V., v;-t-v., vj + v,,..., v7- + v«

augmentées de multiples quelconques de certaines périodes w,.

En intégrant par parties, on a

= I udz= HZ ~ Ito Zt — I

zdu;

z étant une fonction de u définie par l'équation proposée, on peut regarder V comme une fonction de u; si n est le degré de l'équation par rapport à s, on en conclut qu'à chaque valeur de u correspondent n j valeurs de V, augmentées de multiples des périodes w,, co^, wg,....

107. Examinons maintenant les différentes sortes de points singuliers. Considérons d'abord un système circulaire de/? racines finies se permutant autour d'un point critique a; si l'on pose z = a 4- z', ces racines sont représentées par une même série convergente (n*' 96)

Si, lorsque la variable z se rapproche du point a, la fonction algébrique u a l'une des valeurs faisant partie du système des/? racines, l'intégrale tend vers une valeur finie A, et l'on a

(2) \=k-^-bz' -\ f—-h'z' P H " b"z' P +

La branche correspondante de la fonction V, dans le voisinage du point a, acquiert donc/? valeurs différentes, qui se permutent circulairement, et, par conséquent, le point a est un point critique algébrique par rapport à cette branche de la fonction V.

Au système circulaire des p racines correspondent p lacets binaires positifs

la partie de l'intégrale définie relative au petit cercle étant infiniment petite pour chaque lacet, l'intégrale relative à un lacet {a)l est la somme des intégrales relatives à la ligne z^a, décrite une première fois avec la racine m^, et une seconde fois, en sens contraire, avec la racine Mp. La somme des intégrales relatives aux p lacets binaires positifs est identiquement nulle; car chaque élément de la ligne z^a est parcouru deux fois, dans des sens contraires, avec la même racine. On peut remarquer, d'ailleurs, que la somme des parties infiniment petites relatives au petit cercle est aussi identiquement nulle; car, lorsque la variable z' décrit p fois successivement ce petit cercle, l'intégrale V donnée par la formule précédente reprend la même valeur. Si donc on représente par o-l l'intégrale définie relative au lacet {a)l, on a

aZ-\-al\-h...-h ay-\ + «:», = o;

on en déduit

"a„ "a, • • • "■ap j*

Nous dirons que deux chemins conduisant d'une racine u^ à une racine Mp sont équivalents, relativement à la racine Wa, lorsque les intégrales définies suivant ces deux lignes, parcourues avec la racine initiale Wa, sont égales. U résulte de ce qui précède que le p'^'"^ lacet positif («)„", du système circulaire est équivalent, relativement à la ra-

PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉFINIES. i7S

cine Wa,» ^^i chemin formé par les /? — i premiers parcourus en sens négatif. On peut donc réduire les p lacets de chaque système circulaire à /? — I d'entre eux.

Dans le cas particulier où le système circulaire ne se compose que de deux racines w» et Mp, quand on décrit le lacet [a) avec la racine initiale u^ dans un sens ou dans l'autre, on arrive toujours à la racine ttp; lorsque l'intégrale suivant le petit cercle est, comme nous le supposons, infiniment petite, l'intégrale définie relative au lacet a la même valeur, quel que soit le sens dans lequel on décrit le lacet. Ainsi, avec la racine initiale w^, on peut décrire le lacet indifféremment dans un sens ou dans l'autre. La même chose a lieu quand on décrit le lacet avec la racine initiale wp. En outre, les intégrales que l'on obtient dans ces deux cas sont égales et de signes contraires.

Un système circulaire de p racines infinies d'un degré inférieur à l'unité jouit des mêmes propriétés. 11 suffit de supposer que, dans la formule (i), le nombre entier q est négatif et plus petit que p en valeur absolue ; l'intégrale tend vers une valeur finie A , quand z' tend vers zéro ; la branche de la fonction V, représentée par la formule (2), acquiert, dans le voisinage du point «, p valeurs finies qui se permutent circulairement, et le point a est un point critique algébrique par rapport à cette branche de la fonctioa. Les intégrales définies relatives au petit cercle étant infiniment petites, tout ce que nous avons dit des lacets subsiste sans modification.

108. Considérons actuellement un pôle a de la fonction m; la racine, qui devient infinie en ce point, est représentée par la série (n° 96) Yî>a>j-wV*^VA*v>*^ ^*

(3) M = A2'-î + B3"-?-f-...+ H2'-' + L + Mz'-f-.... -<>^ .

