I -r- eus
Autre méthode.
6. Nous allons envisager la question à un point de vue un peu différent. Posons
X et Y étant des fonctions réelles de deux variables réelles et indépendantes a: et y. Laissant y constant, faisons varier x; nous aurons
Az = A^,
et
Aw AX .AY^ Az ~ Ao: A^'
si le rapport -r— tend vers une limite, les rapports — -> -r— tendent respectivement vers des limites déterminées. On erî conclut que les deux fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles par rapport
Laissant x constant, faisons maintenant varier j; nous aurons
Az =: 2 A j, et par suite
Am£/AX ^-AYX ay .ax, Az ~ « \A/ "^' Ajj" Aj 'Aj'
on en conclut de même que les fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles par rapport à y.
Si le rapport -^ a dans les deux cas la même limite /'{z), on a la
relation
Ox dx ~' ôy ôy
qui équivaut aux deux suivantes
d^dY^ âX âY ^ ' Ox oy ày dx
Ces relations indiquent que les expressions
Ydx+Xdy, Xdx — Ydy
sont des différentielles exactes par rapport aux variables (v ety.
7. Réciproquement, lorsque deux fonctions réelles et continues X et Y de deux variables indépendantes a: et y ont des dérivées partielles satisfaisant aux relations (i), l'expression u = X-{-Yi peut être considérée comme une fonction de la variable imaginaire z == x -i- yi, admettant une dérivée.
Considérons, en effet, un point quelconque js, et par ce point faisons passer une courbe zz, telle que les valeurs de z soient représentées le long de cette courbe par la formule
dans laquelle les fonctions réelles <p(^), tj^(i) de la variable réelle t admettent des dérivées <p'{t), 'Yi^)- On aura, le long de cette courbe,
dX
dX dx ^ dX dr
dt ~
' dx dt dy dt
dY
dt ~
ÔY dx dY dr dx dt dy dt
d'où
dudX i^ [àXdx àXdr\ , -[àYdx dY dj dt~~ dt '^^ dt ~' \dx dt "^ dy 'dij ' \dx dt '^ dy dt
et, en vertu des relations (i),
du /dX , .ôY\/dx .dy\ dt~~\dx'^^dx)\dt'^^dlj* •
On en déduit
(dX .àY\/dx .dr\,
£ s'évanouissant avec A^. Comme on a
£, étant aussi une quantité infiniment petite, il en résulte
Au fdX .dY\ i-4-e
Az \dx dx J i -\- ly
La fonction admet donc une dérivée -v — r- « -r-» indépendante de la
ax ox *■
direction de la tangente à la courbe 22, au point z.
8. Nous démontrerons plus loin que la fonction /'(2) a aussi une dérivée; il en résuite que les fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles du second ordre par rapport aux deux variables x et y; d'après les relations (1), ces dérivées partielles satisfont aux équations
^ • !^ — ^ ^ — dx^ ~^ dy^ * âx^ dj'
Ainsi toute fonction u ■=. /(^), ayant une dérivée, fournit deux solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles du second ordre
dx^ dy^
Il résulte de là que si Ton veut, à l'aide de deux fonctions réelles X et Y des deux variables réelles et indépendantes^ et y, composer une fonction m = X -h Yi de la variable imaginaire z =^ x -^ yi admettant une dérivée, on ne pourra prendre arbitrairement aucune de ces deux fonctions.
9. Nous avons figuré la variable imaginaire z par le mouvement dans un plan d'un point dont les coordonnées sont x et j. Concevons que, sur la perpendiculaire au plan en ce point, on porte des longueurs respectivement égales à X et à Y, nous aurons deux surfiices dont l'ensemble représentera la fonction u. Les relations (i) signifient que, si l'on fait tourner d'un angle droit l'une des surfaces autour d'une perpendiculaire au plan xOy^ les plans tangents aux deux surfaces aux points situés sur cette perpendiculaire deviennent parallèles. En effet, la normale à la surface X fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à ,,^ l ^^^ \ ; .
