Exemple I. ~ Considérons l'équation v*^"*^ w^r
Il y'a deux points critiques a et 6 situés sur l'axe Ox {Jig. 24), l'uu z = i, pour lequel l'équation admet la racine double m = i et la racine simple w = — 2: l'autre z = — i, pour lequel l'équation admet la racine double M = — I et la racine simple u= 2. Les trois racines de
Fig. 24.
— Sii . îif) —
l'équation sont réelles pour toute valeur réelle de z telle que l'on ait 2" < I, c'est-à-dire en tous les points de la droite finie ab. Pour voir comment se comportent autour du point critique a les deux racines voisines de l'unité, nous poserons
l'équation devient
(2^4-3^") +-w"=ro;
les deux valeurs infiniment petites de u', dont les valeurs approchées sont
se permutent quand z tourne autour du point critique a (33); en 5,, les deux valeurs de w étant réelles et voisines de l'unité, sont positives.
Quand on change le signe de z, les trois valeurs de u changent de signe; il en résulte que deux racines se permutent aussi autour du point è, et que ces deux racines ont en z^ des valeurs réelles et négatives, voisines de — I .
Nous prendrons comme origine des lacets le point ^ = o. Pour ^ = o, les trois racines de l'équation sont m^ = o, w< = v/3, Wg = — V^S. Lorsque la variable z décrit la droite Oz^ , la fonction ayant la valeur initiale Wo = o, l'équation
montre que u conserve une valeur positive et par conséquent acquiert en Zi une valeur voisine de i; quand la variable tourne ensuite autour du pointa, cette racine se change en une autre racine positive, voisine de i; la variable revenant de z^ à 0, cette nouvelle racine, différente de la première, reste positive et par conséquent acquiert au point 0 la valeur «4 = y/s. Ainsi le lacet (a) unit les deux racines Wo et w, . De même le lacet (b) unit les deux racines m, et u^. Les deux lacets binaires («)J, (b)l forment un système de lacets fondamentaux.
Si l'on pose 2 = — , w = —» l'équation devient
{z'-i-'2.u'')~'iz'u"—o;
pour les valeurs infiniment petites de z', les trois valeurs de u' sont infiniment petites et ont pour valeurs approchées
elles se permutent circulairement, quand la variable tourne autour du point z'= o. Ainsi, sur la sphère, le point 0' e.t un nouveau point critique; le lacet, qui part de l'origine 0 et enveloppe le point 0', unit les trois racines u^, w,, Mj. Pour voir dans quel ordre s'effectue la permutation, considérons le circuit qui sur le plan correspond au lacet (0') et supposons que le rayon du circuit ait un argument compris entre rr et 2 71; le circuit, décrit dans le sens positif, peut être remplacé par la suite des deux lacets {a) et (b). Si l'on part du point 0 avec la valeur initiale iif,, le lacet {a) changeant Mq en m, et le lacet (6) étant neutre
par rapport à cette racine, on revient en 0 avec la racine m,. En décrivant le circuit une seconde fois, comme le lacet (a) change m, en Uq et ensuite le lacet (6') u^ en u^, on revient en 0 avec la racine u^', en décrivant le circuit une troisième fois, on ramène la valeur initiale Mq- Nous avons ainsi les trois lacets binaires (0')J, (0')^, (0')5, décrits dans le sens qui correspond au mouvement positif sur le circuit. On pourrait former un système de lacets fondamentaux avec les deux lacets (0')J, (0')^, ou avec les deux lacets (a)^, (0')^.
