Soient

les m racines de l'équation pour z = z^; nous appellerons lacets fondamentaux (Clebsch et GoRDAN, Théorie des fonctions ahéliennes) un système de m — i lacets binaires permettant de passer de la racine «„ à toutes les autres. Voici comment on procédera pour former ce système : après avoir décomposé les lacets complexes en lacets simples, comme nous l'avons expliqué, on prendra un lacet (a, ) unissant la racine «o à une autre que l'on appellera w,, et l'on exclura tous les autres lacets qui unissent Wq et u^ ; parmi ceux qui restent, on prendra un lacet (^2) unissant l'une des racines Mq el-"» à une autre que l'on appellera m.,, et l'on exclura tous les autres lacets qui unissent l'une des racines Uq et m, à Wo; parmi ceux qui restent, on prendra un lacet (a^) unissant l'une des racines u^, w,, Wg à une autre que l'on appellera M3, et l'on exclura tous les autres lacets qui unissent l'une des racines Mq, î^,, u^ à W3, et ainsi de suite; enfin, on prendra un dernier lacet (ci,n~\) unissant l'une des racines Mq» "i» • • • » "/«-a î^ l'autre racine Um-\' On obtient ainsi un système dem — I lacets binaires unissant la racine Wq à toutes les autres; ce sera un système de lacets fondamentaux.

Parmi les chemins formés de lacets fondamentaux et qui conduisent

de la racine Mo à la racine î/„, il en est un dont les lacets successifs donnent au point z^ des racines dont les indices vont en croissant; supposons, en effet, que l'on veuille revenir de la racine u^ à la racine u^ par des indices décroissants; d'après la manière même dont on a choisi les lacets fondamentaux, la racine u„ n'est unie qu'à une seule racine d'indice inférieur par un lacet fondamental; soit «^ cette racine; le dernier lacet sera {a,i)l', de même, la racine w^ n'est unie qu'à une seule racine d'indice inférieur par un lacet fondamental ; soit Ug cette racine ; l'avantdernier lacet sera {a;,)^; on continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on arrive à la racine u^. On obtient ainsi un chemin formé de lacets fondamentaux et ramenant de la racine u^ à la racine Uq par une série d'indices décroissants ; ce chemin décrit dans l'autre sens conduit de u^ à u„ par des indices croissants; nous le désignerons par (V)".

Tous les autres chemins formés de lacets fondamentaux et conduisant de Mo à u„ peuvent se ramener à ce chemin particulier par des suppressions de lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires. En effet, supposons que dans un autre chemin l'indice ^^^i-^y-*^**^^ passe par un maximum /?, c'est-à-dire par une valeur plus grande que "^v^H^ »^»^^^ ""^^^ v^ i'i précédente et la suivante; puisque la racine Up n'est unie qu'à une '^^'^vi^-v»*^^^*^^ seule racine w^ d'indice inférieur par un lacet fondamental, on arrivera

'*^ Vj--**^"^' ^ '^ racine Up par le lacet («p)^; pour que l'indice diminue ensuite, il

est nécessaire que l'on parcoure le même lacet en sens inverse; la ligne fermée («;,)^! + («/,)J> composée du même lacet parcouru deux fois successivement dans des sens contraires, se réduit évidemment à un point et peut être supprimée. Si, après cette suppression, l'indice passe encore par un maximum />', on aura la partie {^/f^, -+- {cii/)p' , composée du même lacet parcouru deux fois successivement dans des sens contraires et que l'on pourra supprimer. Après plusieurs suppressions de cette sorte, on arrivera au chemin (V)", qui conduit de la racine Uq à la racine u,^ par une suite d'indices croissants. Il en résulte que le chemin (V)" est celui qui conduit de la racine Uq à la racine u„ par le moindre nombre de lacets fondamentaux.

Considérons les deux chemins (V)" et (V)^, formés comme nous venons de le dire et conduisant de la racine initiale u^ aux deux racines u„ et Up. Soit^ le plus grand indice commun aux deux séries d'indices croissants; d'après ce que nous avons dit, tous les indices précédents

sont les mêmes; les deux chemins commencent donc par une partie commune (V)f, puis ils se séparent et continuent, l'un suivant (V)^, l'autre suivant (V)^, ces deux derniers chemins n'ayant plus aucun lacet commun. Pour aller de la racine ?/„ à la racine Up par le moindre nombre de lacets fondamentaux, il faut rétrograder sur le chemin (V)" de Un à Ug, puis s'avancer sur le chemin (V)^ de Ug à Up. Nous représenterons ce chemin par {V)f -h (V)^; la série des indices est formée d'une partie décroissante, suivie d'une partie croissante. Tous les chemins formés de lacets fondamentaux et conduisant de la racine m„ à la racine Up peuvent être ramenés à celui-là par des suppressions de lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires; car, lorsque l'indice passe par un maximum/?, le chemin contient une partie («p)f H- [f^pYp que l'on peut supprimer; après plusieurs suppressions pareilles, on obtiendra une série ne présentant plus de maximum et formée par conséquent d'une partie décroissante suivie d'une partie croissante, l'une des parties pouvant être nulle; on arrivera ainsi au chemin (V)f -h (V)^, considérée plus haut. D'après cela, en faisant abstraction des lacets parcourus chacun deux fois dans des sens contraires, ofi peut dire qu'il n'y a qu'un chemin formé de lacets fondamentaux et conduisant d'une racine à une autre.

Remarquons que les/? lacets binaires qui se rapportent à un système circulaire de racines ne peuvent appartenir à un même système de lacets fondamentaux; car en désignant ces lacets décrits dans le sens positif par

on voit que les/? — i premiers lacets unissent la racine «., aux autres

racines du système circulaire; le dernier lacet, unissant la dernière

racine à la première, doit être exclu. Si l'on exclut ainsi l'un des

lacets de chaque système circulaire, le nombre des lacets binaires effec- ,

tifs dans toute l'étendue du plan est 2;(/? — i); ce nombre est égal ou 'ou'^W*. v>Ar4r*'>^ ^^ ♦y'v»-'

supérieur à m — i.

Quand on représente la variation de z par le mouvement d'un point sur la sphère, si le point 0' est lui-même un point critique, on peut joindre aux lacets précédents le lacet qui sur la sphère part du point :;o et enveloppe le point 0'. Mais les nouveaux lacets binaires introduits de

BO

la sorte se ramènent à ceux qui correspondent aux valeurs finies de z. Nous pouvons, en effet, concevoir le lacet 0' comme formé d'un arc de grand cercle et d'une circonférence très-petite décrite autour du point 0'; à ce lacet correspond dans le plan un circuit formé d'une, droite z^^l {fig. aS), d'une circonférence d'un très-grand rayon ayant

Fiff. 23.

pour centre le point 0, et de la droite /so parcourue en sens inverse; ce circuit enveloppe tous les points critiques du plan, et il se ramène à la suite des lacets («, ), [a^], («g), . . . , parcourus dans un ordre déterminé. On peut donc remplacer chaque lacet binaire (0')^ par la suite des lacets binaires («,), («a)» (^s)»-*-» qui entrent d'une manière effective dans le circuit correspondant, c'est-à-dire dans le circuit parcouru avec la racine u^ prise comme valeur initiale; seulement nous rappelons que le circuit est décrit dans le sens positif, lorsque le lacet (0') est décrit dans le sens négatif pour un observateur placé en 0' (n° 17).