Remarque I. — La série

est divergente en chaque point de la circonférence du cercle de convergence. Cependant, si le point intérieur z s'approche d'un point de cette circonférence autre que le point ^ — i, la somme S, qui est égale

à — ^ — î tend vers une limite parfaitement déterminée.

Remarque IL — Supposons que la série Uq+ u^z + u^z^ ■^. . . soit convergente en un point z^ de la circonférence du cercle dé convergence, et appelons A la somme en ce point; Abel a fait voir que, lorsque le points se rapproche du point z^ suivant le rayon Oz^, la somme variable S tend vers une limite égale à A.

On peut représenter, en effet, les valeurs de z, pour les divers points du rayon Oz,, par la formule z = Çz,, Ç étant une quantité réelle qui varie de o à i. Si l'on représente en même temps par «„ le produit Unz\, on aura

S = «0 + «I îî -4- «sÇ* + . . . -t- «„£:" + . . et

A = rto -f- «, -f- rtj H- . . -f- «,, + ... .

Appelons a„ la somme des n 4- 1 premiers termes de cette dernière série, le terme a„ sera égal à a,, — cr„,, et l'on pourra exprimer la somme S de la manière suivante :