme
ou
en posant
^n An An
/(« + z', h -4- ?/') rzr Z,m'«(i + P + Q),
P:=,^,/+ i^„'. 4-.. 4.|!:,,'m-», A/, Ln Ln
/-w A J^ Zi^ * Z)i| ^
Si l'on fait mouvoir le point u' sur la circonférence d'un cercle ayant .
pour centre h et un ravon r plus petit que l'unité, on a J^^^
modP<5(,..,-,...H...) = f^. ^„^^
On choisira le rayon r de manière que
il suffit pour cela de prendre
LES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 33
alors le module de P sera plus petit que -• Le rayon r étant choisi de cette façon, et le point u' se mouvant sur cette circonférence, on a
^ ^ ^ I / mod Z, mod Z, mod Z„,\ ( 4 ' .V<>*^ — f^
mod Q < T \ ; h - H
Les polynômes Zo, Z , Z„, étant des fonctions continues de z',
qui s'annulent pour z' = o, on peut trouver un rayon o' plus petit que /5, et tel que, pour tout point z' situé dans le cercle décrit du point a comme centre avec le rayon p', le module de chacun de ces polynômes soit moindre qu'un nomhre donné C, satisfaisant à la condition
ou
il suffit pour cela de prendre
^ Ar"(i-r) ^ < 2(1 — r")
Le rayon /s' étant choisi de cette façon, le module de Q sera moindre que - pour toutes les valeurs de z' situées dans le cercle p' et de u' situées sur la circonférence r, et de même le module de P.
Le point z' restant fixe à l'intérieur du cercle p', concevons que la variable u' décrive la circonférence r dans le sens positif, et considérons l'expression
f{a + 2', 6 -}- u' ) = Z„ ii"{ n- P + Q ) ,
qui est un polynôme entier en u' . L'argument du facteur m'" éprouve une augmentation égale à 27: x n. Le facteur i H- P -+- Q, que nous désignerons par v, est une fonction monotrope de u'\ figurons-le par un point v dans un plan [fig. 16), et marquons le point C qui correspond a ç» = i; la distance Cç» est égale au module de P 4- Q, qui est moindre que Tunité. Quand la variable u' décrit la circonférence r, le point V décrit une courbe fermée située dans le cercle dont le point C
est le centre et le rayon égal à l'unité, et par conséquent l'argument
de f^ reprend sa valeur primitive. Ainsi l'argument du polynôme
Fig. i6.
ff\
f[a + z', b ~\- u!) éprouve une augmentation égale à lu x n\ on en conclut que ce polynôme admet n racines à l'intérieur du cercle r.
Corollaire. — Si pour z =^ a la valeur u= h est racine simple, pour une valeur de z voisine de a l'équation admettra une racine simple voisine de b et une seule.
Définition d* une fonction algébrique.
29. Supposons que, pour z = z^^, Uq soit racine simple de l'équation f{z, u) = o; faisons mouvoir le point z sur une courbe; en un point z< voisin de ^o l'équation admet une racine simple m, voisine de Uq, et une seule; en un point voisin de z^ elle admet une racine simple u^ voisine de u^, et ainsi de suite. La série des valeurs Wo> w,, Mg,... forme une suite continue, que l'on regardera comme une fonction de z.
On peut continuer de cette manière tant que la racine considérée u conserve une valeur finie et reste racine simple, c'est-à-dire ne devient pas égale à une autre. Les points où une racine devient infinie sont les racines du coefficient de la pUis haute puissance de u dans l'équation ; leur nombre est au plus égal à m' — m, m désignant le degré de l'équation par rapport à a et m' le degré par rapport à z et m. On obtient les points où l'équation admet des racines finies égales entre elles en éliminant u entre les deux équations
f(z,u) = Of ^- = ";
leur nombre est au plus égal à m'{m' — \). Telles sont les deux sortes de points singuliers que nous rencontrerons dans l'étude des fonctions algébriques.
30. Théorème IV. — Lorsque, par des déformations successives, on peut amener la courbe A {fig- 1 7 ) qui va du point z^ au point Z àla courbe B qui unit les mêmes points, sans franchir aucun point pour lequel la racine considérée devient infinie ou égale à une autre, ces deux courbes conduisent en Z à la même valeur de la fonction.
Supposons d'abord que les deux courbes A et B enveloppent une aire dans laquelle il n'y ait aucun point singulier. Soit M le plus petit module de la différence des racines prises deux à deux pour un point quelconque z de cette aire. D'après le théorème précédent, on peut assigner un rayon p tel, que si z se déplace dans un cercle de rayon p ayant pour centre un point quelconque de l'aire, chacune des racines éprouvera une
variation ayant un module moindre que —• Imaginons que le centre du
cercle ^ décrive une courbe G intermédiaire entre A et B, l'enveloppe de ce cercle se composera de deux courbes C et C situées de part et d'autre de la courbe G {fig. 18). Cela posé, considérons une courbe G'
Fig. 17.
Fig. 18.
voisine de G et située entre les deux courbes C et C; marquons sur les deux courbes G et G' deux systèmes de points correspondants
Zo, Z\ , Zly . . . , tj ,
tels que l'aire z^ z, z\zq soit comprise dans le cercle décrit du point z,,
