CHAPITRE II

Les fonctions e^ , s i n z , co s 2 . 55. Considérons les séries

le rayon du cercle de convergence étant infini, ces 4rois séries définissent des fonctions holomorphes de z dans toute l'étendue du plan. On désigne ces trois fonctions par e", sinz, cos^, parce que, lorsque la variable z a une valeur réelle x, ces séries sont les développements de la fonction exponentielle e^ telle qu'on la définit en Algèbre, et des deux fonctions circulaires sina; et coso? telles qu'on les définit géométriquement. La fonction s'inz est impaire, la fonction cosz paire.

On obtient la dérivée de chacune de ces fonctions en prenant la dérivée de chaque terme de la série (n° 53), ce qui donne

De' — e', Dsin2=^cosz, D cosz ==— sinz.

Ces trois fonctions se ramènent à une seule d'entre elles; car si, dans la série (i), on remplace z par zi ou par — zi, on a

(4) e*' = cosz + f sin^,

(5) e-" = cosz —■ isinz;

d'où l'on déduit

(6) cosz~- — '■ 5

(7) sinz =

Les deux fonctions sinz et cos,z sont ramenées ainsi à la fonction exponentielle e^.

Il résulte aussi de la relation (4) que toute quantité imaginaire z " r{cosô -+- i s'inO) peut être mise sous la forme très-simple z -= rê\ r étant le module de cette quantité, 5 l'un de ses arguments.

56. La propriété fondamentale de la fonction exponentielle consiste dans la relation

Pour la démontrer, appelons 2"„, I'„ , V„ les sommes des n premiers termes des séries qui définissent les trois fonctions e', e*', e'*"^', savoir :

,» z-\-z' iz-^-z'Y (z-f-z')"-'

Désignons par r et r' les modules de z et de s', et appelons de même S„, S'„ , '$)"„ les sommes des n premiers termes des séries qui représentent les fonctions réelles <î^, e^' , e^^'', savoir :

Considérons, en outre, la somme des 2/1 — 1 premiers termes de la dernière série

Concevons que l'on ait effectué le produit des deux polynômes S^^ et S'„ , et que l'on ait développé les binômes dans les sommes S^ et S"„, ; nous remarquons que tous les termes de S'^ se trouvent dans le produit S« X S), , et que tous les termes de ce produit se trouvent dans S"„,; on a donc

S'^<S„xS'„<S'^„..;

mais, quand n augmente indéfiniment, les deux sommes S" , S"„__, tendent vers la même limite e'"*^''. Il en résulte que la différence S„ X S'„ — S", , qui est plus petite que S"„. — S'^ , a pour limite zéro. Concevons de même que l'on ait effectué le produit des deux sommes 2„ et l'„ et développé les binômes dans la somme 1"„; le produit contient tous les termes de !"„ avec d'autres quantités; les termes de la différence 2„ x 2'„ — il ayant pour modules les termes correspondants de la différence S„ x S'„ — S^ , on a

c'est-à-dire

mod(2„x2;-2:)<S„xS'„-S';,

lim. mod (2„ x 2',,— 2^) = o, lim(2„xr„) = lim2:,

57. La fonction e" est périodique. On a, en effet, d'après le théorème précédent,

(9) e»-+-2«i =-. gî N< ^21.' — e'( 005271 + isin27r) =e';

la période est 2ni.

En vertu des relations (6) et (7), les fonctions sin^ et cosz sont aussi périodiques; la période est 27:.

On a (le même

( 1 o ) «*-+-"■ --- e^ X e^' = e* (cosTT -!- is\mz)=^ — e*,

et par suite

(il) sin(z -I- 7r) = — sinz, cos(z -!- tt) = — cosz.

A l'aide des relations précédentes, on généralise aisément les relations

(12) sinf- — z j= cosz,

(i3) sin*z + cos'2=:: I,

(«4) sin(z -f- 2')= sin z cosz'-4- cos-s sinz',

(•5) cos(z -+- z') = cosz cosz'— sinz sinz',

qui ont été établies en Trigonométrie pour les arcs réels. On définit la fonction méromorphe tangz en posant

, /., sinz

(10) langz — ;

^ cosz

cette fonction est périodique, et admet la période û.

Les tables ordinaires de logarithmes de sinus et de cosinus permettent de calculer les valeurs des fonctions précédentes pour une valeur imaginaire x + jt attribuée à la variable z. On a d'abord

e'-*-^' r-r e'e^' —- «*( ces y -\- i %\x\y ) ;

c'est une quantité imaginaire ayant pour modulée^ et pour argument j. On a ensuite

cos(a: -^-yi) --- cos^c cos;r' — s\nx smyi = cos^ — 1 sin x,

Sin ( x + 71 ) -- sm X cosjï ■+- cosa: sm/i = sm a; + i cos^.

58. Voici comment on peut se représenter la périodicité de la fonction e*. Sur l'axe oy {fig. 34), portons de part et d'autre de l'origine des longueurs égales à in, et, par les points de division o, o,, Oj, . . ., o,, o 2,..., menons des droites parallèles dans une direction arbitraire,

autre que oy; ces parallèles diviseront le plan en bandes égales; aux points homologues m,, m.^, m^,..., m__, , m 2, .. de ces différentes

Fi{î. 34.

bandes, c'est-à-dire aux points représentés par la formule z -\- OLuni, n étant un nombre entier quelconque, la fonction reprend la même valeur.

Dans chaque bande, la fonction

e^ -■- e'{Qo^y -i- / sinj)

passe par toutes les valeurs possibles, et une fois seulement par chacune d'elles; car son module e^ varie de zéro à l'infini, et, quand x reste constant, son argument j varie de jo àyo-+- 271. Quand la variables s'éloigne indéfiniment dans une bande du côté des x positifs ou du côté opposé, le module de la fonction devient infini ou tend vers zéro. Pour figurer la périodicité des fonctions cosz et sinz, on portera sur l'axe ox des longueurs égales à 271, et par les points de division on mènera des droites parallèles dans une direction arbitraire autre que ox. Dans chaque bande, les fonctions passent par toutes les valeurs possibles et deux fois par chacune d'elles. Si l'on veut en efi'et que la fonction cosz ait une valeur donnée m, on posera

d'où

é^" — 2 Me*' H- I e" = uzti y/w^ -

f,ixi

2 iue iudz

dans chaque bande, il existe une valeur de z et une seule pour laquelle la fonction e" admet la valeur u -+- sjiï^ — i , et une autre valeur de z pour laquelle elle admet la valeur u — sju^ — i ; en ces deux points, et en ces deux points seulement, la fonction cosc acquiert la valeur u. Puisque cos(27t — s) = cos:;, les deux valeurs de z qui, dans chaque bande, correspondent à une même valeur de u, ont, abstraction faite des multiples de a;:, une eomme constante et égale à in.

De même, si l'on veut que la fonction sins ait une valeur donnée u, on posera

d'où

ce qui conduit à la même conclusion. En vertu de la relation

sin(- — ; ' sinz,

les deux valeurs de z qui, dans chaque bande, correspondent à une même valeur de m, ont. abstraction faite des multiples de 2::, une somme constante et égale à r.. Quand la variable z s'éloigne indéfiniment dans une bande, d'un côté ou de l'autre, les modules des fonctions sins et cos^ deviennent infinis.

Pour figurer la périodicité de la fonction tangs, on portera sur l'axe ox des longueurs égales à n, et par les points de division on mènera des parallèles dans une direction arbitraire autre que ox. Dans chaque bande, la fonction passe par toutes les valeurs possibles, et une fois seulement pour chacune d'elles. Car, de la relation

on déduit