dx ày *^ .^^.,hA>.^.^^
après la rotation d'un angle droit de Ox vers Oy, cette normale fait avec "^^"^
les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à R#<t - eJU-v^» y^^ '^
dj- âa; *
ou, en vertu des relations (i), à
^ dY .
elle est alors parallèle à la normale à la seconde surface. '^'^ j l
10. Voici quelques autres propriétés des surfaces X et Y qu'il est bon de remarquer :
Si l'on pose '
dx~P' dr~^^' dx "^^ dxdx^^' <^r~''
ôY , ^ ' ^ / <^'Y , <J'Y dx~P' dy"^' dx'~~^' dxdx~~^' ày' ~ '
on a
P' = -^y Q'-Py et par suite
Le rayon de courbure R d'une section normale à la surface X est donné par la formule
j^ \/i-hp'-hq' ^ v/i4-/?-^ + ^'
rcos'a 4- 1 cos'[3 + q.s cosa ces [3 r(cos'<x -w cos'P) + 25 cosa cos[3
a, p, 7 étant les angles que fait avec les axes des coordonnées la tangente à la section normale considérée. L'indicatrice de la surface X a pour projection sur le plan xOy l'hyperbole équilatère
rCi'—'n") + 2«^-/3 = v^J + p'-f-q^
rapportée à son centre. L'indicatrice de la surface Y a de même pour projection l'hyperbole équilatère
ou
r'{'i'~ V)') + 2s' Ir, = y/i + p" -+- q" s{-n^ — ^') + 2rln = Vi -hq'-h p\
iO LIVRE I. — CHAPITRE I.
Si l'on fait tourner cette seconde hyperbole de 45 degrés autour de son centre, elle coïncide avec la première. Ainsi, les projections sur le plan xOy des indicatrices des deux surfaces conjuguées aux points homologues sont des hyperboles équilatères égales, et les asymptotes de l'une coïncident avec les axes de l'autre.
Les rayons de courbure principaux de la surface X sont donnés par l'équation du second degré
rt-~s')R^— v/i -\' p' -h q' [{i-h p')t -h (i-\- q'^)!^ — 2pqs]K -i- (i -\- p^ -h q^y = o,
qui se réduit à
{r'+ s^)lV— ^TT^~-+^'[{p' -- q')r -+- 2pqs]R — {i -h p' + q'Y = o;
ceux de la surface Y par l'équation
(/•'+ s') R'— \Ji-hp'fq'[{p'—q')s — 2/)^r] R — (i -\-p^-\- q'Y = o.
On voit que le produit des rayons de courbure principaux est le même dans les deux surfaces, et par conséquent que les deux surfaces ont la même courbure aux points homologues.
Fonctions monotropes.
il. Supposons que le point z soit astreint à rester dans une partie du plan déterminée; si tous les chemins qui vont du point initial Zq à
Fig. 4.
un point quelconque z [fig. l\) situé dans cette partie du plan conduisent à la même valeur de la fonction, nous dirons que la fonction est monotrope dans cette partie du plan.
Il est évident que, si le point mobile décrit une courbe fermée située dans la partie du plan considérée, la fonction reprend sa valeur primitive.
Réciproquement, lorsque la fonction jouit de cette propriété, elle est monotrope. Considérons, en effet, les deux chemins z^az, z^bz, qui vont du point z^ au point z; soit Uq la valeur initiale de la fonction, u la valeur qu'elle acquiert quand on suit le chemin z^az; en continuant suivant zbz^, on ramène la valeur initiale u^; si maintenant on rétrograde suivant z^bz, la fonction repassera par la même valeur en chaque point, et par conséquent elle acquerra en z la valeur u obtenue précédemment.
Une fonction entière, plus généralement une fonction rationnelle, n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de s, est monotrope dans une partie du plan limitée par une courbe quelconque. Nous dirons pour abréger que, dans ce cas, la fonction est monotrope dans toute l'étendue du plan.
Exemples de /onctions polytropes.
