CHAPITRE II
l'origine. Du point 0 comme centre, avec un rayon très-grand R, décrivons un demi-cercle ADA< limité à l'axe des x et des points 0 et I comme centres, avec des rayons très-petits s et e', des demi-cercles BEB,, CFC, limités aussi à l'axe des x. La fonction proposée étant holomorphe dans l'aire enveloppée par le contour fermé ADA, G, FGB, EBA, l'intégrale
dz
relative à ce contour est nulle. Nous prendrons, comme précédemment, celle des valeurs de z" qui devient réelle et positive sur BA.
La partie de l'intégrale relative à la demi-circonférence ADA< tend vers zéro, quand R augmente indéfiniment. La partie relative à la demicirconférence B, EB tend aussi vers zéro, quand e tend vers zéro. Pour évaluer l'intégrale relative à la demi-circonférence C,FC, nous poserons ^ = — I H- z.'e^'\ ce qui donne
i j z"-' de' — —ij
quand s' tend vers zéro, z" devient e"^', et l'intégrale se réduit à ine"'^^ La droite BA donne une intégrale ayant une limite déterminée
dx.
Suivant les droites A<C,, CB^ ou a ^ = 7r, s" = r^e^'^?, z ~ — r, ce
qui donne les deux intégrales
-dr r
= -€"'''( I — dr-h l dr\
La somme des intégrales relatives aux diverses portions du contour fermé étant nulle, et les quatre premières parties tendant vers des limites déterminées quand e et s' tendent vers zéro et que R augmente indéfiniment, il est clair que la dernière partie, et par conséquent la somme des deux intégrales placées entre parenthèses, tend aussi vers une limite déterminée. Cette limite est ce que Caucliy appelle la valeur principale de Vintégrale
nous la représenterons par k. Nous avons ainsi l'équation
dx -f- -nie'"'-^ — ^e"" = o,
d'où
dx={k — T:i){cosm: ■+- is'mnv:)
= (/f 008/171 -t- TTsinnu) -h ({ksivrii: — tt cosnTi).
On trouve ^ = 7rcot7i7r, en remarquant que le premier membre est réel, et l'on obtient la valeur de l'intégrale définie
(4) . r^-rf.=^^.
Jq i -\- X sin/iTT
92. Exemple IV. — La fonction j-^ ^ admet deux pôles z = ± bi.
Nous supposerons les quantités a et è réelles et positives. De l'ori-
gine 0 comme centre [fig- 52), avec un rayon très-grand R, décrivons un demi-cercle ABA<, limité à l'axe des x\ du pôle C, qui correspond à z ::-- bi, comme centre, avec un rayon très-petit /s, décrivons un cercle.
Fig. 5a.
La fonction proposée étant holomorphe dans la partie du plan comprise entre la circonférence p et le contour A< ABA, du demi -cercle, les intégrales
dz
relatives à ces deux lignes sont égales. Sur le cercle p ona z== hi-^pe^\ dz 3= ipe^'^ dQ^ ce qui donne l'intégrale
2 71 goj ( 4j -(- f e )
JidQ,
qui a pour limite tC""* quand p tend vers zéro. L'intégrale
relative à la demi-circonférence ABA4, a pour limite zéro, quand R augmente indéfiniment. On en conclut que l'intégrale relative à la droite A, A tend vers une limite déterminée
■ dx = -r e-"''.
On déduit de là la valeur de l'intégrale définie
93. Exemple V. — La considération des contours permet aussi de ramener une intégrale définie à une autre plus simple. Soit l'intégrale définie
/» -+- 1 x^" dx
dans laquelle ^ désigne un nombre positif inférieur à l'unité, n un nombre entier positif, x une variable réelle.
Fig. 53.
Portons sur l'axe des x {fig. 53), de part et d'autre de l'origine, deux longueurs Oa, Oa' égales à l'unité; décrivons deux demi-circonférences égales aby a'b' , ayant les points a et a' pour centres et un rayon trèspetit; puis une demi-circonférence cgc' ayant son centre au point 0 et
un rayon compris entre l'unité etr- L'intégrale
z^dz
V'ii — z»)(i — A-'z')
relative au contour Oabcgc'b'a'O, est évidemment nulle; car la fonction placée sous le signe d'intégration est holomorphe dans la partie du plan limitée par cette courbe. En a et a' le radical a des valeurs
as LIVRE m. — CHAPITRE II.
