Exemple VIII, — Considérons l'équation

La dérivée partielle du premier membre par rapport à u étant égale à 5m' M — I (i — 2^) h l'équation admet des racines égales lorsqu'on a,

soit M nr o, et par suite ^ = o ou ^ = =b i, soit m — | (i — z^), et par

suite z =±i; ce dernier cas rentre dans le précédent. Pour z ='o, l'équation a une racine simple Mq = i et quatre racines égales à zéro; les valeurs approchées de ces quatre racines sont

A* la quantité a vérifiant l'équation a* = — ^^s les deux racines m, et u^

se permutent autour du point 0, de même Mo et u^, ce qui donne deux systèmes circulaires. Pour z = rt.\, l'équation admet cinq racines égales à zéro; si l'on pose z = i -t- s', on a

les valeurs approchées des racines, dans le voisinage du point z = i; sont données par la formule u =■ ^4*^"; elles forment un système circulaire de cinq racines se permutant autour du point critique. Les racines, étant respectivement égales pour des valeurs de z égales et de signes contraires, se permutent suivant la même loi autour du point z = — I. Il y a donc trois points critiques, l'origine 0 et les deux points a et 6 qui correspondent à 2 = ± i [fig. 32).

Si l'on fait z — —•> u~- -j-, l'équation devient

i-(l-- 2")<«"— Z'»(l— Z")ll' — 2''»=: O.

Pourz' = o, les cinq valeurs de m' sont égales à zéro. En posant m' = (^2'^, on met l'équation sous la forme

|j (l — 2")t'^- (l— Z'')(^— irrzo;

pour z' = o, l'équation admet une racine double v= — 7 et trois racines

simples. En posant v = - j -h v\ on reconnaît aisément que les deux valeurs infiniment petites de ç^' restent monotropes autour du point z' = o. On en conclut que sur la sphère le point 0' est pôle relativement à chacune des racines.

Il s'agit maintenant de voir dans quel ordre les racines se permutent autour des points critiques a et b. De l'origine comme centre

Fig. 32.

avec un rayon très-petit, décrivons un cercle. Nous distinguerons les racines par leurs valeurs approchées

1 JL J. i

«0 — I, iii = txz'\ u, — — (xiz^, «3= -a2% Ui-aiz^,

au point initial z^ situé sur l'axe Ox aune très-petite distance du point 0. Le lacet {a) est formé d'une droite et d'un petit cercle, le lacet {b) d'un demi-cercle ^0 ^^t » d'une droite et d'un petit cercle autour du point b, le lacet (0) du cercle Zomz^nzo', de cette manière, les lacets se succèdent dans l'ordre («), [b), (0). Quand la variables, parlant du point ;So, décrit le lacet [a) une première fois, dans le sens direct, la fonction u passe de la valeur initiale u^ à une autre que nous représenterons par

az ', a étant une certaine racine de l'équation a* = — ^' Je dis maintenant que, si la variable z' décrit le lacet {a) plusieurs fois successivement dans le sens direct, les racines se succéderont dans l'ordre Wq, m,, U2, M3, W4. En effet, au lacet (0') sur Ja sphère correspond dans le plan un circuit enveloppant les trois points critiques et se ramenant par conséquent à la suite des trois lacets (a), {b), (0); le point 0' n'étant pas critique, la racine prise comme valeur initiale doit se reproduire à la fin du circuit. Or, si l'on part du point ^^o ^vec la valeur initiale u^, après le lacet [a) on a w, ; la demi-circonférence z^ mZf change m, en u^; le lacet (s, b) devant ramener en z^ et par conséquent en Zo la première

racine Mq» il est nécessaire que la racine u^ soit la cinquième du système circulaire. Nous avons donc à choisir entre les deux dispositions

Mo, Wi, W3, Wj, M«.

La seconde ne convient pas; car si Ton part du point z^ avec la valeur initiale M,, on aurait «3 après le lacet (a), u^ après le demi-cercle z^mz^, u^ après le lacet [z^ b), m, après le demi-cercle z, mz,,, u^ après le lacet (0), et la valeur initiale m, ne se reproduirait pas. Avec la première disposition, on a w, après le lacet (a), m, après le demi-cercle Zf^mZi, Mo après le lacet (z^ b), u^ après le demi-cercle z^ mz^, u, après le lacet (0), et la racine initiale m, se reproduit. Ainsi le lacet complexe {a) est l'assemblage des cinq iacels binaires positifs

Le lacet {b), dont l'origine est aussi en Zq, se compose du demicercle ZoTnZf, du lacet (z, b) symétrique du lacet (z^a) par rapport au point 0, et du demi-cercle s, mz^. Les valeurs de u étant les mêmes en deux points symétriques, la permutation s'efl'ectue sur le lacet (z, b) comme sur le lacet {zo a). On part du point z^ avec la valeur initiale u^ ; après le demi-cercle z^ mz^ , on a en z^ la même valeur u^ ; le lacet (z, b) change u^ en m,, et cette racine, après le demi-cercle z^ mz^^^ devient Ma- En décrivant le lacet (b) une seconde fois, ou revient en z, avec la valeur ttj; le lacet (z,^) la change en Mj, et, après le demi-cercle z,mzo, elle devient «3, et ainsi de suite. On obtient de la sorte les cinq lacets binaires positifs

ib)i {b)i, {b)u (b):, (b)%

Le lacet (0) est neutre relativement à la racine u^; mais il unit les racines m, et u^, 1I2 et u^. Il est l'assemblage des deux lacets binaires (0)^ (0)^

On peut former le système des lacets fondamentaux de bien des manières, par exemple avec les quatre lacets {a)^, {'a)'], {a)l, (a)l, ou bien avec les quatre lacets (a)J, (a)J, (0)J, (0)2- Dans ce second

mode, les chemins qui conduisent de la racine u^ à toutes les autres sont (n° 39)

V; = («);, \\ = {a)\+{a)], yi = [a)\ + {0)\, \l = [a][ + [a)\+{0)[.

Exemple IX. — Considérons enfin la fonction définie par l'équation algébrique

{u — ai){u — a:i) . .(m — a„) — 2 = o.

Quand la variable z décrit une circonférence ayant pour centre l'origine, le produit des distances du point u aux m points fixes «<, «2, . . . , a,n reste constant, et ce point décrit une cassinoïde à m foyers. Quand le point z décrit une droite partant de l'origine, le point u décrit une courbe telle, que la somme des arguments des droites qui vont des m foyers à chacun des points de la courbe est constante. Les deux séries de lignes décrites par le point z étant orthogonales, les deux séries de lignes correspondantes décrites par le point u sont aussi orthogonales. En particulier, lorsque le polynôme est du second degré, les deux séries de lignes orthogonales se composent i]^ cassinoïdes à deux foyers et d'hyperboles équilatères.