On désigne sous ce nom les fonctions réelles
a première impaire, la seconde paire, et qui satisfont à la relation
cosh'^ — sLnh'^ = i .
Voici d'où viennent ces dénominations : le sinus et le cosinus ordinaires sont les longueurs MP et OP {fig. 36), la variable x désignant
Fi{r. 36.
l'arc AM dans le cercle dont le rayon est égal à i , ou le double de l'aire du secteur AOM. Il est facile de voir que, si au cercle on substitue une hyperbole équilatère ayant son demi-axe transverse OA [fig. 37) égal
Fig. 37.
à l'unité, et si Ton appelle x le double de l'aire du secteur AOM, les longueurs MP etOP représentent le sinus et le cosinus hyperboliques. Ces deux fonctions jouissent des propriétés fondamentales
sinh(a-h 6) — sinha cosh6 H- sinh6 cosha, cosh(a4- b) --coshacoshô -+- sinhacosh6.
On a construit des tables de ces fonctions; elles servent à trouver les valeurs de sinz et de coss, lorsque z est imaginaire; car on a (n** 56)
cosyi = cosh j, sxnyi z=z i sinhj, cos[x -¥ yi) — cos:c cosh> — i sinar sinhr, sin(x -1- //) -— sinx coshj-i- /cosjrsinhjr.
65. Remarque. — La fonction u — cosz donne naissance à un système
de lignes orthogonales bien connu. Si l'on pose z = x-i-yi, M = X-f-Yi, on a *
d'où
X = oosa: coshj, Y = — sinar sinhj.
En éliminant successivement x et j, on obtient les courbes
Xî Y'
cosh'j sinh^'j
cos'o^- sin'j;
qui correspondent, les premières aux droites parallèles à l'axe des x, les secondes aux droites parallèles à l'axe des j; ce sont des ellipses et des hyperboles homofocales.
La fonction u = tangz donne naissance à un autre système de lignes orthogonales. On a, en effet, dans ce cas,
^ sin2.r sinh2>^
cos^ar + coshaj* cessa: -h coshaj
En éliminant successivement/ et x^ on obtient les deux séries de lignes
orthogonales
X» f- Y» -f- 2X coiix — i = 0,
X^ 1- Y= — 2 Y coih 2 j 4- 1 = o.
Les premières sont des cercles passant par deux points fixes, les secondes des cercles ayant pour axe radical commun la perpendiculaire à la droite qui joint les deux points fixes en son milieu. Chacun de ces seconds cercles est le lieu du point dont le rapport des distances aux deux points fixes est constant et égal à une quantité dépendant de la valeur de r.
LA FONCTION e. |05