égales; en b et b' des valeurs égales et de signes contraires; car, si l'on allait de a' à b' en suivant le demi-cercle symétrique de a'b' par rapport à l'axe des x, on aurait en b' la même valeur qu'en b. On conclut de là que les intégrales relatives aux deux segments c'b\ bc se détruisent; d'ailleurs les intégrales relatives aux petits cercles sont infiniment petites. Donc les intégrales relatives à la droite a'a et à la demi-circonférence cgc' ont une somme nulle.
Le rayon de la grande circonférence est un nombre arbitraire compris
entre i et t- En prenant ce rayon égal à -p» on a, sur cette circonférence,
s/fe s//r
v'(i —z')[i — /f'z') = ± -L e"' y/7"— aA-cosTô -+- k\ sjk
le signe étant le même tout le long de la circonférence. Or au point a le radical a une valeur positive très -petite; en b une valeur de la forme —d, s désignant une quantité positive; la même chose a lieu
du point b au point v> et en particulier au point c; c'est donc le signe —
qui convient, et l'on a
d'où
0 \/F^^W^^f^)~'^'Jo
^l — 2/r COS2 0 H- k^
Si l'on remplace ^r par sin(p dans le premier nombre et 2 0 par 9 dans le second, cette égalité devient
. . r'^ sm^"(^d(p I /''^ cos«
Jo v/i — k^ sin^ç ^'\Jo s/i — ^kc
(pd(f coscp + k^
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES DE LA VARIABLE.
94. Théorème I. ~ Lorsquune fonction est holomorphe dans un cercle décrit de V origine comme centre, elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable, et convergente dans ce cercle.
Nousavons vu (Liv. lI,Chap. I) qu'une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes d'une variable, est convergente pour toutes les valeurs de la variable situées à l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre, et divergente pour toutes les valeurs situées en dehors. Nous avons vu aussi que, dans le cercle de convergence, la série représente une fonction holomorphe. Pour qu'une fonctiony*(;z) soit développable en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de z, et convergente dans un cercle décrit de
l'origine comme centre avec un rayon R, il est donc nécessaire que la fonction soit holomorphe dans ce cercle. Nous allons démontrer que cette condition est suffisante.
Soit t (fig. 54) un point quelconque situé à l'intérieur du cercle R.
150 LIVRE m. — CHAPITRE III.
Du point 0 comme centre, avec un rayon r plus petit que R, mais plus grand que 0/, décrivons un cercle. D'après le théorème du n° 85, on a
•^ l-Rl J(^j.-^Z— t 2.711 I z £
l'intégrale étant prise sur la circonférence/", dans le sens direct. Mais on a identiquement
d'où
fn+l
On en déduit
^' 27:1 J^,) Z ^-^l Ji^r) -2 ^"^^ J{r) ^
^^ r /J^^z-H-A f^--^dz. .
2111 J^r) 2"^' 27rf J(^) Z- ;
Évaluons le dernier terme. Posons pour cela
d'où
dz =
ire'^' de = iz dO ;
ce terme devient
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ENTIÈRES. 45i
Si l'on désigne par r' le module de t et par M le maximum du module dey^(z) sur la circonférence r, le module de ce terme est moindre que
rM
(zT.
r étant plus grand que r\ cette quantité tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. Si donc on considère la série à laquelle le second membre donne naissance, la somme des n h- i premiers termes a pour limite /(i); on en conclut que la série est convergente, et que l'on a
(,, /(,)=.!. r /j£)rf.+j. r /(£)<f.+^ r /(iirf.+....
Ces intégrales ont des valeurs finies et déterminées, puisque, sur la
circonférence r, la fonction — V-^ est continue; elles sont d'ailleurs
indépendantes du rayon r, pourvu que ce rayon soit plus petit que R > > 0^ (n« 84, Cor. II). Si l'on pose
la série (2) devient
et, en remplaçant t par z,
(4) f{z)=.U^-\-U^Z-\-UiZ--\-UzZ^-h
On peut la représenter par
Ce théorème très-important est dû à Cauchy (Mémoire sur le Calcul des résidus et le Calcul des limites; Turin, i83i et i832. Comptes rendus de V Académie des Sciences; 1846).
1S2 LIVRE ni. - CHAPITRE ïïl.
95. Corollaire. — Lorsqu'une fonction /[z) est holomorphe dans un cercle décrit du point Zq comme centre avec un rayon R, elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — Zq, et convergente dans ce cercle.