La branche correspondante de la fonction V devient infinie en ce point, et elle est représentée dans le voisinage par la série

(4) v=-^2"-''-f-— 5— 2"-''-i-...-f-HIog2'-hKH-L2' + ... .

Quand la variable z tourne autour du point a, la branche de la fonction V acquiert un nombre infini de valeurs formant une progression

17e LIVRE III. - CHAPITRE IV.

arithmétique dont la raison est 2nEi. Le pointa, par rapport à cette branche de la fonction V, est un point singulier logarithmique (n° 60), à moins que le coefficient H ne soit nul , et dans ce cas le point a serait un pôle de la fonction V. Supposons qu'on décrive le lacet {a) joignant le point initial z^ au pôle a avec la racine u^, qui devient infinie au point a, on revient au même point Zq avec la même racine m»; la droite z^z,, qui joint le point z^ à un point z^ du petit cercle, étant décrite dans des sens contraires avec la même racine, l'intégrale définie relative au lacet se réduit à la partie relative au petit cercle, c'està-dire, d'après la formule (4), à 27rH«. Le lacet {a)l relatif au pôle a ne fait pas partie des lacets fondamentaux; il forme à lui seul un cycle simple, que nous ajppeWevons cycle polaire, et donne la période 2nRi.

109. Considérons enfin un système circulaire de p racines infinies, d'un degré égal ou supérieur à l'unité, se permutant autour d'un point critique a. Si l'on pose z = a + z', ces p racines sont représentées par la série convergente

*? HLÎ -JZl •

(5) u^Az' p + liz'p -hCz'p -h. . .-hUz'--\-L-^'Mz'P -Ï-. . . ,

dans laquelle le nombre entier q est égal ou supérieur à p. Si, lorsque z se rapproche du pointa, la fonction algébrique u a l'une des valeurs faisant partie du système des p racines, l'intégrale devient infinie, et l'on a

(6) V=: f^Az'~"r~-i-...-h Hloga'-J- K-f-Lz'-t- -^M^' '' -+- . . ..

Quand la variable tourne autour du point a, la branche correspondante de la fonction V acquiert d'abord p valeurs diff'érentes; après/? tours, la première valeur se reproduit augmentée de 2pnEi, puis la seconde valeur augmentée de la même quantité, et ainsi de suite. La branche de la fonction V acquiert donc/? séries de valeurs formant des progressions arithmétiques dont la raison est 2pnEi. Le point a, par rapport à cette branche de la fonction V, est un point singulier logarithmique, à moins que la constante H ne soit nulle, et dans ce cas ce serait un point critique algébrique.

Le lacet qui unit le point initial z^ au point a est la réunion de/?

lacets binaires positifs; sur chacun d'eux, la partie de l'intégrale définie qui se rapporte au petit cercle n'est plus infiniment petite; si l'on fait la somme des intégrales définies relatives aux p lacets binaires positifs, chaque élément de la droite z^z^, qui joint le point z^ à un point z^ du petit cercle, étant parcouru dans des sens contraires avec la même racine, la somme des intégrales se réduit à la partie relative au petit cercle décrit/? fois successivement, c'est-à-dire, d'après la formule (6), à 2^7rHï. On a ainsi

«:: + «::+...-+- «:;, = ipr.^M.

Les p lacets binaires forment un cycle que nous appellerons encore cycle polaire, et qui donne la période npnMi.

liO. Pour étudier la fonction V, quand la variable z devient trèsgrande, on pose z = — » M = vz'"^, et la fonction V prend la forme

l'équation algébrique /(z, m) = o se change en une équation algébrique F(z', ç') = o entre z' et v. Toutes les circonstances que nous venons de rencontrer peuvent se présenter ici pour z' = o. Nous allons du pointée ^^ point 0', sur la sphère, par un arc de grand cercle; si pour a' = o les m racines de l'équation f{z\ v) = o sont simples et finies, chacune dés branches de la fonction V est une fonction holomorphe de z\ dans le voisinage du point z' = o. Si, dans le voisinage du point 0', l'équation a un système circulaire de p racines finies ou de p racines infinies d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale reste finie, et la branche correspondante de la fonction V acquiert p valeurs différentes se permutant circulairement quand la variable tourne autour du point 0', qui, par rapport à cette branche, est un point critique algébrique. Si le point 0' est pôle par rapport à une racine, la valeur correspondante de l'intégrale devient infinie en ce point et la branche de la fonction V acquiert une infinité de valeurs en progression arithmétique; le point 0' est, relativement à cette branche,

