Soit

(12) Zott-' + Z,?/'"-' +. . .-+-Z« = o

l'équation proposée, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de u. Quand la variables tend vers un point a, racine du polynôme Zo, une ou plusieurs valeurs de u deviennent infinies; pour avoir ces valeurs, on posera z = a-{- z\ u — —,•, et l'on cherchera les racines infiniment petites de l'équation

Zo + Z, w' -f- . . . + Z„m'"' — o, qui est de la forme

no LIVRE I. — CHAPITRE H.

Quand, pour 2' -o, l'équation (i3) n'a qu'une racine nulle, elle admet dans le voisinage du point a une racine très-petite, qui est une fonction holomorphe de z; le point a est, dans ce cas, un pôle. Mais si, pour z' = o, la racine m'— o est multiple et d'ordre n, le point a sera un point critique. On appliquera à l'équation (i3) la méthode indiquée précédemment; les /i racines infiniment petites formeront un ou plusieurs systèmes circulaires, dont chacun sera représenté par la formule

u' ■=-- vz'^ y V étant une fonction holomorphe de z" = z'^ qui ne s'annule

pas avecjs"; chacun d'eux donne un système de p valeurs infiniment

grandes de w, représentées par la formule w = -5' f-^wz' z', (tétant

une fonction holomorphe de z", ne s'annulant pas avec z". Le nombre des pôles et des points critiques où des racines deviennent infinies est au plus égal au degré de Zo, c'est-à-dire à m' — m.

Enfin, pour étudier les racines quand la variable z est très-grande,

on pose z — 7;? et l'on donne à z' des valeurs très-petites; l'équation

proposée se transforme en une équation algébrique entre z' et m; on lui appliquera la méthode précédente; le point z' = o dans le plan sur lequel on figure la nouvelle variable z\ et par conséquent le point 0' sur la sphère, sera un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique.

Nous avons appelé, d'une manière générale, points singuliers les valeurs de la variable où la fonction cesse d'être holomorphe. Dans l'étude des fonctions algébriques, pour toutes les valeurs finies ou infinies de la variable z, en d'autres termes sur toute la sphère, nous n'avons rencontré que deux sortes de points singuliers : 1° des pôles, c'est-à-dire des points où une branche de la fonction u devient infinie, de manière toutefois que

la branche correspondante de la fonction - reste holomorphe dans le

voisinage de ce point; 2" des points critiques tels que, dans le voisinage

de chacun d'eux, une branche de l'une des fonctions m ou - acquière un

nombre fini de valeurs différentes qui se permutent les unes dans les autres quand la variable tourne autour de ce point, et qui deviennent égales en ce point. Nous appellerons dorénavant points critiques algébriques les points critiques qui présentent ce caractère, et nous com-

prendrons sous la dénomination de points singuliers algébriques les pôles et les points critiques algébriques. Il résulte de la discussion précédente que le nombre des points singuliers d'une fonction algébrique sur toute la sphère est fini. Nous rencontrerons plus tard, dans l'étude des fonctions transcendantes, des points singuliers d'une autre espèce.

Système de lacets fondamentaux.

38. Nous pouvons maintenant compléter la définition des fonctions algébriques. Soit /(s, w) =o une équation irréductible dont le premier membre est un polynôme entier en z et u, du degré m par rapport à w; concevons que la variable z parte d'un point fixe r^, qui ne soit ni un point critique, ni un pôle, et adoptons pour valeur initiale de la fonction une racine correspondante Wq. Marquons dans le plan les

points critiques a,, «2» «n Imaginons des courbes fermées qui ne

se coupent pas et qui, partant du point Zo, enveloppent chacune un point critique. Pour préciser, nous formerons ces courbes, auxquelles nous donnerons le nom de lacets, de lignes droites allant de l'origine z^ à des points très-voisins des points critiques, et de cercles infiniment petits décrits autour de ces points. Ainsi, quand la variable z parcourt le premier lacet, elle va d'abord de Zo [fig'^^) ^ un point z, très-voisin du

Fig. 23.

point critique a^\ elle tourne ensuite autour du point «,, puis revient en ^0 par le même chemin z^ Zq. Il est évident que tous les chemins qui vont de l'origine z^ à un point quelconque z du plan se ramènent à un chemin déterminé, par exemple à la droite Zç^z, ou à ce chemin précédé d'un ou de plusieurs lacets, un même lacet pouvant d'ailleurs être

parcouru plusieurs fois. Ainsi, sur la figure, le chemin z^gz se ramène au lacet («<) décrit clans le sens positif et suivi de la droite z^z-, le chemin z^^hz se ramène aux deux lacets («3) et (a-i) décrits dans le sens négatif et suivis de la droite z^z. Si la droite js^z passait par un point singulier, on éviterait ce point à l'aide d'un demi-cercle très-petit d'un côté ou de l'autre.

Cela posé, concevons que la variable z parte du point z^, la fonction ayant la valeur initiale u^, et décrive la droite ZQZ^, la fonction acquerra en 2, une certaine valeur. Supposons que cette racine appartienne à un système circulaire de/? racines se permutant autour du point critique a; quand la variable aura décrit le petit cercle autour du pointa dans le sens positif, on obtiendra en z^ une autre racine; si l'on revient ensuite à Zq par la droite z^z^, la fonction aura en z^ une valeur Ui différente de la première. Si l'on décrit une seconde fois le même lacet avec la valeur M,, on retrouvera d'abord en z^ la racine précédente; un second tour autour du point critique a dans le sens positif amènera une nouvelle racine, et, en revenant au point :;o> on aura une troisième valeur Mj» et ainsi de suite. Quand le lacet aura été parcouru/? fois successivement dans le sens positif, on reviendra à la valeur initiale Wo. De cette manière, on peut dire que le lacet [a) unit les/? racines «„, w,, "2. • • • » "p-i- Pour plus de clarté, nous regarderons ce lacet («), relatif à un point critique d'ordre /?, comme la réunion de p lacets binaires unissant chacun deux racines, et nous les désignerons par

en les supposant tous décrits dans le sens positif. Les mêmes lacets, 4j^ décrits en sens négatif, seront

•(-«rS (-«)p:,..-, {-a)[, {-a)\.

Nous les avons écrits en ordre inverse, tels qu'ils se présentent quand on les parcourt successivement. Si/?— 2, on aura les deux lacets binaires positifs (a)J, [a)% conduisant, le premier de la racine Mq à la racine m,, le second de w, à Mq. Le premier lacet négatif conduit aussi de w, à Wo, le second de u^ \\ u^.

Un lacet relatif à un autre point critique unira d'autres racines entre

elles, ou bien unira l'une des racines précédentes à d'autres racines, et ainsi de suite. Nous démontrerons plus tard (n° 135) que, si l'équation proposée /(z, w) = o est irréductible, on peut, en partant du point Zq avec la valeur initiale u^ et décrivant des lacets convenables, revenir à ce point avec l'une quelconque des m racines de l'équation /(so> ") = o* Si ensuite on décrit la droite ZqZ avec chacune de ces m valeurs, la fonction acquerra m valeurs différentes au point 2, savoir les m racines de l'équation f[z, u) = o, dans laquelle l'inconnue est u. De cette manière, l'équation algébrique définit une fonction polytrope qui a m valeurs en chaque point.

Chacune des branches de la fonction, admettant une dérivée m'— — -^j

est une fonction holomorphe de z, dans toute partie du plan ne comprenant aucun des pôles ou des points critiques où cette branche devient infinie ou se permute avec d'autres.