Soit l'équation (i5) Il =: a {- zf[u

dans laquelle /(w) désigne un polynôme entier en u du degré m,

(16) /(m) = Ao-f- A,M-i-. . . + A.a".

Pour une valeur très-petite de z, l'équation admet une racine simple voisine de a et m — i racines très-grandes ayant pour valeurs appro-

chées u = A^"'~'s "'"'; le point z = o est donc un point critique autour duquel se permutent ces m — i racines infinies. Mais il y a d'autres points critiques; on les obtient à l'aide des deux équations simultanées (i5) et

(17) i-2/'(w)^=o, d'où l'on déduit l'équation du m'^'"" degré

puisqu'à chaque valeur de u correspond une seule valeur de z, donnée par l'équation (17), on obtient m nouveaux points critiques. La formule de Lagrange

donne les coefficients du développement de la racine simple dont la valeur initiale est a pour 2 = 0; la série est convergente dans un cercle décrit de l'origine comme centre et qui s'étend jusqu'au point critique

le plus voisin où cette racine se permute avec une autre. Mais il peut arriver que le cercle de convergence contienne un ou plusieurs points critiques relatifs à d'autres racines.

Comme premier exemple, considérons l'équation du second degré

(ÎO)

dont l'une des racines

I — i/l — 2rt2 -f- U =

se réduit à a pour z — o; l'autre racine devient infinie en ce point qui est pôle par rapport à cette seconde racine. Les deux racines deviennent égales et se permutent autour des deux points critiques

Bornons-nous au cas où la quantité a est réelle et positive. Si le nombre a est plus petit que i, les deux points critiques z = adzisji — d^ ayant un module égal à i , le rayon du cercle de convergence est égal à i et est indépendant de a. Si le nombre a est plus grand que i , les deux points critiques étant inégalement distants de l'origine, le plus voisin donne le rayon du cercle de convergence

R — a — si a'

ce rayon est d'autant plus petit que a est plus grand. La formule do Lagrange donne le développement de la racine (21)

( 22 ) W = rt -I-

DM^'zii

dans le cercle que nous venons de déterminer.

On en déduit un autre développement très-important. En différcntiant la formule (21) par rapport à a, on trouve

du da

en différentiant de même la série (22) et égalant les deux valeurs

de -r-> on obtient la série aa

(.3) (, - .az + .')-''= ■ -H î D. i^-lr-l) + JL d; {^'=±y-. . .

convergente dans le même cercle que la première. Le polynôme entier D^ ( ) du degré n est la fonction X„ de Legendre.

Comme second exemple, considérons l'équation du troisième degré

(24) - «= 3(A h-Bm'+Cm'),

dans laquelle nous supposons les coefficients A, B, C réels et positifs. L'équation (18) est ici

• elle a ses trois racines réelles si la condition B' > 27 AC^ est remplie,

et dans ce cas les trois valeurs correspondantes de z sont aussi réelles.

L'élimination de u entre ces deux équations conduit à l'équation

(p(z) = A(4B' + 27AC»)z'-M8ABC2'~ B'z-4C = o,

qui a une racine positive z, et deux racines négatives z^ et z,. On peut faire en sorte que l'une des racines négatives z^ soit plus grande que — z,, l'autre plus petite; il faut pour cela que 9 (— z,) soit > o. Si l'on tient compte de ce que 9 (z,) = o, cette condition se simplifie

et devient z, > \/ — rn* H suffit que cette dernière quantité rende négatif le polynôme (p(-^), ce qui conduit à la condition B' > 5/|AC^, qui comprend la condition B' > 27 AG^ écrite précédemment.

