CHAPITRE II
comme centre avec le rayon p, que l'aire z^z^z'^z\z^ soit comprise dans le cercle décrit du point z^ comme centre avec le même rayon p, etc. Il suffirait pour cela de prendre pour 2,, ^'^ les points où le premier cercle coupe les courbes G et G', pour z^, z\ les points où le second cercle coupe G et G', etc. Nous partons de z^ avec la valeur initiale u^\ les deux chemins Zq^^i» ^o^'^Z) conduisent en z, à des valeurs qui diffe-
rent chacune de u^ d'une quantité moindre que — > et qui, par conséquent, diflèrent entre elles d'une quantité moindre que M; la différence entre deux racines au point 2, étant plus grande que M, on en conclut que ces deux valeurs sont rigoureusement égales; ainsi les deux chemins ZoZ,, ifi^^z^ conduisent en z, à la même valeur u^.
Considérons maintenant les deux chemins Zq z, z^^ z^ z\z'^Zo; on peut remplacer le second par ZQz\zt-{- Zt z\z'^Zo, en parcourant la traverse Zf z\ deux fois dans des sens contraires; la première partie Zç^z^z^ donnant w, comme Zç^z^, ceci revient à partir du point jz, avec la valeur initiale w, et à décrire les deux chemins s^ Zo, z, z^z\z<i\ ces deux chemins, étant compris dans le cercle de rayon p décrit du point z^ comme centre, conduisent en Zo à la même valeur u.,, et ainsi de suite. On en conclut que les deux lignes G et G' conduisent en Z à la même valeur U. Par une série de lignes intermédiaires, on passera de la courbe A à la courbe B.
Fig. 19.
Supposons qu'entre les deux courbes A et B il y ait un point singulier a [fig. 19), où l'équation admette une racine infinie ou Une racine
Vv^ LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 37
multiple b, mais telle, que, lorsque la courbe A en se déformant passe par ce point, la fonction u conserve une valeur finie ou reste racine simple, et par conséquent diffère de la racine multiple b. Ce point a se comportera, dans la question actuelle, comme un point ordinaire; en effet, les courbes A et B peuvent être remplacées par les lignes ZomnpZ, Zamn'pZ, formées de deux parties communes et des deux moitiés d'un cercle très-petit ayant pour centre le point a; sur ces deux nouveaux chemins, on parcourt d'abord la partie z^m avec la même valeur initiale u^, ce qui conduit en m à la même valeur m, , qui, par hypothèse, est finie ou diffère de la racine multiple b d'une quantité finie; les deux demi-circonférences conduisent en /> à la même valeur u^; car si les valeurs obtenues étaient différentes, elles différeraient peu l'une de l'autre et différeraient de b de quantités finies; mais, dans le voisinage du point «, les racines peu différentes l'une de l'autre sont celles qui diffèrent très-peu de b. Enfin, la dernière partie />Z conduira en Z à la même valeur de la fonction.
31. Théorème Y. — Une fonction algébrique est holomorphe dans toute partie du plan limitée par une courbe A que Von peut réduire à un point, sans franchir aucun point où la racine considérée devienne infinie ou égale à une autre.
Prenons sur la courbe un point Z [fig. 20) voisin du point Zq\ la courbe ^^oAZ peut être ramenée, par hypothèse, à la ligne infiniment
Fig. 20.
petite 2oZ, sans franchir aucun point singulier où la racine considérée devienne infinie ou égale à une autre; il en résulte que, si la variable z
décrit la courbe ZqAZ^ la fonction, dont la valeur initiale est Wq» acquiert en Z la même valeur que si la variable avait décrit la ligne infiniment petite ^oZ; la courbe fermée A ramène donc en z^ la valeur initiale Uq. Supposons maintenant que la variable aille du point z^ à un point quelconque z situé dans la partie du plan considérée par deux chemins Zf^mz^ z^nz situés dans cette partie du plan; la courbe fermée ^oA^o pouvant être réduite à la courbe fermée ZQmznzQ, sans franchir aucun point singulier, celle-ci ramènera, comme la première, la valeur initiale u^', on en conclut (n'' 11 ) que les deux chemins z^mz, z^nz conduisent en z à la même valeur de la fonction. Ainsi la fonction u a une valeur unique en chacun des points situés dans la partie du plan limitée par la courbe A; c'est une fonction monotrope dans cette partie du plan.