178 LIVRE m. - CHAPITRE IV.

lin point singulier logarithmique, à moins que le coefficient H ne soit nul, et dans ce cas ce serait un pôle. Enfin, si l'équation Y {z' , v) = o a un système circulaire de p racines infinies d'un degré égal ou supérieur à un, les valeurs correspondantes de l'intégrale deviennent infinies; quand la variable tourne autour du point 0', la branche de la fonction V acquiert/) valeurs augmentées chacune d'un multiple quelconque de la période 2pnEi; le point 0' est, par rapport à cette branche de la fonction V, un point singulier logarithmique, à moins que le coefficient H ne soit nul, et dans ce cas ce serait un point critique algébrique. '

Nous savons (n^39) qu'au lacet qui sur la sphère unit le point z^ au point 0' correspond dans le plan un circuit formé d'une droite ^o^et d'une circonférence d'un très-grand rayon, ayant pour centre le point 0. L'intégrale définie, relative à l'un des lacets binaires (0')^ décrit avec la racine initiale m^, et dans le sens négatif pour un observateur placé en 0', est égale à l'intégrale relative au circuit décrit avec la même racine dans le sens positif; le circuit se ramenant à la suite des lacets (a,), («a)» («a)»---» qui correspondent aux valeurs finies de z, on en conclut que chaque lacet binaire (0')t est équivalent au chemin formé par certains lacets binaires tracés dans le plan. La considération du lacet (0') n'introduit donc aucune valeur nouvelle de l'intégrale définie, ni aucune nouvelle période.

Cas où l'intégrale reste finie sur toute la sphère.

111. Il résulte de ce que nous avons dit précédemment que, si l'équation proposée /(z, m) = o pour aucune valeur finie de z, et l'équation transformée Y[z\v)=^o pour z' = o, n'admettent des racines infinies d'un degré égal ou supérieur à l'unité, les différentes branches de la fonction V conservent des valeurs finies sur toute la sphère, et, par conséquent, que la fonction V ne peut devenir infinie que par l'addition d'un nombre infini de périodes. Cette condition d'ailleurs est nécessaire. Dans ce cas, il n'y a pas de cycle polaire; toutes les périodes proviennent des cycles simples que l'on peut former avec les lacets binaires relatifs aux points critiques.

Les p lacets binaires relatifs à un même système circulaire de racines se réduisant à/? — i d'entre eux, le nombre des lacets binaires dans le plan est N = 2 (/? — i). Nous en avons pris m —^ i pour former un système de lacets fondamentaux; il en reste N — (m— i) autres; chacun de ceux-ci avec des lacets fondamentaux formant un cycle simple, le nombre des périodes est N — (m — i ) ; mais on peut en général les réduire à un moindre nombre de périodes distinctes. Voici comment on se rend compte de la possibilité de cette réduction.

Nous remarquons d'abord que, par une transformation facile, on peut faire en sorte que les points diamétralement opposés 0 et 0' sur la sphère soient des points ordinaires. Soient, en effet, z, et z^ deux valeurs de z pour lesquelles réquation/(z, m) = o n'admette que des racines simples et finies; si l'on pose z — -^ '-\ aétanl une constante

prise à volonté, les valeurs z' = o, z' = co correspondent respective-

ment aux valeurs z = z,, z = Zj; si I on pose en outre u = —^ -.->

a, \Zi — Z\)

l'intégrale devient

V= r udz= f u'dz',

et l'équation proposée/(z, w) = o du degré m en m se change en une équation F [z', u') = o du même degré en u' . Sur la sphère qui sert à figurer la nouvelle variable z', les points 0 et 0', c'est-à-dire z' = o et z' = 00 , sont des points ordinaires.