Posons
la fonction /(2„ -h z') est développable suivant les puissances entières et croissantes de z\ et l'on a
f{z,-h Z') — Wo -)- M, 2' + «2^'="+. . .,
d'où
(6) /(•2)= Wo + Ut{z — Zo) + M, (z — Z^y 4-
Les coefficients sont donnés par la formule
(7) """^dr-n nf{^o-^re^')e-'>^'de,
et la série (6) peut être représentée par
D'après la formule (12) du n° 87, on a
fn(;^ )-^ i»2.3...n f^"" f{z,-i- re'>' )€-"'>' d9.
On en déduit
et la série (8 ) se met sous la forme
(9) /(^'=SrT3^''-^'>"'
donnée par Taylor pour le cas où la variable est réelle.
En faisant Zq = o, on a la série de Maclaurin
Considérons, par exemple, les fonctions yji-i-z, log(i 4-z),arctangz, dont nous préciserons la signification, en supposant que, la variable z partant du point z = o, la fonction a la valeur initiale zéro: Les deux premières admettent le point critique z = — i; la troisième les deux points critiques z = ±i. Ces fonctions sont holomorplies dans un cercle décrit du point z = o comme centre avec un rayon égal à l'unité; chacune d'elles se développe donc en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de z, et convergente dans ce cercle. On calculera les coefficients de la série d'après la formule de Maclaurin.
Développement d'une fonction algébrique.
y 96. On peut développer de la même manière la fonction implicite
définie par une équation algébrique/(z, m) — o. Si la valeur u^ de la fonction pour z = Zq est racine simple de l'équation, elle est holomorplie aux environs du point z^, et se développe, par conséquent, en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de z — Zq-, le cercle de convergence, dont le point z^ est le centre, s'étend jusqu'au pôle ou au point critique le plus voisin, où la racine considérée devient infinie ou se permute avec une autre.
Lorsque «„ est une racine multiple d'ordre n dans le voisinage de Zq, l'équation admet /i racines voisines de Wo. Posons
(il) z = z,-hz', u=^u, + u'.
Si l'équation renferme un terme du premier degré en z' indépendant
de u', ces n racines forment un système circulaire que l'on obtient en
posant 2"= z'", u! — vz" (n" 33); toutes les valeurs de v pour z" = o sont racines simples; il suffit de prendre l'une d'elles. Cette valeur
1o4 LIVRE III. — CHAPITRE III. '
de ç», étant fonction holomorphe de z\ est développable en une série convergente suivant les puissances entières et croissantes de z"\ on a donc
U = Mo -t- V^ z" + V, Z"^ + Ç», z"' -\' . . .,
jr j 3
(12) U = U^[ V^z'"-\^ V^z'"-\- VtZ'" +
Cette dernière série représente les n racines formant le système circulaire; elle est convergente jusqu'au pôle ou point critique le plus voisin, où l'une des racines du système devient infinie ou se change en une autre.
En général le groupe des n racines voisines de u^ se décompose en plusieurs sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs systèmes circulaires. Nous avons vu (n'' 36) que, dans tous les cas, les/? racines
d'un système circulaire sont représentées par la formule u' — vz''',
V étant fonction holomorphe de z" = z'^ ne s'annulant pas avec z'\ et
la fraction - n'étant pas nécessairement irréductible. Cette fonction v
pouvant être développée en une série convergente suivant les puissances entières, positives et croissantes de 2", les/> racines du système circulaire sont représentées par la même série
(i3) us. u,\z~P\v,-\-v,z''^ -\^v,z'^' ^^. .).
Le même mode de développement s'applique aux racines infinies. Quand, pour z = Zq^ il y a n racines infinies, ces n racines se décomposent encore en sous-groupes, dont chacun forme un ou plusieurs systèmes circulaires. Les p racines d'un système circulaire sont re-
présentées par la formule u — - vz' '', v étant fonction holomorphe de
z" z=z z'^ (n° 37). Cette fonction v pouvant être développée suivant les puissances entières, positives et croissantes de^", les/? racines du système circulaire sont représentées par la série
Nous dirons que chacune de ces racines infinies est du degré -; il
y a au commencement de la série un ou plusieurs termes à exposants négatifs. Lorsque p = i, tous les exposants sont entiers, et le point z^ est pôle par rapport à la raison infinie considérée.
Formule de Lagrange.
