Exemple VII. — Soit l'équation

m' — -r^ ZU -h Z'-H 1 = O.

On obtient les points critiques en résolvant l'équation

d'où

z = cos T^ — — +- 1 sm 1 7: — — ;

ces points, au nombre de six, sont les sommets d'un hexagone régulier

ayant son côté égal à l'unité, et disposé comme l'indique la figure 3i. En chacun des sommets, l'équation (i) admet une racine double et une

racine simple. La valeur de z relative à l'un des sommets et la ra-

cine double correspondante n'annulent pas la dérivée partielle -~\ on

en conclut que les deux valeurs de u voisines l'une de l'autre se permutent lorsque z décrit une petite courbe fermée autour de ce point. A l'origine, les trois racines ont les valeurs

M, =:~I, M, := l j «2= Vl^^—'

Imaginons que le point z s'avance, en suivant une ligne droite, de l'origine vers un des sommets, puis décrive autour de ce point une petite courbe fermée; les racines varient d'une manière continue en partant de leurs valeurs initiales; dans le voisinage du sommet, deux racines ont une différence très-petite et se permutent lorsque le point z décrit la courbe qui entoure ce sommet. Chercbons quelles sont les racines qui se permutent autour de cbacun des points critiques. Les racines de l'équation (i) sont données par la formule

(3) ar:^A + -J-,

V'aA

dans laquelle A désigne l'une quelconque des valeurs du radical cubique

(4) A=^iit£i^TTl=.

Le long du rayon sur lequel marche 2, on a

z = r cos(2A-i-i)^ H- isin(2A + i)^ j:

et par conséquent

2*^ — r» et 2'=dzà''.

On prendra le signe 4- pour les valeurs o, 2, l\ de A, c'est-à-dire lorsque le point z s'avance sur l'un des rayons O^oi 0^2. 0^4, et le signe — si le point z s'avance sur les rayons 0<ï< ,0^3, Oa^ qui correspondent aux valeurs ï, 3, 5 de A. Puisque le nombre r varie de zéro à l'unité, on peut

poser r' = sin(p et faire varier 9 de o à -•

Considérons d'abord le cas où A a l'une des valeurs o, 2, 4; l'expression de A devient

sin -

3/ i+isino I / T—r- 3/ 93/ 9

= V ^--v/i-sm^9=-y/cosï^cos^-i-e

il faudra attribuer à k successivement les trois valeurs o, i, 2. On a en même temps

zz.-y/sm^jcosLtaA + Og-g ^j4-.sin[(2A + i)g-g— 3-Jj.

Remarquons que, quelle que soit celle des valeurs o, 2, 4 que l'on attribue à A, si l'on fait 9 égal à zéro, les racines Wo» "<» u^ correspondent

à ^ = 0, ^ = 1,^ = 2. Faisons varier <p de zéro à -; pour 9 = -? les

valeurs de u sont données par la formule

y^cosj

+ COS (2A-f 1)77 r— -l-iSin (2A-i-l)p — - .

Dans cette formule, il faut remplacer A par l'un des nombres o, 2, 4» puis k par o, i, 2. Les arguments des valeurs correspondantes des deux termes du second membre sont renfermés dans le tableau

ITTT = 2, -^

On conclut de ce tableau que le lacet («o) unit les deux racines w, et «2, le lacet («a) les deux racines «o et z^,, le lacet (a^) les deux racines «0 et Ma*

Considérons maintenant le cas où Ton suppose que h a l'une des valeurs I, 3, 5. On a alors

z' — — ir\

puis

z ^/ . 9i r, i ^^^: 9 2A"7r"| . . F/ jl x^t 9 2A-7r~l)

— = -y/s.n|jcos[(.A+i)g + î + — J+.sm[(aA + ,)g+| + ^Jj.

Il faut observer que pour ç = o les racines u^, u^, u, correspondent à k = o, k = i, k = 2. Les valeurs de u à l'un des sommets a,, a^, a^

72 LIVRE I. - CHAPITRE lïl.

sont données par la formule

u [ TT 2/r7r\ . . / TT 2/r7r\ — = ces ( ^— -+- i sm TT— )

r , ,71 Tz 2/r7r~| . . F/ 7 \7r . TT a/rTi"! L 'b 12 6 \ L b 12 i J

dans laquelle on doit remplacer h successivement par l'un des nombres r, 3, 5, puis k par l'un des nombres o, 1,2. Les arguments des deux termes du second membre ont des valeurs comprises dans le tableau suivant :

iStt iStt