Dans le voisinage du point z = o, les trois racines de l'équation proposée (24) ont pour valeurs approchées

//, = AZ, «, rrr — : z » ifj =:: ; Z * •

Les deux dernières se permutent autour du point z =:-- o. Quand z est

458 LIVRE m. - CHAPITRE III.

réel, et que l'équation (p{z) = o a ses trois racines réelles, l'équation (24) a ses trois racines réelles, lorsque la condition

est remplie. De 2 = o à ^ = z< , les trois racines sont réelles, deux positives, une négative; ce sont les deux racines positives Uq et w, qui se permutent autour du point critique Zf.De z -- o à z = z^, une seule racine u^ est réelle; ce sont les deux racines imaginaires w, et u^ qui se permutent autour du point critique z^. Dans l'intervalle 22^3, les trois racines sont réelles et négatives. Enfin, pour toutes les valeurs de z supérieures à z^ ou inférieures à z^, une seule racine est réelle.

On se rend bien compte de la transformation des racines en formant des lacets qui, partant d'un point z^ voisin de 0 et situé sur l'axe Ox, enveloppent les quatre points critiques. D'après ce que nous avons dit, le lacet {z^) permute les deux racines Uq et m,, chacun des lacets (0) et (^2) les deux racines m, et w^; quant au lacet (^3), il permute la racine Mq avec w, ou Mj; car, le point 0' étant un point ordinaire sur la sphère, un circuit qui enveloppe tous les points critiques, ramène la valeur initiale u^. On conclut de là que la racine dont la valeur initiale est w = o pour z = o est holomorphe dans le cercle de rayon Zf ayant pour centre l'origine, et, par conséquent, qu'elle est développable en une série convergente dans ce cercle, qui comprend deux points critiques relatifs aux deux autres racines.

98. Théorème II. — Lorsqu'une fonction est holomorphe dans la partie du plan comprise entre deux cercles ayant pour centre l* origine, elle est dèveloppahle en une double série ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives, de la variable, et convergente dans cette partie du plan.

Nous supposons la fonction /(z) homolorphe dans la partie du plan comprise entre les deux circonférences décrites de l'origine comme centre avec les rayons R et R' [fîg. 55), R étant plus grand que R'. Soit t un point quelconque situé dans cette partie du plan. Du point 0, comme centre, décrivons deux cercles, l'un avec un rayon r plus petit que R, mais plus grand que Ot-, l'autre avec un rayon r' plus grand que R', mais plus petit que 0/.

Menons une transversale ab; le contour de la partie du plan comprise entre les deux circonférences r et r' est formé de ces deux circonférences et de la transversale ab parcourue deux fois dans des sens contraires. La fonction f[z) étant holomorphe dans cette partie du plan, on a, d'après le théorème du n"^, "^ ^

iTzij z — t

dz,

l'intégrale se rapportant au contour entier décrit dans le sens direct. Mais, dans ce mouvement, le point z décrit la circonférence r dans le

Fig. 55.

sens positif, la circonférence r' dans le sens négatif, et la transversale ab deux fois dans des sens contraires, ce qui donne dans l'intégrale des résultats égaux et des signes contraires. On a donc, en supposant les deux circonférences parcourues dans le sens positif,

dz.

Sur la circonférence /' le module de z étant plus grand que celui de /, nous écrirons

fn-f-i 7/1+1

Sur la circonférence r' le module de z étant au contraire plus petit que celui de t, nous écrirons

La formule (aS) devient

H -. / f(z)dz-\ ■. / zf(z)dz...n : / z"-'f(z]dz-^. -. / dz.

On verra, comme précédemment, que les deux termes complémentaires tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment. On obtient ainsi une double série ordonnée suivant les puissances positives et négatives de /. Les intégrales ont des valeurs fixes et déterminées; elles sont d'ailleurs indépendantes des rayons r et r', pourvu que ces rayons soient compris entre R' et R. Si l'on pose

■T^l J(r') 27rJo

et si l'on remplace t par z, la double série devient

f{z) "... -I- M iZ- ' -f M, 5-' -\- Mo -'-,W| Z -i- W22' +. . .;

on peut la représenter par ^Bf

(26 ) " ■ f{z) - ^ 51 ^^nfjyire'')^'-'''d9.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ENTIÈRES. iM

Cette extension du théorème de Cauchy a été donnée par Laurent ( Comptes rendus, 1 8 4 3 ) .

