CHAPITRE PREMIER

PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET CROISSANTES DE LA VARIARLE.

48. Lemme. — Lorsqu'on multiplie les termes d'une série convergente, ayant tous ses termes positijs, par des nombres positifs inférieurs à un nombre déterminé, on obtient une nouvelle série convergente.

Soit

«0 + «1 H- rtî + . . .

une série convergente ayant tous ses termes positifs; si l'on multiplie les termes de cette série par les nombres positifs

Oj, bly Ojf . I . ,

plus petits qu'un nombre déterminé B, on obtient une nouvelle série

convergente

aobo-T- Oibi-h atbj-h . . .

En effet, soient S;^ la somme des n premiers termes de la première série, S'„ la somme des n premiers termes de la seconde série, on a S'„ <BS„; mais la somme S„ est moindre que sa limite S; on a donc S'„ < BS, et par conséquent la seconde série est aussi convergente.

49. THÉoRiiME I. — Etant donnée une série ordonnée suivant les puis-

sances entières positives et croissantes d' une variable imaginaire, si, pour une valeur de la variable dont le module est r', les modules des termes de la série sont moindres quun nombre déterminé, la série sera convergente pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que r' .

(Abel.) Soit

Mo + M| 2 -i- MjZ' -1- . . .

la série proposée, dans laquelle z désigne une variable imaginaire, Wo, M,,... des coefficients réels ou imaginaires. Appelons «„, a,,... les modules des coefficients. Nous supposons que les modules

rto, «,/-', air'\. . .

des différents termes de la série, pour une valeur de z dont le module est r', sont plus petits qu'un nombre déterminé B. Donnons à la variable une valeur dont le module r soit plus petit que r', et considérons la série convergente

si nous multiplions les termes de cette série respectivement par les nombres

moindres que B, nous obtiendrons, en vertu du lemme précédent, une nouvelle série convergente

ûEo + «, r -i- rtj r= -1- . . .

Ainsi, pour toute valeur de z ayant un module plus petit que r', la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée est elle-même convergente.

Cercle de convergence.

50. Imaginons des valeurs croissantes du module pour lesquelles les modules des termes de la série conservent des valeurs finies, c'est-à-dire restent moindres qu'une quantité déterminée; ou ces valeurs croissantes

augmentent à l'infini, ou elles tendent vers une limite R. Dans le premier cas, la série proposée est convergente pour toutes les valeurs de z; car, soit r le module d'une valeur quelconque attribuée à z, les modules des termes de la série conservant des valeurs finies pour un module r' plus grand que r, la série est convergente pour cette valeur de z. Dans le second cas, la série est convergente à l'intérieur du cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal h R (Jig. 33); car, si l'on

Fig, 33.

attribue à la variable z une valeur ayant un module r inférieur à R, les modules des termes de la série conservant des valeurs finies pour un module r' plus grand que r, mais plus petit que R, la série est convergente pour cette valeur de z. Pour tous les points situés à l'extérieur du cercle R, les modules des termes augmentant à l'infini, la série est divergente. Ainsi la circonférence R partage le plan en deux régions : pour tous les points situés à l'intérieur du cercle, la série est convergente; pour tous les points situés à l'extérieur, elle est divergente. C'est pourquoi nous donnerons à ce cercle le nom de cercle de convergence. Une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable définit donc une fonction finie et monotrope dans le cercle de convergence.

Sur la circonférence R elle-même, il y a incertitude ; si, pour le module R, les modules des termes ne tendent pas vers zéro, la série sera divergente sur toute la circonférence; si, pour ce même module, les modules des termes tendent vers zéro, la série peut être convergente ou divergente sur toute la circonférence, ou bien convergente en certains points, divergente en d'autres.

Rémarquons qu'en chacun des points situés à l'intérieur du cercle de convergence non-seulement la série proposée est convergente, mais encore la série des modules de ses différents termes.

Exemples. — i° La série

est convergente dans toute l'étendue du plan. 2° La série

est convergente dans le cercle de rayon i; sur la circonférence, les modules des termes étant égaux à l'unité, la série est divergente. 3^ La série

est aussi convergente dans le cercle de rayon i; sur la circonférence, la série des modules des termes étant convergente, la série est elle-même convergente.

