THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES FONCTIONS
Fonctions monotropes .
114. Théorème I. — Une fonction, holomorphe dans une certaine partie du plan y ne peut avoir toutes ses dérivées nulles en un point, à moins d'être constante dans cette étendue.
Nous avons démontré (n*^ 87) que, lorsqu'une fonction /(z) est holomorphe dans une partie A du plan, elle admet une infinité de dérivées
Fig. 60.
successives, qui sont toutes holomorphes dans la même étendue. Supposons que la fonction ait toutes ses dérivées nulles au point Zq situé dans cette partie du plan. Du point z^ comme centre décrivons un cercle
compris dans la partie A du plan [fig- 60); la fonction /(z) est développable, d'après la formule de Taylor, en une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de z — z^, et convergente dans ce cercle (n° 95). Si toutes les dérivées sont nulles au point Zq» 'a série se réduit à/(z) =/(zo); il en résulte que la fonction est constante dans le cercle, et par conséquent qu'en un point quelconque du cercle toutes ses dérivées sont nulles. D'un point z, pris à volonté dans le premier cercle, comme centre, décrivons un second cercle situé aussi dans la partie A du plan; on verra de même que la fonction /(z) est constante dans ce second cercle. En continuant ainsi de proche en proche, on démontrera que la fonction est constante dans toute l'étendue de l'aire A.
Corollaire. — Lorsqu'une fonction, holomorphe dans une certaine partie du plan, conserve une valeur constante sur une ligne, si petite quelle soit, elle est constante dans toute cette étendue.
Supposons que la fonction /(z), holomorphe dans la partie A du plan, conserve une valeur constante quand la variable z décrit la ligne ah située dans cette partie du plan. Prenons deux points voisins z»
et z, sur la ligne ab-, le rapport ~ — est nul; sa limite, quand
le point z, se rapproche de z^, est aussi nulle; ainsi la dérivée/' (z) est nulle en tous les points de la ligne ab. La seconde dérivée est nulle pour la même raison, et ainsi de suite. Toutes les dérivées étant nulles en un point Zo de la ligne ab, on en conclut que la fonction est constante dans l'aire A.
115. Théorème II. — Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie f nie du plan, chaque racine est d'un degré entier et fini, et leur nombre est limité.
Soit/(z) une fonction holomorphe dans la partie A du plan enveloppée par la courbe C; traçons à l'intérieur une courbe C voisine de C. Supposons que la fonction /(z) s'annule en un point a situé à l'intérieur de la courbe C; un certain nombre de dérivées successives peuvent être nulles en ce point; mais il est impossible qu'elles le soient toutes, car alors la fonction serait nulle dans toute l'aire A. Soit donc n l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas au point a; si du
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALi:S DES FONCTIONS. 189
point a comme centre [fig. 6i), on décrit un cercle compris dans la partie A du plan, la fonction proposée sera développable en une série
ou
/,„=(,.„,rj::i^^/::;!^„„,^.,.],
convergente dans ce cercle. Il en résulte que le quotient de /{z) par (z — a)", quotient que nous désignerons par <p(z), est dans le cercle une fonction holomorphe, ne s'annulant pas au point a; c'est aussi une fonction holomorphe dans la partie de l'aire A extérieure au cercle,
Fig. 6i. .
comme quotient de deux fonctions holomorphes, dont la seconde, {z — a)", ne s'annule pas. Ainsi la fonction /(z), holomorphe dans Taire A et s'annulant au point a, est égale au produit de {z — a)" par une fonction <p(z), holomorphe dans la même étendue et ne s'annulant pas au point a. On dira, d'après cela, que la valeur z = aesi une racine ou un zéro du degré n de la fonction /(s).
Dans le cercle précédent, dont nous appelons /s le rayon, la fonction (p{z) est représentée par la série convergente
92)= ■' H '^ — ■^—!- — Az — a) -f-....
On peut assigner un nombre p, égal ou inférieur à jO, tel que, pour toutes les valeurs de z — a dont le module est inférieur à p,, le module
du premier ternie soit plus grand que la somme des modules de tous les autres termes; il est clair que le cercle décrit du point a comme centre avec le rayon p, ne comprendra aucune racine de la fonction 9(2), et, par conséquent, ne comprendra aucune racine de la fonction /(z) autre que a.
