CHAPITRE II
EXEMPLES- D INTEGRALES DEFINIES.
89. Exemple I. — La fonction e~'^ étant holomorphe dans toute l'étendue du plan, l'intégrale *
c-»' dz
relative à un contour fermé quelconque est nulle. Considérons le rectangle A, ABB, {Jig- 49) formé par l'axe des a;, une parallèle B^B à cet axe à la distance b, et deux parallèles AB, A,B, à l'axe des jet à même
distancer. Suivant A, A on az = x, a; variant de —ak -h a; suivant AB on a z = a -h yi, y variant de o à h; suivant BB, on a z — a? -f- èi, X variant de 4- a à — a; et enfin suivant B, Ai on a ^ = — a-h j«, y variant de 6 à o. L'intégrale relative au contour du rectangle étant nulle, on a l'équation
1 e-''dx-{- i I e-^'^rn'^dy -f- / e-('+*')' dx ^ i \ e-t-""*-/''' </j=: o.
«/ — a ■ «^o J -v-a Jb
La seconde intégrale
e-i'-^r')^dy = er'^ I e^'-^'r' dy o . Jo
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tend vers zéro, quand a augmente indéfiniment; il en est de même de la quatrième; on sait d'ailleurs que la première a pour limite sJti. On déduit de là
OU
/-f- 00 /^ -Hoc
e '■-''''"+''■ dx -~ é'' I e-^'(cos2 6ar — ism2bx)dx ~ ^v:,
. oc •- — «o
e-^' cos2.bx dx ^^- sJ'Ke-''\
90. Exemple IL — La fonction e~^z"'^\ dans laquelle la lettre n désigne un nombre positif quelconque, acquiert un nombre fini ou infini de valeurs différentes, suivant que le nombre n est commensurable ou incommensurable ( n** i 4) ; mais elle est holomorphe dans le secteur AOB [fig. 5o), défini par l'angle a et le rayon r. Afin de déterminer complètement la fonction dans ce secteur, nous prendrons celle des valeurs de z" qui devient réelle et positive sur OA; il suffit pour cela de poser z = pe^^, z" = p"e''^\ Ô variant de o à a, et p" étant une quantité réelle et positive.
Fig. 5o.
Suivant OA on a z = x, x variant de o à r; suivant l'arc de cercle AB on A z = ré^\ dz — ire^^ dO, ô variant de o à a; et enfin suivant BO on a z = pe"*, dz = e°" dp, p variant de rà o. L'intégrale relative au contour du secteur étant nulle, on obtient l'équation
(;• r> Cf. rt I-
e-^X" ' dx + i 1 ^''e-'-cosO+i(nO-,siiie)^0 / pn-ig-f<Dsa + i(na-fSina)^p- q «u Jo Jo
La seconde intégrale tend vers zéro, quand r augmente indéfiniment,
si l'angle a est moindre que -i la première a pour limite la transcendante désignée par T{n). L'équation se réduit donc à
et l'on a
Jr»oo p«-'e-f°*«cos(/ia — psinx) dp -= T{n), o
p«-'e-peos«sin(na — psina) dp = o,
ou ces
p''~'e-i"°'"cos(psina)rfp-f-sinna / p"-'e-?'^*"siD{psina)fi?p=:r(«),
' p"-'e-f'°*''cos(psina)rfp-cos/ia / p" 'e-f'^^^sin (psina) rfp = o. o Jo
On en déduit
1 p''-'e-?"=''»«cos(p sina) Jp = r(n)cosna,
Jl p-'-'e-f^""» sin(psina)</p =r{i»)sin»a. o
Si l'on pose
cosa-ô) sina— jT) R r= Ja^ -t^- ^', p = Ra,
MX MX
les deux formules précédentes deviennent
(2) j W— 'e-'" cos bu du = —~^cos in arc tang -U
(3) I «"-'e-^"' sin6a rfw — -^^ sin («arciang - )•
91. Exemple III. — La l'onction 1 dans laquelle la lettre n désigne un nombre positif moindre que l'unité, admet comme pôle le point I {fig. 5i) qui correspond à s — — i, et comme point critique
iU
