L\OC
en représentant par F(z) la fonction holomorphe z/(z), et posant
e"= zs. + e', et l'on a
(5) ^^^=j\F{z) + t"]cf'it)dL
Quand le point z décrit la courbe fermée A, le point u = Y{z) décrit une courbe fermée correspondante; l'intégrale fdu, relative à cette dernière courbe, étant égale à la différence des valeurs de u aux deux
limites, est nulle; mais cette intégrale, d'après le théorème II, est égale à l'intégrale JY' (z)dz relative à la courbe A, c'est-à-dire à
a / F'(z)9'(/) dt\ cette dernière intégrale est donc nulle et l'équa-
tion (5) se réduit à
Kl A ni
Si maintenant on fait tendre Aa vers zéro, il est clair que le second membre tend aussi vers zéro. Ainsi la fonction <f (a) de la variable réelle a admet une dérivée 4'' W ^t cette dérivée est nulle.
La dérivée ^'(ca) étant nulle, quand a varie de zéro à l'unité, on en conclut que la fonction ^(on) est constante; mais, pour une valeur trèspetite de a, cette fonction
4>(a) = « f{z)c^'{t]dt
a une valeur très-petite, et elle devient nulle pour a = o; ainsi la fonction (j>(a) est nulle et, par conséquent, l'intégrale proposée, prise le long de la courbe A, , qui correspond à a = i , est nulle.
Supposons maintenant qu'il soit impossible de trouver un point 0 tel qu'aucun des rayons vecteurs 0^, ne rencontre le contour de l'aire. Lorsque la courbe fermée A, ne se coupe pas elle-même, elle enveloppe une portion de l'aire proposée, et l'on peut, à l'aide de transversales, décomposer cette portion d'aire en plusieurs parties limitées par des courbes jouissant de la propriété énoncée. L'intégrale relative à chacune d'elles étant nulle, leur somme est nulle; mais, si toutes les courbes sont décrites dans le sens positif, chaque transversale, étant parcourue deux fois dans des sens contraires, donne dans la somme des intégrales des quantités égales et de signes contraires, et il reste l'intégrale relative à la courbe A<.
Considérons actuellement une courbe fermée A, se coupant ellemême en n points, que nous appellerons des nœuds. Lorsque, partant d'un nœud «, on décrit la courbe A, dans le sens convenu, on revient à ce nœud avant d'avoir décrit la courbe entière, et l'on peut regarder cette courbe comme la réunion de deux courbes fermées offrant chacune moins de n nœuds, puisque le point a n'est plus un nœud sur ces
dernières. En continuant de la sorte, on décomposera la courbe proposée en une suite de courbes fermées dépourvues de nœuds; l'intégrale relative à chacune d'elles étant nulle, l'intégrale totale est nulle.
Remarque. — Lorsque, en un point quelconque du contour G et aux points intérieurs infiniment voisins, les valeurs de la fonction /(z) diffèrent infiniment peu les unes des autres, on peut appliquer au contour lui-même le théorème précédent; car, dans ce cas, l'intégrale relative à la courbe G diffère infiniment peu de celle relative à une courbe intérieure x\, infiniment voisine; cette dernière étant nulle, la première l'est aussi.
83. GoROLLAiRE 1. — Lorsqu! iiue foïiclion f [z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, les intégrales défîmes
Ç^f{K)dK.
relatives aux différentes lignes qui vont dun point Zq à un autre z dans cette partie du plan, sont égales.
Soient 2o «2, Zo^z deux chemins allant du point ^o au points {Jig.l\Ç))\ l'intégrale relative a la ligne fermée z^azlz^ est nulle; mais cette intégrale est la somme de celles qui sont fournies par les deux parties z^azj zbzç, de la ligne fermée; cette dernière étant égale et de signe contraire à celle que l'on obtient quand on suit le chemin z^bz, on en conclut que les intégrales relatives aux deux chemins Zf^az^ Zf,bz sont égales.
Fig. 46.
GoROLLAiRE II. — D'après cela, si on laisse fixe le point z„ et si l'on fait mouvoir le point z dans la partie du plan considérée, l'intégrale définie sera une fonction monotrope de z dans cette étendue. Dési-
gnons-la par (p(z). En donnant à la variable deux valeurs voisines z et z' et remplaçant le chemin z^z' par le chemin z^z -^r zz\ on a
cp(z')-9(z)=.y"/(Ç)f/Ç;
cette dernière intégrale étant infiniment petite, on en conclut que la fonction 9(2) est continue. Si l'on observe que /(Ç) =/(^) -f- s, £ étant une quantité infiniment petite, on a
d'où
J^ f[K]dK=f{z){z'-z) + J\ilç,
en désignant par e, le maximum du module de s, par / la longueur de la droite zz' et effectuant l'intégration suivant cette droite, on voit que le module du dernier terme est moindre que e,; il en résulte que le premier membre tend vers une même limite /(z), quand le point ^' se rapproche indéfiniment du points d'une manière quelconque, et par conséquent que la fonction (p {z) admet une dérivée. On en conclut que la fonction 9 [z) est holomorphe dans la même partie du plan à contour simple que la fonction proposée/(2).