Il en résulte que le nombre des racines situées dans l'aire A, enveloppée par la courbe C est limité. Supposons, en effet, que cette aire comprenne une infinité de racines; divisons-la en plusieurs parties d'une manière quelconque, l'une des parties Aj, au moins, comprendra une infinité de racines; subdivisons celle-ci en plusieurs parties; l'une d'elles A3, au moins, comprendra une infinité de racines; en continuant de la sorte, on formera une série indéfinie d'aires A,, A2, Ag,... de plus en plus petites, comprenant chacune une infinité de racines, et contenant chacune toutes les suivantes. Comme on peut mener les transversales de manière que toutes les dimensions de l'aire A„ tendent vers zéro, quand n augmente indéfiniment, il est clair que les aires ont pour limites un point déterminé z^ du plan; il serait impossible de décrire un cercle ayant pour centre ce point et ne comprenant aucune racine autre que le point z,.
C0ROLLA.1RE. — De l'égalité
/(2) = (2 — a)"^(z) on déduit
f'{z)=z{z - a)"-' [ncfiz] -f- (2 - a )c^'{z)] = (z - rO«-4^(z),
la fonction ^{z) étant holomorpbe dans l'aire A et ne s'annulant pas au pointa. On en conclut qu'une racine du degré n de la fonction proposée est racine du degré n — i de la première dérivée, du degré n— 2 de la seconde dérivée, etc.
116. Théorème III. — Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une certaine partie du plan, il est impossible qui! en un point situé dans cette partie du plan la fonction et toutes ses dérivées soient nulles.
Soit/(z) une fonction méromorphe dans la partie A du plan enveloppée par la courbe 0(^^.62); traçons à l'intérieur une courbe
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS. 49i
fermée G' voisine de G. Gonsidérons un point racine a situé à l'intérieur de la courbe G'; d'après la définition de la continuité, il est possible de décrire, de ce point comme centre, un cercle tel, qu'en tous
Fig. 6a.
les points intérieurs le module de la fonction soit moindre qu'un •^*^' W^Ip
nombre donné; ce cercle ne comprendra aucun pôle de la fonction. ****■
Supposons maintenant qu'au point a la fonction et toutes ses dérivées soient nulles. Du point a comme centre, avec un rayon égal ou inférieur à la distance du point a au pôle a le plus voisin, décrivons un cercle compris dans l'aire A; lafonclion/(5;), étant holomorphe dans ce cercle, serait nulle dans toute l'étendue du cercle. Si le rayon du cercle est égal à la distance du point a au pôle voisin a, on aurait un point racine aussi rapproché du pôle a que l'on voudrait, ce qui est impossible. Si le rayon est plus petit que cette distance, d'un point a' intérieur au cercle, avec un rayon égal ou inférieur à la distance du point a' au pôle le plus voisin, décrivons un second cercle compris aussi dans l'aire A; en s'avançant ainsi de proche en proche, on arriverait à un point racine aussi rapproché qu'on voudrait d'un pôle, ce qui est impossible.
117. Théorème IV. — Lorsqu une fonction est méromorphe dans une partie finie du plan, les racines et les pôles situés dans cette partie du plan sont chacun d*un degré entier et fini, et leur nombre est limité.
Gonservons les mêmes notations que dans le numéro précédent. Soit a un point racine situé à l'intérieur de la courbe G'; du point a comme centre, avec un rayon ^ égal ou inférieur à la distance du point a
au pôle le plus voisin, décrivons un cercle compris dans l'aire A; la fonction f{z) étant holomorphe dans ce cercle, et toutes les dérivées ne s'annulant pas au point a, la racine a est d'un degré entier et fini n, qui est l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas au point a (n« 115), et l'on a
f{z) = {z — aY(^{z),
f [z) étant une fonction holomorphe dans le cercle p et ne s'annulant pas au pointa; cette fonction (p(z), méromorphe dans l'aire A, a les mêmes pôles et les mêmes racines que la fonction f{z), excepté la racine a.
On peut, en outre, déterminer un nombre p, inférieur ou égal à p, tel que le cercle décrit du point a comme centre avec le rayon /5< ne comprenne aucune racine de la fonction (p{z), et l'on démontre, comme précédemment, que le nombre des racines situées dans la partie A du plan est limité.
Considérons maintenant la fonction ^t—j qui est méromorphe dans
l'aire A, comme la fonction /{z), et qui admet comme racines les pôles de celles-ci. Soit a un pôle de la fonction /(z); ce point est une racine
d'un degré entier et fini n de la fonction tv^» et l'on a
cp {z) étant une fonction méromorphe dans l'aire A, qui ne devient ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
{z-cc)"
la fonction ^{z), qui est égale à —r-.^ étant aussi méromorphe dans
l'aire A, et ne devenant ni nulle, ni infinie au point a. On dit, d'après cela, que la valeur z = a est un pôle ou un infini du degré n de la fonction /(z).
