Corollaire 1. — D'après ce que nous venons de dire, on a
(2) fy{z)fh = f [^{t)-hixin]dt= f f{z)Y{ndt.
Corollaire 11. — Si l'on appelle Cq, c,, ..., c„, les longueurs des cordes qui sous-tendent les arcs SoS,, z^ z^,. . ., z,,, Z, et l la longueur de la courbe z^Z, le module de la somme (i) est plus petit que
M (c, -4- c, -4- c, -f- . . . +- c„., ) < M/; on a donc
(3) mod. fy{z}dz<Ml.
80. Théorème II. — Si l'on change de variable en posant z = 9(2'),
on a
r f{z)dz= f f{z)^'{z')dz'.
On suppose que la fonction (sf[z') est continue quand la variable z' décrit une certaine courbe s^Z', et que, de plus, elle admet une dérivée <p'(2'); la variable z décrit une courbe correspondante ^oZ; les intégrales définies sont prises suivant ces deux courbes. On a
z, - Z„ r-r {z\ - Z\ ) \i [z\ ) -I- Eo]*, Z,— Z, = (Z', — 2', )[9'(z', )-H El],
= [/(zo)(p'(z; )(z; - z; )+/(z.)9'(-3; IC^; - 2'. )+...+/(z„,) v'K-.)(Z'- <-,1
Si, comme précédemment, on appelle M le maximum du module de/(2), e le plus grand module des quantités So. Si» • . • , £«,; si l'on désigne par Co, Co • • • . Cn-\ les cordes qui sous-tendent les arcs z'^z\ , z\ z'^ , . . . , z^,Z', et par /' la longueur de la courbe z'^^Z', le module de la seconde partie est moindre que
Me(Co+ c, -<-... + c„,)< Me/';
cette seconde partie tend donc vers zéro; on en conclut que les deux intégrales sont égales.
Corollaire. — Si, lorsque la variable z décrit la courbe z^ Z, la/onction F(z) est continue et admet pour dérivée /[z), on a
f /(z)rfz^F(Z)-F(z„),
l'intégrale étant prise le long de cette courbe.
Posons u = F(2); quand la variable z décrit la courbe ZoZ, la va-
Fiable u décrit une courbe correspondante u^ U, et, en vertu du tbéorème précédent, on a
c/u= Y'{z)dz= f{z)dz.
Si Ton désigne par m,, Wj, . . . , w„, une série de points intermédiaires sur la courbe Mq U, la première intégrale est la limite de la somme
mais cette somme est égale à U — Mo; on en conclut que l'intégrale définie est égale à U — Mo, c'est-à-dire à F(Z) — F(zo).
81. Théorème III. — Si la /onction /{z) peut se développer en une série
/( 2 ) = M, + M, H- Mj -4- . . . ,
dont tous les termes soient des fonctions continues de z quand cette variable décrit la courbe Zq Z , convergente en tous les points de cette courbe, et telle que Von puisse prendre n assez grand pour que, en chacun de ces points, le module de la somme
Un -1- M„-n -+-...
soit moindre quun nombre donné a, on a
f(z)dz~ 1 u^dz -\- j u,dz
toutes les intégrales étant prises le long de la courbe Zo Z.
Désignons en effet par S„ la somme des n premiers termes de la dernière série, par (p(z) la somme w„-h u„+^ + . . . , et par /la longueur de
la courbe, on a
1 /(z)ûfz = S„4- / <^{z)dz;
le module de (p(z) étant moindre que a, le module de la dernière intégrale est moindre que a/; la somme S„ tend donc vers une limite égale à la première intégrale, quand n augmente indéfiniment.