84. Théorème V. — Lorsqu une fonction f [z) est holomorphe dans une partie du plan à contour complexe, V intégrale définie
f{z)dz.
relative à une ligne allant d'un point fixe Zo à un autre point fixe z, dans cette partie du plan, conserve une valeur constante, quand la ligne d'intégration se déforme d'une manière continue, sans rencontrer aucune partie du contour de Vaire.
On peut diviser la courbe d'intégration en arcs assez petits pour que, dans une déformation infiniment petite, Taire décrite par chacun des arcs fasse partie d'une aire à contour simple comprise dans l'aire proposée. Soient ah l'un de ces arcs, a'b' la nouvelle position qu'il occupe ;
les points a et b ont décrit les lignes infiniment petites aa', bb'; en vertu du corollaire I (n" 83), l'intégrale relative à l'arc ab est égale k celle relative au chemin aa'-+- a'b' -\- b'b. De même l'intégrale relative à l'arc suivant bc est égale à celle relative au chemin bb'-\- b'c'-\-c'c, et ainsi de suite. L'origine du premier arc, ainsi que l'extrémité du dernier, étant fixes, et chaque transversale, telle que bb' , étant parcourue deux fois dans des sens contraires, si l'on ajoute toutes ces égalités membre à membre, on reconnaît que les intégrales suivant les deux courbes voisines sont égales.
Corollaire I. — Lorsqu'une fonction f{z) est holomorphe dans' une partie du plan à contour complexe, V intégrale définie
f{z)dz,
relative à une courbe fermée A située dans cette partie du plan, conserve une valeur constante, quand on déforme cette ligne d'une manière continue, sans rencontrer aucune partie du contour de Vaire.
Soient A et A' deux positions de la courbe mobile; un pointa de celte courbe a décrit la ligne aa'; les deux lignes A et aa' X'a'a, qui vont du point a au même point a, et qui peuvent se ramener l'une à l'autre sans rencontrer aucune partie du contour, donnant des intégrales égales, et la transversale aa' étant parcourue deux fois dans des sens contraires, les intégrales relatives aux deux courbes fermées A et A', décrites dans des sens convenables, sont égales.
Corollaire II. — Lorsque la fonction f[z) est holomorphe dans une partie du plan limitée par deux courbes fermées C et C [fig- 47)» l^s intégrales ff{ z ) dz relatives à ces deux courbes ou à deux courbes infiniment voisines, décrites chacune dans le sens positif par rapport à Vaire quelle enveloppe, sont égales.
Ce corollaire est compris dans le précédent; mais on le démontre directement de la manière suivante. Nous supposerons que sur les deux courbes G et C la fonction /(z) satisfait à la condition énoncée dans la remarque du n*' 82, sans quoi on les remplacerait par des courbes infiniment voisines et situées dans la portion du plan considérée. A l'aide d'une coupure ab, on peut concevoir cette partie du plan comme enve-
loppée par la ligne fermée abcdbac'd'a. D'après let héorënie IV, Tintégrale relative à ce contour est nulle. La transversale ab, étant parcourue deux fois dans des sens contraires, donne dans l'intégrale des quantités égales et de signes contraires; on peut en faire abstraction; il reste la courbe C parcourue dans le sens positif et la courbe C parcourue dans le sens négatif par rapport à l'aire intérieure à cette courbe. Si chacune des deux courbes fermées est parcourue dans le sens positif par rapport à l'aire intérieure à cette courbe même, les deux intégrales sont égales.
Fis- 4:
Fig. 48.
85. Théorème VI. — Lorsqu une fonction /[z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple ^ si l'on désigne par t un point quelconque situé dans cette partie du plan, on a
l'intégrale étant prise, dans le sens positif, sur le contour de l'aire ou sur une courbe intérieure infiniment voisine.
Du point t comme centre (fig. 48), avec un rayon infiniment petit p, décrivons un cercle. La fonction
est holomorphe dans la partie du plan comprise entre la circonférence p et la courbe C; d'après le corollaire précédent, les intégrales
Y[z)dz,
relatives à ces deux courbes, décrites chacune dans le sens positif par rapport à l'aire qu'elle enveloppe, sont égales. Pour évaluer l'intégrale relative à la circonférence, posons
z — t-\- pe", d'où
dz =■ ipe^'dOy
f ¥[z)dz--=iÇ "^ f{t + pe'')d9.
J(p) Jo
'ip)
La fonction/(z) étant continue, on a
£ s'annulant avec p, et l'intégrale se réduit à
edO.