Puisque la fonction yr|— n'admet qu'un nombre limité de racines
dans l'aire A, il en résulte que la fonction/(z) n'admet qu'un nombre limité de pôles dans cette étendue.
118. Théorème V. ~ Une fonction f{z),méromorphe dans une partie finie A du plan, est égale à une fraction rationnelle^ plus une fonction holomorphe dans cette partie du plan.
La fonction /(:;) admet, dans l'aire A, un nombre fini m de pôles a, /3, y,... de degrés /^, /?, q, En vertu du théorème précédent, la
fonction
^{z) = [z-<xTf{z)
est holomorphe dans le voisinage du point a; elle peut donc se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z — a, convergente dans un cercle dont le centre est a, et l'on a
la fonction/, (z) étant holomorphe dans le cercle de convergence. On en déduit
tl>'(ci) . J/"-'(«)
La fonction/, {z) ainsi définie est méromorphe dans l'aire A, et admet les mêmes pôles que la fonction /(z), excepté le pôle a. De même la fonction
est holomorphe dans le voisinage du point /3; si on la développe en série, on a ,
la fonction / (s) étant holomorphe dans le cercle de convergence. On
en déduit
La fonction/2(z) ainsi définie est méromorphe dans l'aire A, et admet les mômes pôles que la fonction /( 5), excepté a et |3.
En continuant de cette manière, on arrive à une fonction/^ (^) holomorphe dans l'aire A, et l'on a
119. Remarques. — La fonction ^ [z) ne s'annulant pas au point a, il en résulte que le coeiïicient A,, de la première fraction qu\,se rapporte à ce point n'est pas nulle ; il en est de même des coefficients B^, . . . . Mais les autres coefficients A„,,. . ., A,, B^,,... peuvent être nuls.
Les coefficients A, , B, , . . . des fractions du premier degré sont ce que Cauchy appelle les résidus de la fonction/(s), relativement aux pôles a, |3, . . ., et il les désigne «par le symbole C [Anciens Eœercices, 1826). Ainsi
La dérivée/' [z) ne contenant pas de fractions du premier degré, tous ses résidus sont nuls.
Remarquons aussi que la fonction proposée peut se mettre sous la forme
■^^ ' (2— a)»(z — (3-)/'...' la fonction F (2) étant liolomorphe dans l'aire A.
120. Théorème VI. — Lorsqu une fonction f [z) est méromorphe dans
une partie du plan à contour simple , V intégrale définie
-■Çfi
z)dz.
prise sur le contour de l'aire ou sur une courbe intérieure infiniment voisine, dans le sens positif, est égale à la somme des résidus de la fonction relatifs aux pôles situés dans cette partie du plan.
Autour des pôles a, |3, y,... de la fonction, décrivons des cercles infiniment petits [fig. 63), et joignons-les au contour C de l'aire par
Fig. 63.
des transversales aa,, bb^, ce ; si l'on conçoit que l'on ait enlevé
les petits cercles, il reste une aire dans laquelle la fonction /(:;) est holomorphe, et dont le contour, parcouru dans le sens positif, c'està-dire dans un sens tel que l'observateur ait toujours à sa gauche l'aire elle-même, est la ligne fermée
«rt, a-i tti ahhi Ih b, bccx c-> c, ca.
En vertu du théorème du n** 82, l'intégrale prise le long de cette ligne est nulle. Les transversales, étant parcourues deux fois dans des sens contraires, donnent dans l'intégrale des résultats égaux et de signes contraires; on peut les supprimer. Il reste la courbe G parcourue dans le sens positif, et les petites circonférences parcourues chacune dans le sens négatif par rapport à l'aire du cercle. On en conclut que l'intégrale définie relative à la courbe C est égale à la somme des inté-
grales relatives aux circonférences infiniment petites, décrites chacune dans le sens positif par rapport à l'aire du cercle [fig. 64).
Évaluons maintenant les intégrales relatives à ces petites circonférences. Considérons, par exemple, l'intégrale relative à la circonférence dont le centre est le pôle a. Nous avons vu que
la fonction /, [z) étant holomorphe dans le cercle. Si l'on pose il vient
Les n — i premières intégrales sont nulles; la suivante a pour valeur 27r; quant à la dernière, puisque la fonction/, [z) est holomorphe dans le cercle, elle est aussi nulle. On a donc
^ f f{z)dz^A^.