Supposons donc que les points 0 et 0' sur la sphère soient des points ordinaires; dans l'intégrale V faisons partir la variable de l'origine 0, la fonction u ayant une valeur initiale déterminée «„; joignons le point 0 aux différents points critiques a,, rta»-- du plan par des lacets [fig. 58); le nombre N' des lacets binaires est maintenant plus grand que N, puisqu'on a ramené dans le plan le point 0' qui était primitivement un point critique. Le point 0' sur la sphère étant actuel- q \^

lement un point ordinaire, le lacet (0'), parcouru avec une racine jAmaa*. ^ ^'^^TTjJa initiale quelconque m^, ramène cette racine et donne une intégrale iWi»»^^<\**2 n » définie nulle; le circuit correspondant dans le plan jouit de la même ^^ ''^ /«

propriété. Si donc on imagine le circuit parcouru dans le sens positif successivement avec chacune des racines, ce qui fait m circuits diffé-

180 LIVRE m. - CHAPITRE IV.

rents, et si l'on écrit que la swiime des intégrales relatives aux lacets binaires qui entrent effectivement dans chaque circuit est nulle, on obtiendra m relations linéaires entre ces intégrales. Chacune d'elles donne une relation entre les périodes; car, puisqu'un circuit peut être ramené à une suite de cycles simples par l'introduction de chemins formés

Fig. 58.

de lacets fondamentaux et parcourus chacun deux fois dans des sens contraires (n° 105), il suffit de remplacer dans l'équation les termes qui se rappoi'tent aux lacets non fondamentaux par les périodes correspondantes.

Mais les m relations ainsi obtenues ne forment que m — i relations distinctes. Remarquons en effet qu'un lacet binaire positif [a)\ entre dans un circuit et dans un seul; car si, partant de l'entrée de ce lacet avec la racine m^, on remonte les lacets précédents, on arrive à l'entrée du circuit avec une racine déterminée Wa; le lacet positif (a)J entre donc dans le circuit (G)^. Le dernier lacet binaire positif du système circulaire auquel appartient le lacet («)^ entre aussi dans un circujt (C)f ; comme on a remplacé ce lacet par l'ensemble des/> — i premiers parcourus en sens négatif, il s'ensuit que le lacet binaire négatif (— a)\ entre dans le circuit (C)J. Ainsi, après la substitution, chaque lacet binaire entre dans deux circuits; dans l'un il est décrit dans le sens positif, dans l'autre en sens contraire; la période correspondante entre, par conséquent, avec des signes contraires dans les équations relatives à ces deux circuits. Si donc on ajoute les premiers membres des équations fournies par les m circuits, la somme totale, étant formée de termes

.wV^

.Ax^ çVv''

PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉFINIES. i8i

égaux deux à deux et de signes contraires, est identiquement nulle, et les m équations se réduisent à m — i. On aura ainsi m — i relations linéaires entre les N'— [m — x) périodes; nous allons faire voir que l'on peut, à l'aide de ces relations, exprimer m — i périodes en fonction des autres, de sorte que le nombre des périodes distinctes est N'— i{m — \).

112. Sur la sphère, les lacets considérés jusqu'à présent, et que nous appellerons lacets de première espèce, sont formés d'arcs de grand cercle allant du point 0 aux différents points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points. Nous avons désigné par Wq» "o---» u^^ les valeurs des m racines de l'équation au point 0 ; désignons par u\ , w'j , . . ., M^„, lès valeurs de ces racines au point 0' quand la variable z va de 0 à 0', en suivant le demi-méridien OLO' qui se projette sur le rayon 0/ du circuit [fig- 09) . Nous pourrons effectuer la permutation

des racines au moyen de lacets partant du point 0' et formés, comme les précédents, d'arcs de grand cercle allant du point 0' aux différents points critiques et de petits cercles décrits autour de ces points; mais rien n'empêche de regarder ces nouveaux lacets comme partant aussi de l'origine 0; il suffit de faire précéder chacun d'eux du demi-méridien OLO', et de le faire suivre du même demi-méridien O'LO en sens inverse. Par exemple, si un lacet partant du point 0' permute les deux racines u^ et wj , il est évident que le même lacet, complété comme nous l'avons dit, permutera les deux racines u^ et wp. Nous donnerons à ces nouveaux lacets ainsi complétés le nom de lacels de seconde espèce, et nous les distinguerons de ceux de première espèce, en accentuant la

182 LIVRE m. - CHAPITRE IV.

lettre qui indique le point critique. Remarquons que, quand deux lacets relatifs au même point critique et d'espèces différentes sont décrits dans le sens positif, le petit cercle est parcouru dans le même sens; car, dans les deux cas, l'aire du cercle doit être à gauche de l'observateur.

