Considérons de même l'équation

tangM=:z,

dans laquelle u est l'inconnue. D'après une transformation déjà faite (n^'ôS), on a

d'où

I , I -+- zz

M — — . lOg :

Il ° l — Zl

A chaque valeur de z correspondent une infinité de valeurs du logarithme et par conséquent une infinité de valeurs de u. Chacune de ces valeurs est une détermination de la fonction inverse arctangz; on a donc

, I , T -4- z/ iq) a=:arclangz := — . log :•

Pour voir quelle loi suivent ces diverses valeurs, nous mettrons l'expression précédente sous la forme

" ^"' h \}^^^~ ' ' "^ ^^^ V^i\ "^ 2 "^ ^ t'og( ^ - 0 - log(2 + 1) ] .

II y a ici deux points critiques logarithmiques ^ = + i, 2 = — ?; quand la variable z décrit un petit cercle autour du premier point critique ou autour du second, dans le sens positif, log(2 — i) ou log(z + i) augmente de ^nij et par conséquent u éprouve une variation égale à -}- tt

OU à — n. Les valeurs de u qui correspondent à une même valeur de z forment donc une progression arithmétique dont la raison est tt. Sur la sphère,i le point 0' est un point ordinaire.

Supposons que, la variable z partant de ^ = o, on adopte dans l'expression (19) le logarithme dont la valeur initiale est zéro, on aura une fonction arctang^ ayant pour valeur initiale zéro, et holomorphe sur toute partie de la sphère qui ne comprend aucun des deux points critiques z ^=±1 i.

Les fonctions arcsins, arccos^.

62. On définira d'une manière analogue les deux fonctions arcsinz,

arccos2. Soit l'équation

sinM = z,

d'où l'on déduit (n° 58)

uz:^ -\Qg{izd:z)Ji — z'^).

Nous prendrons l'expression

(20) M — arcsinz — - log(/2 -1- v'» — 2^)»

en adoptant le logarithme dont la valeur initiale est zéro. Cette fonction ne devient infinie pour aucune valeur finie de z, car la quantité iz H- Vi — z^ ne s'annule pas; mais il y a deux points critiques a et a' (Jig. 35), qui correspondent aux valeurs s = :r: i, et autour de chacun desquels le radical change de signe.

Fig. 35.

Vsi/

Pour voir comment la fonction se comporte autour du pointa, supposons que la variable z aille de l'origine à un point z^ voisin de a, en suivant la droite 0^; on a, dans ce cas, 2 — ,r; la quantité ix -\- \] i ~~ x'^

FONCTlOiNS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES. 99

a pour module l'unité et pour artçument un angle 6 satisfaisant aux relations s'inO =œ, cosO = \/i — x^ , et s'annulant avec a;; on en conclut u= $ (n° 60), et, par conséquent, quand x varie de o à i , w croît

de o à -• Lorsque la variable z tourne autour du point a, le radical change de signe, et la fonction devient

M= - log(i2 — v'i —2*),

ce second logarithme, comme le premier, ayant en s, une valeur voisine de — > puisque la fonction est continue dans le voisinage du point a. Mais cette expression peut se mettre sous la forme

(ai) M = j Iog(- 0 - 7 log(''2 + V'» — 2') =i: — j \og{iz 4- v/iT— z»),

ce dernier logarithme ayant aussi en z, une valeur voisine de — » et

par conséquent étant égal à celui de la formule (20). Si la variable z revient ensuite à l'origine en suivant la droite Ox, la fonction u croît

de - à 7r. Ainsi, quand la variable z décrit le lacet (a), la fonction varie

de o à ;r, et elle est représentée ensuite par la formule (21), dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Si la variable z faisait deux tours autour du point a, le radical changeant deux fois de signe, la fonction reprendrait en z, sa valeur primitive, et l'on reviendrait à l'origine avec la valeur initiale u = o.

Supposons que la variable z aille de l'origine à un point z\ voisin de a', en suivant la droite Oa'; comme on a toujours u — 6, u variera de o

à — -. La variable tournant autour du point a\ le radical change de

signe et la fonction devient

«= j^og{iz -sji — z^),

ce logarithme, comme le premier, ayant en z\ une valeur voisine de — — • Mais cette expression peut se mettre sous la forme

(22) ' M =^— TT — - l0g(f2 H- V'i 2'),

ce dernier logarithme ayant aussi en z\ une valeur voisine de ?

et par conséquent étant égal au premier. La variable revenant à l'origine, u varie de à — ;:, et elle est représentée ensuite par la formule ( 22), dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Supposons maintenant que la variable z décrive successivement les deux lacets {a) et {a'); après le premier lacet, la fonction a acquis la valeur 7r; les formules (21) et (22) montrent que, sur le second lacet, la fonction varie de rr à 27: et est représentée ensuite par la formule

(23) a = 27r -I- - log(iz ~|- y/J — -5'),

dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro.