Les intégrales, le long des autres circonférences, donnent pareille-
ment B,, G<,.. .. On en déduit
121. Lemme. — Lorsqu'une fonction f[z) est méromorphe dans une partie A du plan y le résidu de la fonction D \o^f{z) en chacun des points est égal à l'ordre de la fonction f[z) en ce point.
Il résulte du théorème IV que, quelle que soit la valeur de la fonction/(s) en un point t situé dans la pariie A du plan, il existe un nombre entier n, positif, négatif, ou nul , tel que le quotient
[z-tf
ne devienne ni nul, ni infini au point t\ ce nombre entier n est ce
qu'on appelle \' ordre de la fonction/(z) au point t. Lorsque la fonc-
tion/(z) n'est ni nulle, ni infinie au point /, l'exposant n ou Tordre,
en ce point, est égal à zéro; lorsqu'elle s'annule, l'ordre est positif;
lorsqu'elle devient infinie, l'ordre est négatif.
f iz) La fonction Dlog/(z) =''j^i quotient de deux fonctions méro-
morphes dans l'aire A, est aussi méromorphe dans cette partie du plan; ses pôles ne peuvent être que les zéros ou les infinis de f{z). Soit d'abord a un zéro du degré n de f{z), on a
/(z) = (2-fl)-cp(2),
la fonction f{z) he devenant ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
oj ^ 1 z ^ a 9(2)
Ainsi le point a est un pôle simple de la fonction D log/(2), et le résidu correspondant est n. Soit maintenant a un infini du degré p de/(z); on a
la fonction ^|^ {z) ne devenant ni nulle, ni infinie au point a. On en déduit
On en conclut que le point a est un pôle simple de la fonction Dlog/(2), et le résidu correspondant est — /?.
122. Théorème VII. — Lorsqu'une fonction f[z) est méromorplte dans une partie du plan, à contour simple, la somme des ordres de la fonction, dans cette partie du plan, est égale à V intégrale définie
~.Jï)\ogf{z)dz,
relative au contour de l'aire ou à une courbe infiniment voisine, prise dans le sens positif
Désignons par a l'un quelconque des zéros et par a l'un quelconque des infinis de la fonction /(^j; appelons n le degré du zéro, p celui de l'infini. Nous avons vu que la fonction Dlog/(z) admet comme pôles simples les points a et a, et que les résidus correspondants de cette fonction sont n et — p. Nous savons aussi que l'intégrale définie
^J^^-gfi
z)dz.
relative au contour C de l'aire, est égale à la somme des résidus de la fonction Dlog/(z), relatifs aux pôles de cette fonction situés dans cette partie du plan. On a donc
Remarque. — L'intégrale détlnie que nous venons de considérer est égale à la variation de la fonction — = \os,f{z), auand la va-
riable z décrit la courbe fermée G. Si l'on pose f(z) = rê\ on a
I Lr 0 log/(^) ^ Lr 4- Oi, — log/(^) == — -} : quand la variable z.
après avoir décrit la courbe C, revient au point de départ, le module r de la fonction /(^j reprend sa valeur primitive, et l'argoment devient S -f- ^kn, k étant un certain nombre entier; l'intégrale définie est donc égale au nombre entier^, et l'on a 2n — lp = k. Ainsi l'on peut énoncer le théorème précédent en disant que l'on obtient la somme des ordres . d'une fonction/(z), méromorphe dans une partie du plan, en divisant par 2 7: la variation de l'argument de la fonction sur le contour de l'aire.
On arrive directement à ce résultat en remarquant que, d'après le théorème IV, la fonction /(s) peut se mettre sous la forme
la fonction tp étant holomorphe dans la partie du plan considérée, et ne s'annulant pas. D'après le raisonnement du n'^ 21, la variation de l'argument de 9(2) sur la courbe C est nulle. Les variations des arguments des binômes (z — a)", .... {z — a)"'', . . . sont d'ailleurs respectivement égales à 2/i;r, . . . , — ^pn, .... Donc la variation de l'argument de /{z) sur la courbe C est égale à ii:(1n — Ip).
Lorsqu'une fonction /(s) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, la variation de son argument sur la courbe C se réduit à iitln, ce qui donne le nombre des racines situées dans cette partie du plan.
Les deux théorèmes précédents, qui ont une grande importance dans la théorie des équations, sont dus à Cauchy.