Soient

{«)|;,(a)|;,...,fa)|;,

les/? lacets binaires de première espèce qui se rapportent à un système de p racines se permutant circulairement autour du point critique a. Si l'on remonte la suite des lacets de première espèce à partir de l'entrée du lacet [a), successivement avec chacune des racines m^^, w^,,. • •» Wg^,, on arrivera à l'origine du circuit avec p racines différentes w„^, w„^,. . ., M„ ^ ; il en résulte que les/? lacets binaires entrent respectivement dans les/7 circuits

Le lacet de seconde espèce (a'), parcouru dans le sens positif, peut être remplacé par la ligne OABDO, ou par la ligne OABO suivie de la ligne OBDO. Si on le décrit avec la valeur initiale m„^, la ligne OABO, se ramenant à la première partie du circuit (C)^°, depuis l'origine du circuit jusqu'à la fin du lacet [a)l\, conduit à la racine w^^; la seconde ligne OBDO se ramenant à la première partie du circuit (C)";, depuis l'entrée du lacet {a)l\ jusqu'à l'origine du circuit en remontant, conduit à la racine m„^; le lacet de seconde espèce unit donc les deux racines "a„ et M„ -, on le représentera par («')";. En décrivant ce même lacet avec la valeur initiale w„^, on arrivera à la racine m„^, et ainsi de suite. On obtiendra de la sorte les/? lacets binaires de seconde espèce.

permutant circulairement les p racines m„^, w„, .., w„ . A chaque système circulaire de p lacets binaires de première espèce correspond ainsi un système de/? lacets binaires de seconde espèce.

Il résulte aussi de ce qui précède que les lacets de seconde espèce qui changent une racine déterminée u^ en une autre sont ceux qui correspondent aux lacets binaires de première espèce entrant effectivement dans le circuit (C)^.

PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉnNIES. 183

Les m circuits nous ont donné m relations entre les périodes, et nous avons vu que la somme des premiers membres est identiquement nulle. On ne peut avoir une somme identiquement nulle en ne prenant qu'une partie des équations. Supposons, en effet, que la somme des résultats fournis par les n circuits (C)», (C);,..., (C)"!^, n étant plus petit que m, soit identiquement nulle. Si un lacet binaire de première espèce (a)|j entre dans l'un de ces circuits, chacun des autres lacets binaires appartenant au même système circulaire entrera aussi dans l'un d'eux; ceci est nécessaire pour que la somme soit identiquement nulle. Soit Ma l'une quelconque des racines de la suite Wq» Mi»- • -, ««-i; les lacets de seconde espèce qui changent cette racine en une autre correspondent aux lacets de première espèce qui entrent dans le circuit (C)'; si {a)\\ est l'un d'eux, le lacet binaire suivant (a)|; du même système circulaire entre dans un autre des n circuits, par exemple dans (C)^; le lacet de seconde espèce changera la racine m^ en une autre Mp de la même suite. Ainsi, en partant du point 0' avec la même valeur initiale mJ, , quel que soit le chemin suivi par la variable, la fonction ne pourrait acquérir que n valeurs différentes u^ , m'. , . . ., m^,, ce qui est impossible, puisque l'équation proposée du degré m est supposée irréductible.

Cela posé, considérons les m relations entre les périodes, et négligeons la dernière qui est une combinaison des précédentes ; nous aurons un système de m — i équations linéaires et homogènes entre les périodes, ayant tous leurs coefficients égaux à + i ou à — i , et telles qu'une période n'entre que dans une équation ou dans deux avec des signes contraires. Soit w, un terme de la première équation , on en tirera la valeur de la période w, exprimée par une somme algébrique d'autres périodes; si elle n'entre pas dans les m — 2 autres équations, celles-ci formeront un système de m — 2 équations ne contenant pas w, et jouissant des mêmes propriétés que les précédentes; si elle entre dans une autre équation, on remplacera celle-ci par l'équation que l'on obtient en l'ajoutant à la première, membre à membre, et l'on aura encore un système de m— 2 équations ne contenant plus co< et jouissant des mêmes propriétés. Soit «a un terme de la première équation du second système; on en tirera la valeur de wj exprimée par une somme algébrique des périodes suivantes : si wj entre dans une autre équation, on remplacera celle-ci par l'équation que l'on obtient en l'ajoutant à la

première membre à membre, et l'on obtiendra un système de m — 3 équations ne contenant plus w, et wj et jouissant des mêmes propriétés. En continuant de la sorte, comme on n'arrivera pas à une identité, on sera conduit à une équation entre les périodes a),„,, w,„,. . ., qui donnera la période W;„, par une somme algébrique des périodes suivantes «m. '^m+t'--'- En remontant de proche en proche, on obtiendra les m — i périodes w,, wo.-» ^^hn-t exprimées par des sommes de multiples des autres périodes.