Lorsque la fonction est holômorphe dans toute la partie du plan extérieure au cercle R', et que sur la sphère le point 0' est un point ordinaire, la série est convergente dans cette étendue, et elle ne renferme aucune puissance positive; car, dans l'évaluation des coefficients des puissances positives, on peut supposer le rayon r infini.

Se'rie de Fourier.

99. Théorème III. — Lorsque^ dans la partie du plan comprise entre deux droites parallèles, une fonction est holômorphe et admet une période w dont l'argument est égal à celui des droites parallèles , elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives

■>T.zi

et négatives^ de e "' , et convergente dans cette bande.

En posant e '" = tet faisant i = rê^\ on a z = — ^^ -f — Quand 0

varie de o à a;:, c'est-à-dire quand la variable / décrit une circonférence de cercle ayant pour centre l'origine, la variable z décrit la

droite AA' [fig. 56), dont les'extrémités A et A' correspondent aux valeurs

z ■=. — ^— — ^^ z = — ^^3E -f- oj. Si B varie ensuite de in à At:, c'est-

à-dire si la variable t décrit la même circonférence une seconde fois, la variable z décrit une seconde droijte A' A" égale à la précédente et pla-

cée sur son prolongement; et ainsi de suite; ces portions de droite, s'ajoutant les unes aux autres, forment une droite infinie BC. Supposons maintenant que le rayon r varie de ^o à r, , le point A décrira sur la perpendiculaire menée de l'origine à la droite BG une longueur AoA,, dont

les extrémités correspondent aux valeurs ^ = •> z =

et la droite BC, se mouvant parallèlement à elle-même, ira de la position BoCo à la position B<C,. Ainsi à la partie du plan t comprise entre les deux circonférences concentriques To» ''i correspond la partie du plan z comprise entre les deux parallèles BoCo, B,C<.

Soit M =/(2) une fonction de ^,liolomorphe dans la bande BoCoB,G, , et admettant la période w, c'est-à-dire telle que /(z + w) =/(z) . Si nous concevons la bande divisée en rectangles égaux au rectangle AoAqA'iAo la fonction reprendra la même valeur aux points homologues de ces différents rectangles. A une valeur de t correspondent une infinité de valeurs de z de la forme z + mw, m étant un nombre entier quelconque , positif ou négatif, et par conséquent une seule valeur de w; m peut donc être regardé comme une fonction holomorphe de t dans la couronne comprise entre les circonférences r» et r<. En vertu du théorème précédent, cette fonction est développable en une série

n — -\-tc

(1) u=Su,t",

ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives de t^ et convergente dans la couronne ToT,. En remplaçant t par sa valeur, on obtient la série

convergente dans la bande BoCoB,C<.

Un coeiTicient quelconque de la série (i)?fl&t donnée par l'intégrale définie '^^

(3) u„=-^. I ut-"-'clt,

relative à une circonférence de cercle intermédiaire entre les circonférences limites r^ et r, ; par le changement de variable, cette intégrale définie devient

illKZt

(4) u„= - I ue " dz.

la variable z décrivant une ligne allant d'un point z^ à un point z^ + w, et comprise entre les deux parallèles limites, par exemple la ligne AA'. Supposons que la fonction proposée soit holomorphe par rapport à z dans toute l'étendue du plan; si nous faisons tendre le rayon To vers zéro et augmenter r, indéfiniment, les deux parallèles BoCo, B,C, s'éloigneront indéfiniment de l'origine de part et d'autre; la série (2) sera donc convergente pour toutes les valeurs de z.

fonctions de plusieurs variables.

