I -f- ui

I — ui

dans chaque bande la fonction e-^' ne passant qu'une fois par la valeur ^ .-> la fonction tang:; ne passe qu'une fois par la valeur u. La

fonction tangz devient nulle aux points z = mi, infinie aux points

z = - -j nn: il y a une racine et un pôle dans chaque bande. Quand la

variable z s'éloigne indéfiniment dans une bande, du côté des j positifs ou du côté opposé, la fonction u tend vers + i ou vers — L

59. Pour étudier la variation d'une fonction, quand la variable z est très-grande, on pose z = - et l'on donne à z' des valeurs* voisines de zéro (n^ 17). Si l'on fait z' = x' h y'i — r' e^'\ on a

I cosB' isinô'

e' .— e^' rrrr e '■' e '■' . .

Lorsque la nouvelle variable z' se rapproche du point 2' = o, le module de la fonction devient nul, infini ou égal à l'unité, suivant que cos^' a une valeur négative, positive, ou nulle; l'argument augmente à l'infini en valeur absolue, excepté quand la valeur de sin^' est nulle. Le point z' =. o est un point singulier d'une espèce particulière; la fonction e^, quoique monotrope dans le voisinage, acquiert en ce point des valeurs différentes, suivant le chemin suivi pour y arriver. Nous dirons que ce point est un point A' indétermination. Ainsi la fonction e* est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', qui est un point d'indétermination.

On a de même

(slnC i CO8 0' gin 6' i cos V \

/■ sInO' icos ' sin6' icos6'\

sInO' ICOS ' sin

sin

Lorsque la variable z' se rapproche du point ^' = o, le module de cosz et celui de sin^ deviennent infinis, excepté quand sin5' a une valeur nulle; dans ce cas, on a

cosz -^ cos -, ? Sin2=:Sm-7 5

et la valeur de la fonction, comprise entre — i et -h i, est indéterminée. Le point 0' est encore un point d'indétermination. Ainsi les

fonctions cosz et sinz sont holomorphes sur toute la sphère, excepté au point 0', qui est un point d'indétermination.

Lorsque la variable z' se rapproche du point z' — o, la fonction tangz tend vers la valeur — î ou -f i, suivant que la valeur desinS' est positive ou négative. Quand sin$' = o, la fonction tang — est indéterminée.

Ainsi la fonction tang^ est méromorphe sur toute la sphère, excepté au point 0' qui est un point d'indétermination; elle admet d'ailleurs une infinité de pôles.

La fonction logz.

60. Nous avons défini la fonction exponentielle et les fonctions circulaires directes; occupons-nous maintenant des fonctions inverses. Considérons d'abord l'équation

e"^ z, dans laquelle u est l'inconnue. Si l'on pose

cette équation devient

elle sera vérifiée si l'on fait

e'' = r, Y -- 0 -h 2 /ITT ,

n étant un nombre entier quelconque, et par ces valeurs seulement. La quantité réelle X est le logarithme népérien du nombre positif r\ en le désignant par Lr, on a

M = LrH-(6 4- a/iTr)/.

Ainsi à une valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u formant une progression arithmétique dont la raison est ^ni. Chacune de ces valeurs est un logarithme de z; on a donc

(17)- I0g2 = Lr -+-(0 4-2/171)/.

Supposons que Ton fasse partir la variable z du point 2 = 1, en attri-

buant k l'argument Ô la valeur initiale ^ = o, et que Ton adopte la détermination

(i8) u=logz~Lr + 6i;

si le point z se meut d'une manière continue dans le plan, sans passer par le point z = o, r et ô variant d'une manière continue, nous aurons une fonction parlant de la valeur initiale w = o et variant d'une manière continue.

La fonction devient infinie au point 2 = 0. Lorsque la variable z décrit un cercle autour de ce point, dans le sens positif, son argument Ô augmente de 2 7t, et la fonction augmente de 21:1; ainsi, quand la variable z fait une infinité de révolutions autour du point z = o, la fonction logz acquiert une infinité de valeurs difl'érentes, qui sont données par la formule (17). Le point z = o est ici un point critique différent de ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des fonctions algébriques; nous l'appellerons /?om? m^i^we logarithmique.

Quelle que soit la détermination que l'on prenne, la fonction logz admet une dérivée; car, si l'on considère la fonction directe z == e", on

A2 sait que le rapport ^ tend vers une limite égale à e"; le rapport inverse tend donc vers une limite égale à -7. c'est-à-dire à -• On conclut

de là que logs est une fonction bolomorphe de z dans toute partie du plan ne comprenant pas le point critique z = o. Nous remarquons en outre que la dérivée est la môme pour toutes les déterminations de la fonction.

Si l'on pose s — -y» on a

M— —logz',

et le point z' = o est un point critique de même nature que le précédent. Sur la sphère, la fonction logz admet donc les deux points critiques logarithmiques 0 et 0'.

Ce que nous avons dit de la fonction logz s'applique à la fonction log(z — a). Le premier point critique est ici z = a. La quantité z — a étant figurée par le point z, quand on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point a, à chaque tour décrit par le point z au-

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CmCULAIRES. 97

tour du point a dans le sens positif, la fonction augmente de :i.ni. Sur la sphère, le point 0' est aussi un point critique.

De la relation e" x e"' = e"^"', on déduit la propriété fondamentale des logarithmes

l0g(Z2') = l0gZ -hlOgz'.

La fonction arc tangz.