ZI
direction des axes, le même point représentera, par rapport à ces différents systèmes d'axes, les binômes ^ — a,, s — ao, . . . , z — a«.
•Il
Posons
on a
z — at = r,{ cos 0, + i sin 9, ) , z — ai= /•j(cos0,,4- / sinôj),
2 — a„=: r„( cos 9„ + i sin d„ ) ;
« = f /'i rj . . . r„}M cos — \- 1 sin
Lorsque le point z décrit une courbe fermée ne comprenant aucun des points a,, «a» • • • » ««» les arguments 0,, Q^,. .., 0„ reprennent leurs valeurs primitives, et par conséquent la fonction u revient à la même valeur. On en conclut que la fonction est monotrope dans toute partie du plan ne comprenant aucun des points «,, aa, . . . , ««, que nous appellerons points critiques.
13. Supposons maintenant que le points décrive une courbe fermée comprenant un point critique a, {Jig. 6), dans un sens tel (pour la disposition adoptée des axes) qu'un observateur, en décrivant le contour, ait constamment à sa gauche l'aire enveloppée par la courbe, et doréna-
Fig. 6.
Fig. 7.
vaut nous appellerons le sens de ce mousemont sens positif; les arguments ôo, ^3, . . . , 0„ reprennent leurs valeurs primitives, mais 9f augmente de 27r; l'argument de u augmente donc de rr, et par conséquent la fonction change de signe.
Considérons deux chemins ^o^z, z^bz [fig. 7), allant du point ^o ^u point z et comprenant un seul point critique a^. Soit Uq la valeur ini-
DÉHNiriONS. 13
tiale de la fonction au point z^, m la valeur que l'on obtient au points:, W
quand on suit le chemin Zç^az-, si l'on continue suivant zbz^^ d'après ce que nous venons de dire, la fonction change de signe et acquiert en Zq la valeur — Uq. En rétrogradant suivant ^o hz avec la valeur initiale — Wo, la fonction repasse par les mêmes valeurs et reprend en z la valeur u obtenue précédemment. Si maintenant l'on décrit le chemin jZo bz avec la valeur initiale -+- Mq, le signe du radical étant changé, la fonction acquiert en z la valeur — u. Ainsi, les deux chemins z^az, ZqBz, décrits avec la même valeur initiale Wo, conduisent au points à deux valeurs de la fonction égales et de signes contraires, et par conséquent la fonction cesse d'être monotrope.
