Théorème IV. — Lorsqu'une fonction

est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, V intégrale définie

jf{^)dz.

relative à une courbe fermée quelconque située dans cette partie du plan, est nulle.

Nous entendons par ces mots — une partie du plan — une aire continue^ c'est-à-dire telle que l'on puisse aller d'un point à un autre sans sortir de l'aire. Si l'aire est limitée par une ligne fermée continue, nous dirons qu'elle est à contour simple; si elle est limitée par plusieurs lignes distinctes, nous dirons qu'elle est à contour complexe. Par exemple, l'aire d'un cercle esta contour simple; l'aire comprise entre deux circonférences concentriques est à contour complexe.

On peut toujours, à l'aide de transversales ou de coupures, transformer un contour complexe en un contour simple.

Dans le cas précédent, concevons que l'on fasse une coupure allant de l'une des deux circonférences à l'autre [fig. 43); les deux bords de la coupure sont deux lignes infiniment voisines ab, a'b'\ l'aire de la couronne est limitée par la ligne fermée continue abcb'a'c'a, et l'on a

Fig. /|3.

Fig. 4/,.

ainsi un contour simple. Considérons de même l'aire que l'on obtient en enlevant d'un cercle deux petits cercles intérieurs (fig. 44)> aire limitée par trois courbes distinctes; à l'aide de deux coupures, telles

que ab, a! h' eide, d'e\ on forme un contour simple abcdefed'gb'a'ha enveloppant l'aire.

Les théorèmes des n°' 20, 21, 22 s'appliquent à une aire limitée par une ligne fermée continue, et l'on suppose que cette ligne est décrite dans le sens positif, c'esf-à-dire dans un sens tel, qu'un observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée. Dans les figures précédentes, les flèches indiquent le sens du mouvement.

Désignons d'une manière générale par C le contour simple qui enveloppe l'aire dans laquelle la fonction f(z) est holomorphe; quand la variable z se meut dans cette partie du plan, le point mobile est astreint à ne pas franchir le contour et, par conséquent, à ne traverser aucune des coupures, s'il y en a; toutes les lignes que nous tracerons par la suite seront assujetties à la même condition. Considérons d'abord une courbe fermée A,, telle qu'aucun des rayons vecteurs qui joignent un point fixe 0 (correspondant à s = Zo)aux différents points de la courbe ne rencontre le contour (Jig» 45). Pour simplifier, nous remplacerons z

Fig. 45.

par Zq -t- s, afin que le point 0 soit l'origine de la nouvelle variables, et nous représenterons encore par f[z) la fonction proposée.

Nous désignerons spécialement par z^ la valeur de la variable z, quand elle décrit la courbe A,, et nous prendrons pour variable réelle auxiliaire / l'arc de la courbe A,, compté à partir d'un point fixe a, cette variable croissant de zéro à la longueur / de la courbe. On a alors

Zy — (^.{t) H- I<pî(/) = Ç(/),

130 LIVRE m. - CHAPITRE I.

et l'intégrale relative à la courbe fermée A, est (79

A,= Cf{Z,)dz,z:=: C f{Z,)o'{l)dt.

La formule ^

dans laquelle a est un nombre réel et positif variant de zéro à l'unité, peut servir à représenter tous les points de l'aire décrite par le rayon vecteur Oz,. Quand, t restant constant, a croît de o à i, le point z décrit la droite Oz,. Quand, au contraire, a restant constant, t croît de o à /, le point z décrit une courbe A homothétique à A, par rapport au centre d'homothétie 0. L'intégrale relative à cette courbe A est

A=.Jf{z)dz = ocJ f{z}Y{t)dt.

Si l'on attribue à a une valeur voisine a' = « + Aa, le point mobile, que nous désignerons ici par z\ et qui est défini par la formule

2' = a'(p(/) = (a + Aa)cp(0,

décrit une courbe A' voisine de A, et l'intégrale relative à cette courbe A' est

A'= ff{z')dz'=ioc-^Aoc)f f{z')^'{t}dt.

On en déduit

A'-\=f \u[f(z')-f(z)]+f{z')^oc\^'{t)dt.

Les deux points z et z', qui appartiennent aux courbes A et A' et qui correspondent à une même valeur de t, sont situés sur un même rayon 0^, et sont très-voisins l'un de l'autre; car on a z' — ^ = Aaç?(i). La fonction /(2) n'ayant qu'une valeur en cbaque point et variant d'une manière continue, la différence /(^'j —f{z) est très-petite et s'annule avec Aa; on en conclut que la différence A' — A est elle-même trèspetite et s'annule avec Aa. Ainsi l'intégrale relative à la courbe A est une fonction continue de a; nous la désignerons par ^[a). Cherchons le rapport de l'accroissement de cette fonction à celui de

LES INTÉ&RALES DÉFINIES. iM

la variable, savoir

Considérons d'abord le rapport

Aa z' — z A

oc

La fonction /(z), étant holomorphe, admet une dérivée /'(z), c'est-à-

dire que le rapport -^^ ;-'^ - tend vers une même limite/'(2), quand

le point z' se rapproche du point z d'une manière quelconque; on a

donc

£ tendant vers zéro avec Aa. De la relation z' — z = AoL(p{t), on déduit

Aa On a ainsi

oc^!^=^'t^=cc<f{t)[f{z)•^-e]=z[f'{z)-^e].

Comme on a, d'autre part,

e' tendant aussi vers zéro avec Aa, on obtient l'expression

^fi^^zfi^^f^z')==[zf{z)+f[z)] + {zs + e:) = F'{z)-^e'\