Exemple II. — Considérons l'équation
Pour z = o, l'équation admet la racine simple m = 3 et deux racines
égales à zéro. Afin de voir comment se comportent ces deux dernières
racines dans le voisinage du point 2 = o, on posera u = vz^ ; l'équation
devient
les deux valeurs finies de v sont monotropes dans le voisinage du point z = o et ont pour valeurs approchées
les deux valeurs infiniment petites de u sont donc monotropes dans ce voisinage et ont pour valeurs approchées
Ainsi le point z = 0 est neutre, relativement aux deux racines qui deviennent égales en ce point. Nous désignerons les trois racines par «„, u^, Ua» €t ïious les distinguerons par leurs valeurs approchées
Pour chacune des six Valeurs de z satisfaisant à l'équation z® = 4» l'équation admet une racine simple m — — i et une racine double w = 2.
Si l'on appelle Zf l'une de ces valeurs de z, et si l'on pose z =: Zf-h z' , M = 2 4- à', l'équation devient
les deux valeurs infiniment petites de u', dont les valeurs approchées sont
se permutent, quand on tourne autour du point critique. Il y a donc six points critiques «o» «o «2. «3» «4> «5 iJ^g- ^5), situés aux^sommets
Fig. 25.
d'un hexagone régulier dont le centre est l'origine. Imaginons ces points joints à l'origine par des lacets formés chacun d'un rayon et d'un petit cercle. Sur chaque rayon, les trois racines sont réelles, deux positives, une négative; chacune d'elles d'ailleurs conserve son signe; sur les rayons O^o» O^a» Oa^, la racine w, est positive, la racine 112 négative; sur les rayons Oa,, Oa^, Oa^, au contraire, la racine m, est négative, la racine Wj positive. Quand on arrive près du point critique, les deux racines positives acquièrent des valeurs voisines de 2 et se permutent l'une dans l'autre. On en conclut que chacun des lacets {uo), (fla)» (^4) unit les deux racines u^ et m,, et que chacun des lacets («,), {a3),(a^) unit les deux racines u^ etu^. Les deux lacets («0)0» (^i)o forment un système de lacets fondamentaux.
Si l'on pose z = ~i ii = — ? l'équation devient
EXEMPLES DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 6f
Pour z' = o, les trois valeurs de u' sont égales à zéro. En posant u' = vz'^, on a
chacune des valeurs de v est holonxorphe dans le voisinage du point z' = o. Ainsi, sur la sphère, le point 0' est pôle pour chacune des valeurs de u.
42. Exemple FIL — L'équation admet des racines égales pour les valeurs de z qui satisfont à l'équation
(z-'—iy{z* — 2Z'— i)— o.
Pour 2 = d= I, la racine double est m = i; si l'on pose z = iL i -h z', u = I -h u', l'équation devient
les deux valeurs infiniment petites de m' restent monotropes dans le voisinage du point z = i ou s =:: — i et ont pour valeurs approchées
ainsi les deux points z=±i, que nous marquons c et c' {fig. 26), sont neutres. Il y a quatre points critiques donnés par l'équation z" — ^z"^ —\ = o\ deux de ces points a et a' sont situés sur l'axe des
Fig. 26.
X et correspondent aux solutions z = ± y i -{- ^^2; les deux autres b et h' sont situés sur l'axe des y et correspondent aux solutions
62 LIVRE I. - CHAPITRE lïl.
z ^=±i y/ y/2 — i . En ces quatre points, la racine double est w = — i, la racine simple w = 2.
Dans le voisinage de l'origine, les valeurs approchées des racines sont
Sur la droite finie bh', les trois racines sont réelles, une positive, deux négatives; les deux racines négatives deviennent égales et se permutent autour du point b et autour du point b'; on en conclut que chacun des deux lacets {b) et {b') unit les deux racines w» et w^. Sur la droite finie aa'f les trois racines sont encore réelles; entre les points d et d\ qui correspondent di z = ± \l2, deux racines sont positives et une négative; sur da et d'à', au contraire, deux racines sont négatives et une positive; ceci provient de ce qu'en d ou. d' l'une des deux racines positives Wo 6tW2 s'annule et change de signe. Pour voir laquelle éprouve ce changement, considérons la dérivée
du 8z{i — z")
âz ~' 3(1 — M^) '
et remarquons que u n'acquiert la valeur -h i que pour 2 = ± i . Quand la variable z décrit la droite Oc, la racine positive «« reste comprise entre zéro et i; sa dérivée étant positive, elle croît de zéro à i; ayant
dans le voisinage du pointe la valeur approchée Mq = 1-1- 2 i/| (z — i);
elle continue à croître et devient plus grande que i; la dérivée reste ainsi positive, et la racine u^ croît indéfiniment au delà du point c. On en conclut que c'est la racine ^2 qui change de signe au point d; on peut d'ailleurs le voir directement; en eff^et, quand la variable z décrit la droite Oc, la racine Uo reste comprise entre y/^ et i; sa dérivée étant négative, elle décroit de \/3 à i; ayant dans le voisinage du point c la
valeur approchée Wo = i — 2 i/x (^ — i), elle continue à décroître et
devient plus petite que i; la dérivée reste ainsi négative, et la racine «a décroît de i à zéro, et de zéro à — i quand 2 va de c en dy et de d en a. La racine négative w, décroît de -- y/3 à — 2 quand z décrit Oc, puis
croît de — 2 à — I quand z décrit ca. Au point a les deux racines négatives u^ et Wa deviennent égales et se permutent; au delà elles sont imaginaires. Il résulte de ce qui précède que chacun des lacets [a] et (a') unit les deux racines u^ et u^. Les deux lacets (^)ô> («)? forment un système de lacets fondamentaux.
Sur la sphère, le point 0' est un point critique autour duquel se permutent les trois racines. Si le lacet (0') passe entre les points h' et «, et est décrit dans le sens qui correspond au mouvement positif sur le circuit, il est l'assemblage des trois lacets hinaires (O')^, (0')2, (0')i.