4" La série

est convergente dans le cercle de rayon i ; sur la circonférence, on voit immédiatement qu'elle est convergente au point 2= — i, divergente au points = -+- 1; on démontre d'ailleurs qu'elle est convergente sur toute la circonférence, excepté en ce dernier point. 5° Si l'on considère la série

et si l'on attribue à z une valeur quelconque différente de zéro, les modules des termes augmentent à l'infini; il en résulte que la série n'est convergente que pour ^ — o; dans ce cas, le rayon du cercle de convergence se réduit à zéro.

51 . Théorème IL — La fonction définie par une série ordonnée suivant les puissances entières positives et croissantes de la variable est continue dans le cercle de convergence.

La série

étant convergente dans un cercle de rayon R, appelons /(2) la somme des termes de la série pour une valeur quelconque de z située à l'intérieur du cercle de convergence. Soit (p{z) la somme des n premiers termes de la série, et ^{z) le reste; nous aurons

De l'origine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de n telle que, pour cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste

^{z) soit plus petit qu'une quantité très-petite donnée ^» quelle que

soit la position de la variable z à l'intérieur du cercle R'. 11 suffit, pour cela, de prendre n tel que l'on ait

ce qui est possible, puisque la série

est convergente. Pour tout module r plus petit que R', on aura, à plus forte raison,

Le module du reste ^{z)^ étant plus petit que cette somme, sera luimême moindre que ,-

Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs voisines z et z' situées à l'intérieur du cercle R', la fonction prendra les deux valeurs

dont la différence est

fiz')-fiz) = ^{z')~cfiz)+^iz')-^{z}.

Le polynôme entier 9(2) du degré n— \ étant une fonction continue de la variable z, on peut assigner un nombre p tel que, pour toutes les positions du point z' à l'intérieur du cercle décrit du point z comme centre avec un rayon égal à p, la variation (f[z') — 'jj)[z) du polynôme ait un module plus petit que ^- Mais les modules des restes ^[z')

et ^{z) sont déjà plus petits que 3-, donc la variation /(z') --f[z) aura

un module plus petit que a pour toutes ces positions du point z'; c'est en cela que consiste la continuité. Ainsi la fonction, définie par la série, varie d'une manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence.

52. Lemme. — Si Von prend les dérivées des différents termes de la série, on forme une nouvelle série convergente dans le même cercle que la première.

Soit la série

convergente dans le cercle de rayon R. Nous allons démontrer que la série

M, -f 2M22 + SWaZM- ••,

que l'on obtient en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente dans le même cercle. De l'origine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle, et donnons à z une valeur dont le module r soit plus petit que R'. Si l'on multiplie les termes de la série convergente

r „ r' respectivement par les nombres

qui tendent vers zéro, et qui par conséquent sont inférieurs à un nombre fixe B, on obtient une série convergente

«I +:?. «2/' + SasT' -f . . .

Ainsi la nouvelle série est convergente dans le même cercle que la

première; elle définit dans ce cercle une fonction continue et monotrope que nous désignerons par/' (z).

En prenant de même les dérivées des termes de cette seconde série, on obtiendra une troisième série convergente dans le même cercle R; elle définit une fonction continue et monotrope, que nous désignerons par/"(z), et ainsi de suite indéfiniment.

53. Théorème III. — La fonction définie par la série a une dérivée. Soit la série

convergente dans le cercle R. Du point z comme centre, décrivons un cercle tangent au cercle R; pour un point z-^h situé dans ce petit cercle, la série sera encore convergente, et l'on aura

(l) f{z -I- II) =://„ + M,(z -h II) -+- M,(2 -H A)* -+-....

Concevons que l'on développe les puissances successives du binôme z -h h, et que l'on dispose les termes en un tableau de la manière suivante :

M, 2 -f- tljl O -f- O -i- . . ,

^•) \ UiZ^ -T- lUtZll -+- Util- -+- O -i . . . ,

MjZ' -H ZUiZ^ll -\- SUjZll- -h U^ll^ 4 . . .

en complétant le tableau par des zéros. La somme des termes d'une même ligne horizontale constituant un terme de la série (i), la somme des termes contenus dans les m premières lignes horizontales est égale à la somme des m premiers termes de la série (i). Nous allons démontrer que, si l'on évalue le tableau par colonnes verticales, au lieu de l'évaluer par lignes horizontales, la série

(3 ) f„ + f, /î -+- vji^ -h V3I1" + . ,.

que l'on obtient et qui est ordonnée suivant les puissances croissantes de A, est convergente et a même somme que la série (i).

