CHAPITRE IV

PERIODES DES INTEGRALES DEFINIES.

104. Soit/(z, u) = o une équation algébrique et entière, irréductible, et du degrémpar rapport à u. La variable 2 part d'un point fixe Zq, qui est un point ordinaire, la fonction ayant une valeur déterminée ««; nous nous proposons d'étudier les diverses valeurs de l'intégrale définie

quand la variable z va du point initial Zo à un point quelconque z du plan par différents chemins.

Soient Wo> "n- • •» "w-t les m racines de l'équation au point initial z^. Marquons dans le plan les points singuliers, c'est-à-dire les pôles et les points critiques de la fonction algébrique u de z; joignons-les au point Zq par des lacets, et, s'il y a des lacets complexes unissant plus de deux racines, décomposons-les en lacets binaires, unissant chacun deux racines, comme nous l'avons dit au n*' 38. Nous avons expliqué comment on s'y prend pour former un système de m — i lacets binaires fondamentaux, permettant de passer de la racine Uq à toutes les autres. Un système fondamental est formé d'un premier lacet unissant la racine Wo à une autre m<, d'un second lacet unissant l'une des deux racines u^ ou m, à une autre u^, d'un troisième lacet unissant l'une des racines Uo^Ut^u^ à une autre Wg,..., enfin d'un dernier lacet unissant l'une des racines Wo, m,,..., m,„2 à la dernière m,„, . Nous avons démontré que, abstraction faite des lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires, et dont la suppression ne change pas la valeur de l'intégrale, il n'existe qu'un chemin formé de lacets

fondamentaux conduisant, d'une racine u^ à une autre racine Mp, celui qui contient le moindre nombre de lacets; nous l'avons désigné par (V)S;. Toute ligne fermée qui, partant du point initial Zq, revient à ce point, se ramène à une suite de lacets parcourus dans un sens et un ordre déterminés. Nous appellerons cjc/e une ligne fermée telle que, si on la parcourt avec la racine m» prise comme valeur initiale, on reproduit à la fin la même racine w^; en remplaçant cette ligne par une suite de lacets, on passera par une série de racines, telles que w^, wp, m^, wg, u^, et le cycle sera représenté par

{a)i+{b%+{ci+{d)l-

Si l'on parcourt cette suite de lacets en commençant par l'un quelconque d'entre eux, et adoptant comme valeur initiale la racine correspondant à l'origine du lacet, on reproduit à la fin cette même racine; ainsi nous pourrons écrire le cycle précédent sous l'une des formes

■^{ci+{d)i

[at,

+ {d)% + {at

105. Il n'existe pas de cycle effectif composé uniquement de lacets fondamentaux; car un pareil cycle, conduisant d'une racine «« à la même racine u^, se ramène à un chemin nul (V)', par la suppression des lacets parcourus chacun deux fois successivement dans des sens contraires. Un cycle effectif contiendra donc un ou plusieurs lacets autres que les m— I lacets choisis comme lacets fondamentaux. Nous appellerons cycle simple un cycle qui ne contient qu'un seul lacet autre que les lacets fondamentaux. Nous allons faire voir que tout cycle renfermant plusieurs lacets autres que les lacets fondamentaux peut être regardé comme la réunion de plusieui-s cycles simples. «Par exemple, un cycle renfermant les deux lacets non fondamentaux (a)^, (6)J peut être représenté par

(«)!: + (V)f[ + (6jJ-f (V)?,

[y)\ et (V)î étant les chemins formés de lacets fondamentaux qui conduisent de la racine wp à la racine u^, ou de wg à w»; si l'on remplace

le chemin (V)^ parle chemin (V)^+ {Y )l, qui ne diffère du premier que par des lacets égaux et de sens contraires, le cycle devient

il se compose alors des deux cycles simples

parcourus successivement avec la racine initiale Ma.

On peut ramener les cycles relatifs aux différentes racines à ceux qui ♦ se rapportent à une racine particulière «„; en effet, par l'introduction de deux chemins égaux et contraires, un cycle (C)^ relatif à la racine «« devient

ou

et se rapporte alors à la racine «o-

106. En général, une ligne fermée, partant du point z^ et revenant à ce point, conduit à une racine u^ différente de la racine initiale u^. Ce chemin (C)^ peut être remplacé par le chemin

(cn-i-(V):+(vn, •

composé du cycle (C)", 4- (V)° ramenant la racine initiale Wj,, suivi du chemin (V)" qui, par des lacets fondamentaux, conduit de la racine w^ à la racine Ma- On en conclut que toutes les lignes fermées qui, partant du point Zq, reviennent à ce point, la fonction ayant la valeur initiale Wo> se ramènent à des suites de cycles simples, suivies de l'un des chemins

formés uniquement de lacets fondamentaux.

Tous les chemins qui vont du point z^ à un point quelconque z du plan se ramènent à un chemin déterminé, par exemple à la droite Zç^z, allant du point So &" point z, ou à une ligne fermée (C)" , suivie de ce chemin déterminé.

Il est facile, d'après cela, de trouver les diverses valeurs de la fonction V au point z. Appelons w,, wo, Wg,... les intégrales définies relatives aux différents cycles simples, Vô l'intégrale relative à la ligne fermée ( V)ô, V» l'intégrale définie relative à la droite z^ z quand on parcourt cette droite avec la valeur initiale m* de la fonction u. Une ligne fermée quelconque (C)ô se ramenant à une somme de cycles simples suivie du chemin (V)', l'intégrale définie relative à cette ligne est

n, o)i + nj Wï 4- «3 0)3 . . . -4- V" ,

n^, Wo» ^^3'' • • étant des nombres entiers; on décrit ensuite la droite z^z avec la racine m^, ce qui donne un nouvel accroissement V» de l'intégrale définie, de sorte que la fonction V acquiert au point z la valeur

V = n, w, -f- w, roj + . . . -f-V^ 4- V,.

On en conclut que, pour chaque valeur de 5, la fonction V admet les m valeurs