100. Théorème IV. — Une fonction de plusieurs variables indépendantes, holomorphe par rapport à chacune d'elles dans une certaine étendue, admet une infinité de dérivées partielles, qui sont elles-mêmes holomorphes dans les mêmes étendues.

Soit /(a?, y) une fonction des deux variables indépendantes x et y, holomorphe tant que les points x eiy{fig. 57) sont situés respectivement dans des parties déterminées A et B du plan. Si l'on attribue à y une valeur constante située dans l'aire B, /{x^ y) est fonction holomorphe de la variable x dans l'aire A. D'après le théorème du n° 86,

Fig. 57.

cette fonction admet une infinité de dérivées partielles relatives à la variable x, et ces dérivées sont fonctions holomorphes de x dans la même étendue. Nous allons démontrer qu'elles sont aussi fonctions holomorphes de la variable y dans l'aire B. On a, en effet, d'après la

164 LIVRE III. - CHAPITRE lU.

formule (12) du n° 87,

'*"' Jo

cp(j:, J4- Aj) — cp(^,j)= ' ' ; - / [f{x-^ré', T '^ ^X)

On voit d'abord que 9 (a?, 7) varie d'une manière continue avecj; on a ensuite

9 ( x, y + Ar) — 9 ( ^» r)

Aj • 27rr" Jq Aj

la quantité s tendant vers zéro avec Aj. Ainsi la fonction <p (x, y) admet une dérivée partielle relative à /,

(2) D^9(^,J)=-î^^^"'D^/(^^ reSj)«-«»'J0,

dérivée que l'on obtient en dififérentiant sous le signe somme. *>-

La fonction 9(07, j), étant fonction holomorphe de y dans l'aire B, y^ admet une infinité de dérivées partielles D^ 9 [x, y) relatives à j, qui -^ "1/. "^ sont holomorphes en j et qui, en vertu du raisonnement précédent, le ^ sont aussi en oc. On obtient ainsi la dérivée partielle D2^"/(ir, j), qui est une fonction holomorphe de se et j' dans les aires A et B.

Voici comment on peut avoir l'expression de cette dérivée. D'après la formule rappelée précédemment, on a

9 ( a;, j + r' e''' ) = ^ ^ 1 f{^+ ''«'S J + r' é'' ) e-"'' d9 ; 2"r" Jq

d'où

On peut suivre une autre marche. En différentiant sous le signe somme, d'après la formule (2), on a

27rr Jq

mais

donc

Ces deux expressions (3) et (4) se mettent sous la forme

(5) D:;7(^,r) - ~^-^^-l ' 'X ' V(^+re% j+r'e»">:-''"- -"'^''-Jôrfô'.

On peut changer l'ordre des différentiations. En appliquant la formule (3), on a, en effet,

c'est la formule (4) ; ainsi

(6) D;;-^«/(^»r)--i>ïr"'"7(^»r).

101. Théorème V. — Si u et ç sont des fonctions holomorphes de z dans une aire A, /[u^ v) une fonction holomorphe des deux variables u et V dans les aires B e/ C décrites par les points u et v quand le point z décrit l'aire A, cette fonction sera fonction holomorphe de z dans Vaire A.

Il est évident d'abord que/(w, v) est une fonction continue et monotrope de z dans l'aire A; il reste à faire voir qu'elle admet une dérivée. La démonstration est la même que celle que l'on donne habituellement, quand la variable est réelle; on a .

(7) B,f{u,v)=-.J)uf{u,v)T),u-\-ï^fiu,v)D,v.