La fonction étant continue, à un accroissement infiniment petit As de la variable correspond un accroissement infiniment petit Aw de la fonction, et l'on a
(/; .Az 4-/:. A«) + - (/;,. A2= -4- 2/;„.AzAa +f!:•..^ln
Si l'on pose Am = v/^z et si l'on divise tous les termes par Az, cette équation devient
{/; + ^fu ) + \ A^ (/;. + 2./;;, + ^'/:.
Puisque u est racine simple de réquation/(5;, u) = o, la quantité/^ est différente de zéro. Pour As = o, l'équation précédente a une racine
simple finie ). = — î^- D'après le théorème de la continuité, à une
valeur très-petite de As correspond une valeur de v très-voisine de X, et
une seule; on en conclut que le rapport r^- tend vers une limite finie
et déterminée X, quand l'accroissement As attribué à la variable tend vers zéro d'une manière quelconque, et par conséquent que la fonction '^ admet une dérivée. Il résulte de ce qui précède que, dans l'aire A, la fonction algébrique est continue, monotrope, et admet une dérivée; c'est donc une fonction holomorphe dans cette étendue.
Loi de la permutation des racines autour des points critiques.
32. Supposons qu'au point a l'équation admette une racine b d'ordre /i; en un point z^, voisin de a, elle aura /i racines voisines de b. Désignons ces racines par
M,, a„ Ms, ..., w„.
Si la variable z part de z^y la fonction ayant la valeur initiale m,, et décrit un petit cercle autour du point a dans le sens positif, la fonction reprend sa valeur primitive «, , ou bien, comme sa variation ne peut être que très-petite, elle se cbange en une autre des n racines précédentes, par exemple en Wj. Dans le premier cas, la racine a<, se reproduisant elle-même, est une fonction monotrope de z dans le voisinage du point a. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle une seconde fois avec la valeur initiale u^ obtenue après le premier tour, il est impossible que l'on retrouve u^, car le mouvement inverse ramènerait w, ; on arrivera donc à m, ou à une nouvelle racine u^. Dans le premier cas, les deux racines u^ et u.^ se permutent quand la variable z tourne autour du point a. Dans le second cas, si l'on décrit le cercle une troisième fois avec la valeur initiale u^ obtenue après le second tour, il est impossible que l'on retrouve u^ ou u^, car le mouvement inverse ramènerait u^ ou m,; on arrivera donc à u^ ou à une nouvelle racine W4. Dans le premier cas, les trois racines m,, Mo. "3 forment ce qu'on appelle un système circulaire, ce qui veut dire que, si Ton place les trois quantités sur un cercle, chacune d'elles se change en la suivante, quand z tourne autour du point a. Supposons qu'en continuant de cette manière on arrive à la dernière racine u„', en décrivant le cercle encore une fois, on reviendrait nécessairement à la première racine m,, et les n racines voisines de b formeraient un seul système circulaire. Ainsi :
Théorème VI. — Lorsqu*au point a r équation admet une racine b d'ordre n, les n racines voisines de b pour une valeur de z voisine de a forment un ou plusieurs systèmes circulaires.
