PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES INTÉGRALES DÉFINIES

78. La considération des intégrales définies, quand la variable passe par une suite de valeurs imaginaires, est due àCaucliy [Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, i825. — Comptes rendus de V Académie des Sciences, i8/|6). Elle marque l'un des plus grands progrès de l'Analyse mathématique; elle constitue, comme nous le verrons, une méthode fécond(^ pour l'étude des propriétés des fonctions.

Théorème \. — Soit f[z) une fonction continue, quand la variable z décrit une certaine courbe So Z [fig. 42) ; si V on prend sur la courbe des points intermédiaires z^, z^, . . . , Z/,i , la somme

tend vers une limite déterminée, quand on augmente indéfiniment le nombre des points de division, de manière que chacun des arcs tende vers zéro.

Le point z z^ x -\- yi décrivant. la courbe z^Zy on peut regarder x et y comme des fonctions continues 9, [t), 92 (^) d'une variable réelle t croissant de t^ à T; de cette manière, la variable imaginaire z est une fonction de la variable réelle t,

124 LIVRE m. — CHAPITRE I.

Nous supposerons que chacune des fonctions réelles 9, {t), a^^W admet une dérivée. Pour fixer les idées, on pourra prendre pour variable réelle

Fig. 42.

auxiliaire t la longueur de l'arc de courbe comptée à partir du point z^; les dérivées (i^\(t), (f\[t) désigneront alors les cosinus des angles que la tangente à la courbe fait avec les axes Ox et O7. Appelons /,, ^2»---) in-i les valeurs de t qui correspondent aux différents points de division marqués sur la courbe. Les fonctions (^i(t), 92(0 ^y^nt des dérivées, on a

s'y et êq tendant vers zéro en même temps que /, — /o- On en déduit

Zi— 2o = ©il^i) — cp, (/»)-+- /[Cp2(f,) — 9,(/„)]

So étant une quantité imaginaire, qui tend vers zéro avec /, — t^. On a de même

2,— 2, = (fj— /,)[cp'(^,) -f £,],

lesr quantités s,, . . . , £„, tendant respectivement vers zéro avec les différences ?2— ^, . • • , ï — tn-i. La somme (i) devient ainsi

Nous remarquons d'abord que la seconde partie a pour limite zéro; car, si l'on appelle M le maximum du module de la fonction f(z) sur la courbe z^Z, et s le plus grand module des quantités £„» ^n • • ' S/,„,, le

LES INTÉGRALES DÉFINIES. lir.

module de celte parenthèse est moindre que M£(T— to). Quant à la première partie, si l'on pose

elle se décompose en deux

l'une réelle, l'autre imaginaire, et les deux sommes placées entre parenthèses ont respectivement pour limites les intégrales définies réelles

f W)dt. f xindt.

*/t, Jt,

La somme (i) tend donc vers la limite

J ^{t)dt-hij x{t)dl;

cette limite est ce qu'on appelle l'intégrale définie

rf{z)dz,

prise le long de la courbe ^oZ.