Remarque. — Soit /{ce, y) une fonction holomorphe des deux va- * riables x ety dans les aires A et B; posons

x = Xi+ ht, y=zy^-\- kt,

Xq étant un point de Taire A, jo un point de l'aire B, A et ^ deux constantes; d'après le théorème précédent, on peut regarder/(a7, y) comme une fonction de la variable t, dans une aire C telle que les aires correspondantes décrites respectivement par les points x Gi y soient comprises dans les aires A et B, et l'on a

En appliquant le même théorème à cette nouvelle fonction, on a X . » ^ successivement

D//(^, y) = A'D^/-+- 2A kmyf+ A^D;,/,

On peut représenter cette dérivée d'ordre n par la formule symbolique

102. Théorème VI. — Lorsqu'une fonction f[x, y) est holomorphe dans des cercles décrits des points Xq et y^ comme centres, avec des rayons R e< R', elle, est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de x — x^^ et y — y^ et convergente dans les mêmes cercles.

Soient Xq + ^ et jo ^ ^ des points fixes situés dans les cercles R et R'; posons

X=iX^+ ht, jrzi=jr^-Jt- kty

et assujettissons la nouvelle variable t à rester dans le cercle décrit du point ; = o comme centre avec un rayon égal à l'unité; les différences x — a^o =ht, j — jo = ^t ayant des modules respectivement inférieurs ou égaux à ceux de h et de A: et, par conséquent, inférieurs à R et R', les points oo et y resteront situés dans les cercles R et R'. La fonction/(a?, j) sera donc une fonction holomorphede /dans cette étendue; nous la représenterons par F [t),

F {t)=f{x, y) ==/(^, -4- /,/, r. + ht).

D'après le théorème I, cette fonction est développable en une série ordonnée suivant les puissances positives, entières et croissantes de /, convergente dans le cercle de rayon i, et l'on a, en appliquant la formule de Maclaurin (n° 95),

Mais on a symboliquement

F"(/) = (AD. +A-D,)"/(^, y), F''(o) = (AD,,+ /rD,J«/(^o.r.); on en déduit

Si maintenant on fait / — i, d'où

X=Xo-hh, jr^n+A",

la formule précédente devient

(9) /( ^» r ) = /( -n 4- A, /« + /r ) = > > , an '

La fonclion /(.r, y) est développée suivant les puissances entières, positives et croissantes des différences /i — x — Xq, k =^ y — j^.

103. Remarques. — Les fondions de plusieurs variables indépendantes présentent des particularités que nous n'avons pas rencontrées dans l'étude des fonctions à une seule variable. Considérons d'abord une fonction de deux variables

qui soit le quotient de deux fonctions 9 et tj; holomorpbes dans les aires A et B. Supposons qu'aux points x — x^, y == y^ situés dans ces aires les fonctions (^ ai ^ deviennent nulles à la fois; la fonclion

f{oo,y) prendra la forme -•, nous allons voir qu'en ces points, c'està-dire pour ces valeurs particulières des variables, la fonction /(a?, j) est indéterminée. Si l'on pose x —. x^ ■+■ x' y y ~ y^ -h j', x' eiy' étant de nouvelles variables comprises dans des cercles ayant pour centres les points Xo et jo» les fonctions holomorpbes 9 et ij; sont développables en des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières, positives et croissantes ôex' et de j', et l'on a

En désignant par u' le rapport —^ cette expression devient j.. V __a-]- bu 4 ex' ■+-...

et se réduit à

a H- bu . a' -i- b' H

pour x' = o. Le rapports étant arbitraire, on en conclut que, pour X = Xq, j = j„ , la fonction proposée/(a7, y) admet une infinité de valeurs différentes, dépendant des directions suivant lesquelles les points mobiles x et y tendent vers les points fixes x^ et Vq. Il est clair que les

systèmes de valeurs de a? et y pour lesquels la fonction /(a;, j) est indéterminée sont en nombre fini.

Considérons maintenant une fonction

de n variables, qui soit le quotient de deux fonctions holomorphes 9 et tp. La même indétermination se présentera pour tous les systèmes de valeurs des variables qui annulent à la fois les fonctions rp et ^. Il y a un nombre infini de ces systèmes; car il reste « — 2 variables arbitraires.

no LIVRE III. - CHAPITRE IV.