Désignons par r le module de z et par p celui de h-, puisque p est

plus petit que R - r et par suite r 4- p plus petit que R, la série

est convergente. Développons les puissances du binôme r-{- p et disposons les termes en un tableau analogue au précédent :

\ «iTH- rt,p H- o -1- o -\- . . . , ■

(2/ \ «jr'+sa^rp H- a^p^ -(- o -h---,

/ «3^' •+ SflaT'p 4- 3fl37-p' 4- «aP* 4 • • • •

Appelons S,„ la somme des m premiers termes de la série (i)', S la limite vers laquelle elle tend, quand m augmente indéfiniment. Les m premiers termes d'une colonne verticale quelconque du tableau (2)' appartenant aux m premières lignes horizontales, leur somme est plus petite que la somme des termes de ces m ])remières lignes horizontales, c'est-à-dire plus petite que S,„ et, par conséquent, plus petite que S; cette somme tend donc vers une limite, quand m augmente indéfiniment; ainsi chaque colonne verticale, prise à part, constitue une série convergente. Désignons par 60, btp, b^p^,... les sommes des diverses colonnes verticales, et considérons la série

(3)' 60+ 6,p4-ftîp'4- ..

Appelons S'„ la somme des n premiers termes de cette série. Généralisons le raisonnement que nous avons fait précédemment; les m premiers termes des n premières colonnes verticales appartiennent aux m premières lignes horizontales; leur somme est plus petite que la somme des termes de ces m premières lignes horizontales, c'est-à-diré plus petite que S^^j, si m est plus grand que n, et par conséquent plus petite que S. Si, laissant /liixe, on h\i augmenter m indéfiniment, on en conclut que cette somme tend vers une limite plus petite que S; mais cette limite est précisément S'„ ; la quantité S'„ est donc plus petite que S. D'autre part, cette quantité S'„ est plus grande que la somme des n premiers termes des n premières colonnes verticales, c'est-à-dire plus grande que S„. La somme S'„ , étant comprise entre S„ et S, tend

vers une limite égale à S, quand n augmente indéfiniment. Ainsi la série (3)' est convergente et a même somme que la série (i)'.

Revenons maintenant au tableau (2). Nous remarquons d'abord que les termes d'une même colonne verticale, ayant pour modules les termes correspondants du tableau (2)', forment une série convergente. Nous avons désigné par Vq^ v^h^ vJi^,.., les sommes des diverses colonnes verticales; ces quantités ayant des modules respectivement moindres que les termes de la série convergente ( 3) ', la série ( 3 ) est elle-même convergente. Appelons 2„ la somme des n premiers termes de la série (i), 2^ celle des n premiers termes de la série (3); la différence JS'„ — 2„ est égale à la somme des termes des n premières colonnes verticales du tableau (2), h partir de la /i -h i'^""" ligne horizontale; le module de cette différence est moindre que la somme des modules des termes, c'est-à-dire moindre que S'„ — S„; elle tend donc vers zéro, quand n augmente indéfiniment. La somme 2„ tendant vers la limite/(2 H- A), on en conclut que la somme 2;'„ tend vers la même limite. On a donc

On déduit de là

/iliA)=/(^J=/',„+/»(„^+ ...

Le second membre de cette égalité est une fonction continue de }i\ quand h est très-petit, il diffère très-peu de/'(z), et quand h tend vers zéro d'une manière quelconque, il tend vers /'(s). Ainsi le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable tend vers une même limite, de quelque manière que l'accroissement de la variable tende vers zéro, et par conséquent la fonction /(s) a une dérivée qui est représentée par la série/'(3).

De tout ce qui précède, on conclut qu'une série ordonnée suivant les puissances, entières, positives et croilfeantes d'une variable, définit une fonction holomorphe dans le cercle de convergence.