113. Appliquons les considérations précédentes à l'intégrale définie

Jo VG(2 — «0(2 — «0-- (2-«») Jo

u étant défini par l'équation du second degré

Marquons dans le plan les n points critiques a,, «2,..., a„ dans l'ordre où ils se présentent quand le rayon vecteur tourne dans le sens positif, et formons les lacets qui joignent l'origine à ces points critiques. Pour ^ = o, la fonction u a deux valeurs, u^ et m, = — Mo ; chaque lacet unit ces deux racines. Les deux valeurs de u deviennent infinies en chacun

des points critiques; mais, comme elles sont du degré - inférieur à

l'unité, l'intégrale conserve une valeur finie et acquiert deux valeurs différentes quand la variable z tourne autour de l'un de ces points. L'intégrale définie relative à l'un des lacets [a) se réduit à la partie relative à la droite Oa parcourue deux fois dans des sens contraires avec des valeurs de u égales et de signes contraires, et par conséquent à deux fois l'intégrale suivant la droite Oa. Si donc on appelle A,, Aa, . . . , A„ les intégrales définies relatives aux droites Oa<, Oa^, . . . , Oa„, décrites avec la valeur initiale Mq, les intégrales relatives aux lacets seront 2 A,, 2A2,..., 2A„. Le premier lacet servira de lacet fondamental, les autres avec le premier formeront n — i cycles simples, et produiront, par conséquent, n — i périodes

&)i = 2A1 — aAj, &)2 = 2A1 — 2A3, ..., &)„! = 2 Ai — 2A„.

Soit Vo l'intégrale définie relative à la droite qui va de l'origine à un point quelconque z du plan, quand on prend la valeur initiale Moî un chemin formé du lacet fondamental (a,) suivi de la droite Oz donnera 2 A, — Vo; car, après le lacet, la fonction w, ayant changé de signe, a en chaque point de la droite Oz une valeur égale et de signe contraire à celle qu'elle avait précédemment. On en conclut qu'à chaque valeur de z correspondent deux séries de valeurs de V, savoir V» et 2 A, — ¥„, augmentées de multiples quelconques des périodes. Pour z = «,, on a

et les deux séries de valeurs de V sont égales entre elles; pour z — a,» on a

V,= A„ 2A,— V, =: 2A,— Aj= Aj -+- 0), ,

et les deux séries de valeurs de V sont encore égales entre elles, etc. Si l'on pose z = — , « = vz'"^, on a

udz = — 1 vdz'y

G(i — a,z')(i — OiZ'). . .[i — a„z')

Lorsque n = 1, l'intégrale V n'admet qu'une périodes, = 2 A, — 2 As- Le point 0' sur la sphère , étant pôle de la fonction v, est un point critique logarithmique de la fonction V qui devient infinie en ce point;

il en résulte la période polaire-^- Le lacet (0') pouvant être remplacé par les deu< lacets successifs (a,) et (oa), on a

(d, = 7.A| — 2Aj := — -T^'

Quand n est plus grand que 2, la fonction V conserve une valeur finie sur toute la sphère. Lorsque n est impair, le point 0' est un point critique par rapport à la fonction v, et les n — j périodes sont distinctes. Mais, lorsque n est pair, le point 0' étant un point ordinaire, et l'in-

tégrale définie relative au lacet (0'), ou au circuit correspondant, étant

nulle, on a

d'où résulte la relation linéaire

entre les périodes, qui se réduisent k n — 2 périodes distinctes. Ainsi, pour n = 2n' — i et n= irl, le nombre des périodes est le même et égal à 27i' — 2. C'est ce qu'indique d'ailleurs la loi générale énoncée au n° 111 ; dans les deux cas, il y a sur la sphère 2/1' points critiques unissant chacun les deux racines de l'équation; on a donc N'= iri , et le nombre des périodes distinctes estN'— 2 — iri — 2.

C'est Cauchy qui a indiqué le premier d'une manière précise l'origine des périodes des intégrales définies (Comptes rendus, 1846). Nous nous sommes servis dans ce Chapitre du Mémoire de M. Puiseux sur les fonctions algébriques, que nous avons déjà cité (n° 34), et du livre de MM. Clebsch et Gordan sur les fonctions abéliennes (1866).