Si la variable avait décrit d'abord le lacet {a'), puis le lacet (a), la fonction aurait varié de o à — tî et de — tt à —27:, et serait ensuite représentée par la formule

(24) M = — 27r + - log(/z -I- Vï — 2')>

dans laquelle le logarithme a encore à l'origine la valeur zéro.

Cela posé, tous les chemins qui vont de l'origine à un point z du plan peuvent se ramener à un chemin déterminé, ou à ce chemin précédé d'une série de lacets (a) et («'). Appelons w, la valeur qu'acquiert la fonction au point z, quand la variable suit le chemin déterminé. Puisque le même lacet, parcouru deux fois successivement, ne produit aucun changement dans la fonction, on peut en faire abstraction; la série sera formée alors de lacets alternatifs {a) et {a'). Si leur nombre est pair, la valeur de la fonction, après l'ensemble des lacets, est 2n7ï, n étant un nombre entier positif ou négatif, et la fonction est représentée alors par la formule

(25) M :==2n7r + -log(jz + \/i — z*),

dans laquelle le logarithme a à l'origine la valeur zéro; la variable décrivant ensuite le chemin déterminé Oz, on a ?< = 2/i;r + ?/,, Si le nombre des lacets est impair, après l'avant- dernier lacet, la fonction

est représentée par la formule (25); un nouveau lacet donne

(26) u = 2m:±n: — ^ \og {iz -h \/ 1 — z*),

le logarithme s'annulant à l'origine; la variable décrivant ensuite le chemin déterminé Oz, on a m = 2m: dz n — m,. Il résulte de là qu'à chaque valeur de z correspondent les deux séries de valeurs de la fonction : 2n7:-h m,, (2/1 4- i);: — M|.

Remarquons que, par rapport à l'une quelconque des déterminations de la fonction u = arcsin^, chacun des points a et a' est un point critique algébrique, puisque, lorsque la variable tourne autour de l'un d'eux, la fonction n'acquiert que deux valeurs différentes, qui deviennent égales en ce point. Les valeurs en nombre infini de la fonction proviennent de la combinaison des lacets relatifs aux deux points critiques.

Si l'on pose z z=i ~, on a

u= . [log/ -f log (n- v'i — 2") — logz'j .

Le point z' = o, c'est-à-dire le point O'sur la sphère, est donc un point critique logarithmique. Concevons que l'on trace sur la sphère un lacet qui, partant du point 0, enveloppe le point 0'; quand la variable décrit ce lacet, la fonction éprouve une variation égale à ±: 27r; mais ce lacet (0') peut être ramené à la suite des deux lacets {a) et {a'), pris dans un certain ordre. Ceci fait voir immédiatement que la suite de ces deux lacets doit produire une variation de la fonction égale à ± 271. De même, si l'on considère l'équation cosw = z, d'où

e^' = z±^z'— I, M= -log(z±:v^z'— i),

on aura

(27) u — arccosz = -log(fz zty'i — z'),

c'est-à-dire arccosz = arcsinz.

' La fonction z^.

63. Nous avons défini la fonction z"", lorsque l'exposant a est réel (n'' 14). Lorsque l'exposant est imaginaire, on définira la fonction de la manière suivante ; puisque z — e^°^^, on posera

28) a =:=: 2° = Cl^Si».

Quand la variable z décrit une courbe fermée comprenant l'origine, la fonction u est multipliée par le facteur constant e^^«'; ainsi la fonction acquiert en chaque point une infinité de valeurs en progression géométrique, et le point s — o est un point critique d'une nouvelle espèce. Soient a = a + |3i, z~ rê\ on a

u = g(aLr — {!«) -+-(fiLr + oO)i

Si la variable z se rapproche de l'origine en décrivant une courbe ayant en ce point une tangente définie par l'argument B^, l'argument de la fonction augmente à l'infini en valeur absolue, et le point u décrit autour du point m = o une spirale composée d'un nombre infini de circonvolutions. Quand le nombre a est positif, le module de la fonction tendant vers zéro, la spirale décrite par le point u se rapproche indéfiniment du point m = o; elle s'en éloigne, au contraire, indéfiniment quand a est négatif, et elle se rapproche d'une circonférence de

rayon e'^^^ lorsque a est nul. En faisant ^ = -7? on verra que le point 0'

sur la sphère est un point critique de même espèce que le point 0; seulement, quand la spirale relative au point 0 est infiniment petite, celle relative au point 0' est infiniment grande, et réciproquement.

Sinus et cosinus hyperboliques.