i-Ç)(<T„î;''+cr

= ( I - ^) ((7o + CT. Ç + . . . + <7„. Ç"-' )

e", s""^',... désignant les différences entre les sommes a^, o-„^, ... et A; nous représenterons le nombre positif f — Ç par |3. On 'peut supposer n assez grand pour que le plus grand des modules des quantités £„,

£„^,,... soit moindre qu'un nombre donné quelconque -; le module de

PROPRIÉTÉS DES SÉRIES. g7

sera alors moindre que-Ç", et par suite moindre que -• Le module de

(i-Ç)(cr.-:-a,Ç-- . -t- (t„. ?"- )

est plus petit que nj3M, M étant le plus grand des modules des sommes

(7o, (7,, . . ., Cn, (7„+,,. . . -, la somme

A(i-Ç.)(?"-f- ?«+'+. .) est égale à AÇ" ou à A(i — [i)". Considérons la différence

on a (i — |3)" >i — /ip, la quantité [i — (i — /S)"] est donc un nombre positif moindre que n^, et le module de A(i — jS)" — A est plus petit que n^X^, Ao désignant le module de A. Il résulte de ce qui précède que le module de la diflérence A — S est moindre que

et par conséquent moindre que a, pour toute valeur de ]3 plus petite que — -r — —ri^* Ainsi la somme variable S a pour limite A. La démonstration précédente est de Lejeune-Dirichlet.