ManieYe d'obtenir les systèmes circulaires. 33. Si l'on pose z — a-h z\ u — b-]~ u', l'équation prend la forme
le premier membre est une somme de termes contenant les deux variables infiniment petites z' eiu' k des puissances entières, ou une seule d'entre elles. Il y aura un terme au moins indépendant de u' et un terme au moins indépendant de z\ sans quoi le premier membre de l'équation serait divisible par une puissance de u' ou par une puissance de z'. Parmi les termes indépendants de z', celui qui contient u' au degré le moins élevé est du degré n, puisque l'équation admet n racines égales à zéro pour z' =: o. Considérons d'abord le cas particulier où, parmi les termes indépendants de u', il y en a un contenant z' à la première puissance; en groupant les deux termes dont nous venons de parler, on mettra l'équation sous la forme
(3.) (A2'H-Bm"')-+-9(2',m')^0,
tous les termes du polynôme <p(s', u') étant infiniment petits par rapport à l'un ou à l'autre des deux premiers. Si l'on pose
z' -jz z"", u' -- vz",
les deux premiers termes contiendront z"" en facteur, et chacun des termes suivants une puissance de z" supérieure à n; on pourra donc diviser par z"" tous les termes de l'équation, qui deviendra
(3) (X'hBv")-^ z"^{z",v) = o,
^{z", ç') étant un polynôme entier en z" eiv.
Pour ^"=o, l'équation (3) se réduit à l'équation binôme
(4) A + Bt^«=:o, ou i>" = ~^;
elle admet n racines simples, finies et tlifFérentes de zéro. Désignons par
CCS racines, rangées dans un ordre tel, que leurs arguments forment une progression arithmétique ayant pour raison -^- D'après le théorème de la continuité, pour une valeur très-petite de :; ", l'équation (3) admet n racines simples respectivement voisines des précédentes, et chacune d'elles est une (onction holomorphe de - dans le voisinage de s" — o; nous les représenterons par
£,, co, . . . , £« étant des quantités très-petites qui s'évanouissent avec z". On ohtient ainsi les n racines de l'équation (\) voisines de zéro
n'^—v, + z,)z'", it\ — {i', + z,)z"', . . ., u'„ — (('„ + z„)z"',
en donnant à z'" Tune quelconque de ses n valeurs.
Chacune de ces racines se compose de deux parties, une partie infi-
ii|inent petite de l'ordre - et une autre d'ordre supérieur. La loi de
permutation des valeurs approchées
est évidente : lorsque z décrit un petit cercle autour du point a, l'argu-
ment de z'" augmente de — » ce qui revient à remplacer r, par Vi,
v-i par ('a, . . . , Vn par Vt ; les n valeurs approchées forment donc un système circulaire.
Les valeurs exactes jouissent de la même propriété. En effet, la valeur
approchée de la première racine devenant ^'jc'", la valeur exacte prend
la forme [v., -h s',)-'"; il est impossible qu'elle soit égale a une racine autre (jue la seconde, car si l'on avait, par excn)ple.
Ji-2
LIVIΠ1.
CHAiniUE 11.
on en déduirait
et la quantité infiniment petite s^ — z\ serait égale à la quantité finie ^2 — ^3? on a donc s', — £2, et la racine u\ se change en u^ . De même u' se change en w' , u' en u' . . . , u' en u\ .
Remarquons que la formule u = vz"\ dans laquelle v désigne l'une (juelconque des racines de l'équation (3), représente le système circulaire des n racines de l'équation (2), quand on fait tourner la variable z autour du point a.
34. Considérons maintenant le cas où, dans l'équation (i), le premier terme indépendant de u' contient z' à une puissance / supérieure à la première. Nous établirons d'abord le théorème suivant :
Théorème VII. — Le groupe des n racines voisines de zéro se décompose en sous-groupes tels, que le rapport de chacune des racines d'un même sous- groupe à une même puissance commensurable de z' ait une limite déterminée, finie et différente de zéro.
