Exemple IV. — L'équation

admet des racines égales pour les valeurs de z qui vérifient l'équation

(2»— iy{z^ — l—)/2}{z' — 1 + V^j=:0.

Les points Co,c,, c, (fig. 27) qui correspondent à l'équation z^ — \ — o sont neutres, parce que les deux racines qui deviennent égales restent

monotropes autour de ces points. A l'équation z'^ — i -\- sj^ correspondent trois points critiques ao, a^, a^, situés aux sommets d'un triangle équilatéral; à l'équalion z^ = — (va — 1), trois autres points critiques 6o» ^j» ^2. situés aux sommets d'un second triangle équilatéral.

Pour ^ = o, on a Wo = 1^', M, = — v^B, «2 = ^3. Sur la droite 06o,

les trois racines sont réelles, une positive, deux négatives; ce sont les deux racines négatives qui deviennent égales et se permutent autour du point b^', ainsi le lacet (^o) unit les deux racines Mq et «i. Les lacets (bi ) et [b^) unissent ces deux mêmes racines. Sur les droites Oao, 0«o 0^2, les trois racines sont aussi réelles. Marquons les points c?^, d^, d<i qui correspondent à ^^ = a. Sur Oc?o> deux racines sont positives, une négative; sur û?o«o» une positive, deux négatives. On verra, comme dans l'exemple précédent, que c'est la racine u^ qui change de signe au point d^\ on en conclut que le lacet («o) unit les deux racines m, etWo. Les lacets (a<), («a) unissent ces deux mêmes racines. Les deux lacets (èo)o' (^o)i forment un système de lacets fondamentaux. Sur la sphère, le point 0' est pôle pour chacune des racines.