Appelons s, le maximum du module de s sur la circonférence p; le module du second terme est moindre que la quantité infiniment petite 2i:s, ; mais, d'après le même corollaire, l'intégrale relative à la circonférence p conserve une valeur constante, quand le rayon tend vers zéro; le second terme est donc rigoureusement nul, et l'on a
On en déduit
Jo
86. Théorème VII. — Lorsqu'une fonction /{z) est holomorphe dans une partie du plan, sa dérivée est aussi holomorphe dans la même étendue.
Soit t un point situé dans cette partie du plan; considérons une portion de cette aire, qui soit limitée par un contour simple C et qui eom- . prenne le point /; d'après le théorème précédent, on a
(7) /(') = dri- r n^){^-tVdz,
138 LIVRE m. - CHAPITRE I.
l'intégrale étant prise le long de la courbe G. Pour un second point t -f- A/, voisin du premier et situé aussi à l'intérieur de la courbe C, on a de même
On en déduit
fit-^At]-f{t) = -L. f f{z)[{z - t- M)-^ ~{z - t)-^]dz,
ou plus simplement
A/(0 = -^. f f[z)A{z-tr^dz, et par suite
La fonction (z — t)~* de la variable t ayant une dérivée (z — /)~^, on peut écrire
£ tendant vers zéro avec Ai. Il en résulte
H^=-^i f n^)i^-t)-'dz-^-^^ f fiz)edz.
At . 2711 J^Q^ ^T^l J{C)
On verra, comme précédemment, que le second terme a pour limite zéro, quand At tend vers zéro. On a donc
(8) ' fit)~' f fiz){z - tr-dz.
Pour un point t -{- At, voisin du premier, et situé aussi à l'intérieur de la courbe C, on a
f'it+At)=-l~- f f{z){z-t~At)-^dz,
/'(•f-f-AO-"-/'(0--^- f f{z)A{z -ty^dz.
d'où
La fonction (z - /)"- de t étant continue, on peut prendre At assez petit pour que le module de A(z — /)"- soit moindre qu'une quantité donnée, quand z décrit la courbe C; la valeur de l'intégrale définie est donc infiniment petite, et par conséquent /'(«) est une fonction continue. On a ensuite
M 27:1^(0-^^ ' At
La fonction {z — t)-'- de /admettant une dérivée 2(5 — t)~'\ on posera
£ tendant vers zéro avec A t. Il en résulte
^Çlii^-il^. f f{z){z ~ tr^dz -^- --. f f{z)edz;
At 271/ J(C) 271/ J^c)
la première intégrale a une valeur finie et déterminée, la seconde tend vers zéro avec At. Ainsi le rapport -^^ tend vers une limite déterminée, quand At tend vers zéro d'une manière quelconque; d'où l'on conclut que la fonction/' (/) a wne dérivée, et, par conséquent, qu'elle est holomorphe dans la même étendue que la fonction proposée/(/). Si l'on représente par/"(/) sa dérivée, on a
(9) '""(" = J^-Xe/''"' """■'''•
87. Corollaire. — La fonction/'(/) étant holomorphe, sa dérivée f"{t) est holomorphe dans la même étendue; elle admet donc une dérivée /'"(/), qui est elle-même holomorphe, et ainsi de suite indéfiniment. Ainsi, lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan, elle admet une infinité de dérivées successives, qui sont toutes holomorphes dans la même étendue.
En continuant le raisonnement précédent, on obtient l'expression par une intégrale définie de l'une quelconque de ces dérivées
dz.
jn+l
140 LIVRE m. - CHAPITRE I.
[1 est à remarquer que la connaissance des valeurs de la fonction proposée f[z) sur la courbe C suffit pour déterminer les valeurs de la fonction et de ses dérivées successives dans l'intérieur de cette courbe. Supposons que l'on réduise la courbe C à un cercle décrit du point t comme centre avec un rayon r, les formules (7) et (10) deviennent
(,i) nt)=-- r\nt-v-ré')dB,
de.
88. Remarque. — La formule (i i) est susceptible d'une interprétation géométrique très-simple. Si l'on pose z z= x -^yi,f{z) = X -+- Yi, les deux fonctions réelles X et Y des deux variables réelles et indépendantes X eiy peuvent être regardées comme les ordonnées de deux surfaces (n** 9). Considérons les deux volumes compris entre le plan des arv, une surface cylindrique ayant pour base le cercle décrit du point t comme centre avec le rayon r, et limités respectivement par les deux surfaces X et Y; ces volumes ont pour expressions
W^\ pdp Xd9, V==/ pdp Ydô;
mais, d'après la formule (n), on a
X,= — / X(/0, Y,= — / XdQ,
X, et Y< étant les valeurs de X et Y au point t-, on en déduit
Ur:r.7:r = X., V^Tir^Y..
Ainsi les deux volumes U et V sont équivalents à deux cylindres ayant pour hauteurs X< et Y< .