Pour démontrer ce théorème, nous suivrons la méthode ingénieuse qui a été employée par M. Puiseux dans son remarquable Mémoire sur les fondions algébriques [Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XV; i85o). Traçons dans un plan deux axes rectangulaires Oa, 0/3
{fig. 21), et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants a et /3 dans les différents termes de l'équation
2 Aaï«"'2'ï' = O.
Aux termes indépendants de z' correspondent des points situés sur l'axe Oa; le premier d'entre eux a une abscisse égjale à n. Aux termes indépendants de m' correspondent des points situés sur l'axe 0|3; le premier d'entre eux a une ordonnée égale à /. Concevons une droite mobile appliquée d'abord sur l'axe Oa; faisons-la tourner autour du point n de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres points; faisons-la tourner ensuite autour du dernier de ces points, toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres points; en continuant de la sorte, la droite arrivera à une dernière position où elle passera par le point /, situé sur l'axe 0|3. Nous formerons ainsi une ligne brisée convexe allant du point n au point /, et telle que la droite que l'on obtient en prolongeant chacun de ses côtés laisse au-dessus d'elle tous les autres points. Nous verrons que chacun | des côtés de cette ligne convexe donne un sous-groupe de racines jouis- \ sant de la propriété énoncée.
Posons u' — vz'^^ V étant une quantité finie qui ne s'annule pas avec z'\ le degré du terme Aap"'*-'*^ par rapport à z' est cl\l 4- |3. Nous remarquons que la droite j — ^3 = - ^{x — a), menée par le point (a, |S} et ayant pour coefficient angulaire — a, coupe l'axe 0/3 en un point dont l'ordonnée a/A ^ |3 est égale au degré du terme; il en résulte que les termes de même degré sont en ligne droite et que la droite s'éloigne de l'origine parallèlement à elle-même, à mesure que le degré (lu terme augmente.
Considérons d'abord le premier côté de la ligne convexe, celui qui part du point {a ■= n, ^ — o); sur ce côté se trouvent plusieurs points auxquels correspondent des termes de même degré
que nous supposerons ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de u'; nous désignerons ici par Aap"'"z'^ un terme quelconque intermédiaire de ce premier groupe. Ces termes étant du même degré,
on a
/ijtx = aa -f- j3 m a, p. 4- ^1 ,
d'où
4i LÎVRE I. - CHAPITRE II.
ainsi l'exposant (x est un nombre commensurahle ^- Posons :;' — z"'',
d'où u' = vz"i, les termes du premier groupe seront du degré
nq — ar/ + |3p — a, <y + [3, />
par rapport à z" et les autres termes d'un degré plus élevé. On pourra donc diviser par z"'"! tous les termes de l'équation (i), qui deviendra ainsi
OU
(5) (,«.(A('"-«' + ^A,,,(''-«' -f- A,,s,) H- z"(^{v, z")~zo,
o[v, z") étant un polynôme entier en c et z". L'équation
admettant n — a^ racines finies et différentes de zéro, on en conclut que, pour une valeur très-petite de z" , l'équation (5) admet w — «, racines voisines respectivement des précédentes, ce qui donne pour l'é-
quation (i) un premier sous-groupe de /i — «, racines de la forme vz''\
'i et telles que le rapport de chacune d'elles à :;"' tend vers une limite finie et différente de zéro.
Considérons maintenant le second côté de la ligne convexe; il donne une nouvelle manière de constituer un groupe de termes
d'un degré moindre que tous les autres. On a
a, u 4- (3, r-7 au. -T- ^^=^ a-i u. 4- .Si,
d'où
l'exposant a est encore un nombre commensurable -•, mais il a une
valeur plus grande que la précédente, puisque, h mesure que le côté tourne dans le sens indiqué, la valeur de a augmente. On posera,
comme précédemment, z' — z"'*, d'où u' = vz"''', tous les termes de l'équation seront divisibles par s"*.*+?i^, et l'équation se réduira à
L'équalion
admettant a, — «2 racines finies et différentes de zéro, on en conclut que, pour une valeur très-petite de :; ", l'équation (7) admet a, — a, racines voisines respectivement des précédentes, ce qui donne pour l'équation {\) un second sous-groupe de «, — «o racines de la forme
vz"', et telles, que le rapport de chacune d'elles as''' tend vers une limite finie et différente de zéro. On continuera de cette manière jusqu'au dernier côté qui fournira un sous-groupe de «/. — o racines.
