Exemple V. — Considérons l'équation

u' -h3zUi' — {z' — iY — ^z' = o.

La dérivée du premier membre par rapport à u est 3w(m + 2s-); elle s'annule pour m = — 2z^ et u~o. La première solution donne

Fig. a8.

[z' — r)2= o; mais les points a et d' [fig. 28), qui correspondent à z — ±\, sont neutres, parce que, autour de chacun d'eux, les racines restent monotropes.

Pour M — o, on a [z"^ — i)'^ -h 42** = o, d'où

il en résulte six points critiques autour de chacun desquels deux racines se permutent : deux, c et c', sont situés sur l'axe des y\ les quatre autres, a, a', b, h\ symétriques deux à deux par rapport à l'origine, aux sommets d'un rectangle.

Pour z = o, l'équation proposée se réduit à m' — i = o, et admet les trois racines Mq = i, u^ =y, u^ =y^,y désignant l'une des racines imaginaires de l'équation y ^^ — 1 = o. Sur la droite finie ce', l'équation a une racine réelle u^ et deux racines imaginaires conjuguées m, et u^\ ce sont celles-ci qui deviennent égales en c et c', et se permutent autour de ces points; ainsi chacun des lacets (c), (c') unit les deux racines w, et u^. Le lacet (a') unit les mêmes racines que (a), le lacet {h') les mêmes que {h). La fonction algébrique devant acquérir au point z = o les trois valeurs Mo, w,, «2» il est nécessaire que l'un au moins des deux lacets (a), {h) unisse la racine u^ à l'une des deux racines m, et M2-»^ous remarquons d'ailleurs que si, sur le lacet (a), on a s = a? + jï, on a 2 = ^ic—yi sur le lacet (6), et par conséquent les trois valeurs de u sur le lacet {h) sont respectivement conjuguées de celles que l'on obtient sur le lacet (a); on en conclut que chacun d'eux unit la racine u^ à l'une des racines m, et u^. Si le lacet (a) unit Uq et M,, le lacet [h) unira u^ et u^. On formera un système de lacets fondamentaux en prenant soit (a)J et (6)J, soit (a)J et (c)J, soit {Jb)\ et {c)\.

Le point 0', sur la sphère, est pôle pour chacune des racines.