Exemple VI. — Soit l'équation (i) u^ — 3zu -h z' = o

Les points critiques sont donnés par l'équation z^{z^ — 4) = o, qui se décompose en deux, l'une z = o, l'autre z' — 4 = o.

Po^ur z = o, les trois racines sont nulles. La méthode géométrique du n° 34 montre qu'il y a deux manières de former le groupe des

termes principaux dans l'équation proposée {fig. 29). Dans le premier mode, la partie principale étant u^ —3zu, u est du degré \. Si l'on pose z = z'"^, u = vz', l'équation devient

on obtient ainsi deux racines ayant pour valeurs approchées ± v^3s' , et qui se permutent quand la variable z tourne autour du point 0. Dans

Fig. 29.

le second mode, la partie principale étant — 3^mh- z', u est du degré 2. Si l'on pose u ~ vz^, l'équation devient ^

ce qui donne une racine ayant pour valeur approchée ^^z^ et mono-

trope dans le voisinage du point 0.

L'autre équation z^ —A = o admet les racines

2 2TCI 3 417t

auxquelles correspondent les sommets a, b, c [fig. 3o) d'un triangle équilatéral; autour de chacun de ces points se permutent deux racines de l'équation proposée.

Pour former les lacets, nous ferons partir la variable d'un point -s^, situé à une très-petite distance du point 0 sur l'axe O^c; en ce point, les trois racines se distingueront par leurs valeurs approchées

Le lacet (a) est formé, comme à l'ordinaire, d'une droite et d'un petit cercle; le lacet (b), d'un arc z^z, égal à un tiers de circonférence, d'une droite partant du point z, et d'un petit cercle; le lacet (c), d'un arc z^ZfZ^ égal à deux tiers de circonférence, d'une droite partant du point ^2 et d'un petit cercle; enfin le lacet (0), d'un cercle z^^^s^z,. Les lacets se succèdent dans l'ordre (a), {b), (c), (0).

Fig. 3o.

Sur la droite Oa, les trois racines de l'équation proposée sont réelles, deux positives, une négative; ce sont les deux racines positives qui se permutent autour du point a; ainsi le lacet (a) unit les deux racines u^ et M,.

Quand la variable z décrit l'arc z^Zt, les trois racines deviennent

<^ I I *« Il «*» 1 t «' I t *■"»

u, = :^zle^, Ui = 3'zle^ = -Vzle ^ , u, = ~ 3' zle^ =V zle ^ ,

ii:i 4 ri

Sur le rayon Ob, on 2i z —xe ^ ; si Ton pose w=:w'e~, l'équation devient m" — '5xu' -+- x' = o. Ainsi, quand on passe du rayon Oa au

rayon 06, les trois racines sont multipliées par e » ; les deux racines positives se permutant autour du point (a), ce sont les deux racines u^ etWa qui se permutent autour du point b, et par conséquent le lacet (b) unit les deux racines m^ et u^.

Quand la variable z décrit l'arc ^o^i^a» ïes trois racines deviennent

Quand on passe du rayon Oa au rayon Oc, les racines sont multipliées

par e~^; ainsi le lacet (c) unit les deux racines u^ et Mi.

D'ailleurs le lacet (0) unit les deux racines w< et u^. On a ainsi les quatre lacets («)J, (^)o» (^)o> (O)?. Sur la sphère, le point 0' est pôle par rapport à chacune des racines. Le lacet (0') ou le circuit correspondant, parcouru avec l'une quelconque des racines prise comme valeur initiale, doit ramener la même racine, ce qu'il est facile de vérifier.