Puisque
(/i — X,) -+- (a,— as.. ) -4- . . . -+- (a/,— o) rrr n,
on a ainsi les n racines de l'équalion ( i) voisines de zéro.
35. Théorkme Vllï. — Chaque sous-groupe se décompose en systèmes circulaires.
Considérons, par exemple, le premier sous-groupe; on a
Il ~ y. n — 5i, y> '
la fraction - étant supposée irréductible, les dénominateurs n ~ a,
n — Uf sont des multiples de p que nous désignerons par Ap et ^i^p; l'équation (6) devient
(9) Af*"'+ iLAait'C*'-*^ +A«,3, = 0;
si l'on pose r'' = )., cette équation se réduit à
46 LIVRE î. - CHAPITRE 1[.
A une racine simple de l'équation (lo) correspondent/? racines simples de l'équation (9), fournies par l'équation binôme f'' ).; ces racines
ont même module, et nous les supposerons rangées dans un ordre tel que leurs arguments soient en progression arithmétique ayant pour
raison ^^- L'équation (5) admet/? racines simples respectivement voisines des précédentes
Vi-'r- S,, V:-h£;, . . , (',,-1- c,,,
et chacune d'elles est une fonction holomorphe de z" dans le voisinage de z" ■■-- o. L'équation (1) admet ainsi les/> racines
Les valeurs approchées
forment un système circulaire; car, lorsque la variable z tourne autour
du point a, l'argument de z"' augmente de -'^j ceci revient à remplacer Vt par ç^o, (0 par v^ c^ par ç^,. On verra, comme précédemment
(n"33), que les valeurs exactes jouissent de la même propriété. Ce système circulaire de p racines de l'équation (i) peut être représenté par la
'l formule u' = vz'^, v étant l'une quelconque de celles des racines de l'équation (5) qui, pour z' — o, se réduisent à une racine de l'équation binôme v'' =■- X, et étant une fonction holomorphe de z".
Ainsi chacune des racines simples de l'équation (10) donne un système circulaire de p racines.
36. Supposons maintenant que l'équation (10) ait une racine multiple X d'ordre n' ; chacune des racines i^,,v. Vp de l'équation binôme ^''' = X sera une racine d'ordre n' de l'équation (9); pour une
valeur très-petite de z'\ l'équation (5) admet /i' racines voisines de r,, n' voisines de r. n' voisines de Vp, On en conclut que l'équation (ij
admet n' racines ayant la même valeur approchée i', z"\ n' autres ayant
la même valeur approchée (^o z"*, etc. Les valeurs approchées de ces
pn' racines sont représentées par la formule ( , -"", la variable z' tournant autour du point a; il en résulte que leurs valeurs exactes pour-
ront être représentées par la formule u' =- (r, 4- v')z"' , dans laquelle r' est une quantité infiniment petite. Ceci revient à remplacer v par v^ -f- v' dans l'équation (5), qui prend alors la forme
On lui appliquera la même méthode qu'à l'équation fr); les termes indépendants de z" proviennent des termes indépendants de z" dans l'équation (5); Vi étant racine d'ordre n' de la parenthèse, le premier terme sera AV"'; pour une valeur très-petite de z", l'équation (ii) admettra donc n' racines très-petites. Si les équations analogues à l'équation (lo) n'admettent que des racines simples, ces n' racines se disposeront en systèmes circulaires de/»' racines, représentés chacun par une
formule telle que v' = wz'"' w étant une fonction holomorphe de
z'" -- z"'' = z''''' ne s'annulant pas pour z" — o. L'équation (i) admettra donc la solution
u' .^\v, -\-a'z'ff')z''''—v,z'y-\-iVz'Pf\
q^ désignant le nombre entier q' -f- qp' premier avecyy'. Il est aisé de voir que cette formule donne un système circulaire âe pp' racines; il suffit pour cela de considérer la valeur approchée
'il.
v.z'i' -[-iV.z'PP',
Wf étant la valeur de w pour z"' — o. Faisons tourner la variable z autour du pointa; après/) tours, le premier terme se reproduit, mais
48 LIVIŒ 1. — CIIAPITUE H.
rargunient du second augmente de ~^\ ainsi les p premières racines
diffèrent par le premier terme; ensuite, de/» en/?, elles diffèrent par le second terme. Après pp' tours, la fonction w reprend sa valeur primitive, et l'on retrouve les mêmes racines dans le même ordre. On peut représenter ce système circulaire ÙQpp' racines parla formule
V étant une fonction liolomorplie de z"' = z"'''' ne s'annulant pas pour z'"=^o.
On continuera l'application de cette méthode jusqu'à ce qu'on ait des expressions approchées distinctes pour les n valeurs infiniment petites de u'. Cela arrivera nécessairement. Nous avons vu, en effet, que ces n racines se partagent généralement en plusieurs sous-groupes (jui correspondent aux différents côtés d'une ligne brisée convexe; les k^p racines d'un sous-groupe se ramènent à l'équation (9) et, plus simplement, à l'équation (10) du degré /r,. Une racine de cette équation est d'un ordre n' de multiplicité inférieur ou égal à /*, et par conséquent à h^p, et par suite inférieur à n\ ainsi le nombre n' des racines infiniment petites de l'équation (iij, à laquelle on arrive après la première opération, est inférieur au nombre n des racines infiniment petites de l'équation (i). Après la seconde opération, le nombre n' sera remplacé par un nombre Ji" encore plus petit; en continuant de cette manière, on arrivera à une équation n'ayant qu'une racine infiniment petite, et la séparation des racines en systèmes circulaires sera effectuée.
Pour que la séparation ne s'effectuât pas, il faudrait que, à partir d'un certain rang, toutes les équations successives auxquelles on est conduit eussent le même nombre de racines infiniment petites. Afin de simplifier les notations, supposons que ceci ait lieu dès la première opération; pour que n' = n, il faut que k, = n, et, par suite, p = i, a, == o, (3, = / = 7iq; la ligne convexe se réduit à une seule droite; l'équation (10), qui est alors identique à l'équation (9) et du degré n, devant admettre une racine d'ordre n, est de la forme A{v -- r„)" — o. On a posé u' = i'z"^; l'équation (5) devient
En posant ensuite p = t^o +■ ^'» on arrive à l'équation (i i ), dans laquelle le premier terme indépendant de z' est kv'". Si cette équation présente les mêmes caractères, on effectuera la seconde opération en posant v'z=wz"i'y w = W(i + w'y et ainsi de suite. De cette manière, les n racines infiniment petites auraient la même valeur approchée
elles ne différeraient donc entre elles que d'une quantité infiniment petite d'un ordre aussi élevé qu'on voudrait; ce qui est impossible, si l'équation proposée est irréduclible et par conséquent n'admet pas de racines égales pour toutes les valeurs de z.
Concevons, en effet, que l'on ait formé l'équation aux différences des racines de l'équation proposée deux à deux; cette équation admet n(n — i) racines infiniment petites dans le voisinage du point z ^= a. D'après le théorème Vil, à l'aide d'une ligne brisée convexe, on peut partager ce groupe de racines en sous-groupes de racines d'un même ordre fini et commensurable par rapport à z'\ l'ordre le plus élevé correspond au dernier côté de la ligne brisée, celui qui contient le premier terme en :;' seul. Ainsi la différence de deux racines est une quantité infiniment petite dont l'ordre ne peut dépasser une limite déterminée.
Pôles d'une fonction algébrique.