0 123. Appliquons cette méthode à l'équation
f{u) = a — Ç — zsinu -— o,
que l'on rencontre en Astronomie, et dans laquelle z est un nombre réel et positif, Ç une quantité réelle comprise entre o et tt. Cherchons le nombre des racines comprises dans le rectangle AA'B'B [fig. 65) formé par des parallèles AB, A'B' à l'axe O7, menées à des distances égales à mn et^à (m-h i);r, m étant un nombre entier, et par des parai-
lèles AA', BB' à Taxe 0^, à une distance très-grande h de part et d'autre. La variation tie l'argument de /(m) sur le contour du rectangle est
Fig.
égale à la somme de ses variations sur les quatre côtés. Sur les côtés AA', B'B, on a
u =: xqzbij
Zl
xi±.b fi—xizfb
f{u)=::X-i;Zpbi+-ie
La distance b étant très-grande, on peut réduire cette expression à son terme principal
Zl , . Zl
— e^e" ou e°e~^'.
pA /s. — xi
Sur le côté AA', x croissant de mn à (m + i)7r, l'argument de /(m) éprouve une variation égale à +;:; sur le côté B'B, x décroissant de [m + \)u à mxr, l'argument de /(a) éprouve encore une variation égale à 4- 7:. La somme des variations de l'argument sur les deux côtés opposés AA', B'B est donc + i%.
Sur le côté BA, on a
yniTi — c, 2(m7r — Ç) J ^
fin
mrz — Ç
et, en désignant par ô l'arsTument de ^>
lang0= — ■■ y —r^i^^-^'^)'
t: . . TT
Lorsque/ varie de -h oo à — x> , Targumentô varie de — - à H —
ou de H — k — ^» et, par conséquent, éprouve une variation égale
à + 7r ou à — 71, suivant que la quantité c — — —-y est positive ou négative.
Sur le côté A'B', comme y varie de — qo à h- go , la variation de Tar-
gument est égale à -h ;r OU à —;r, suivant que la quantité c'=
est négative ou positive. Mais, excepté lorsque m = o, le signe de c' est contraire à celui de c; la somme des variations de l'argument dey(M) sur les deux côtés opposés BA, A'B', est donc -+- 2 7r ou — 27r, suivant que la quantité c est positive ou négative. Dans le premier cas, qui se présente lorsque m est un nombre positif pair, ou négatif impair, la variation de l'argument sur le contour du rectangle est 4^» d'où l'on conclut que le rectangle comprend deux racines qui sont réelles ou imaginaires conjuguées; dans le second cas, qui se présente lorsque m est un nombre positif impair, ou négatif pair, la variation est nulle, d'où l'on conclut que le rectangle ne comprend aucune racine. Lorsque m = o, les deux quantités c et c' ayant le même signe, les variations sur BA et A'B' sont égales et de signes contraires, de sorte que la variation sur le contour du rectangle est égale à -h 2n; on en conclut que ce premier rectangle contient une seule racine, qui est réelle.
124. Théorème VIIL — La fonction S{z) n'a qu'une racine dans chaque parallélogramme (w, w').
Considérons le parallélogramme ABDG [fig. 66), dont le sommet A est un point quelconque z^ du plan, les sommets B et C les points ^o -t- w, Zf)-+-ui'. La fonction S{z-) étant holomorphe, le nombre des racines contenues dans le parallélogramme est égal , d'après le théorème pré-
cèdent, à l'intégrale définie
^.J'DlogQ{z)dz,
relative au contour du parallélogramme. La fonction @{z) admettant
la période w, ainsi que sa dérivée Q'{z), la fonction Dlog© {z) — "
yy [z)
reprend la même valeur aux points homologues des côtés opposés BD,
Fig. 66.
GA; ces côtés, étant parcourus dans des sens contraires, donnent dans l'intégrale des quantités égales et de signes contraires. D'autre part, si z désigne un point du côté AB, z + w' sera le point homologue du côté opposé DC, et l'on aura pour ces deux côtés
— . f [Dloge(2)-Dlog0(2-+w')]c/2.
2^^ t/AB
De la relation (n^'TS)
on déduit
e(z-f-co') = e -^'""^"'^ei^),
Dlog0(z-h &)'}=:- — +Dlog0(z),
et l'intégrale précédente se réduit à
dz = 1.
Ainsi tout parallélogramme, tel que ABDC, comprend une seule racine de la fonction 6, et cette racine est simple.
125. Corollaire. — Nous avons vu aussi (n'^TS) que la fonction 0(z) s'annule pour toutes les valeurs représentées par la formule
dans laquelle m et m' sont des nombres entiers quelconques. Supposons que le plan soit divisé en un réseau de parallélogrammes égaux ^ au précédent, et que le sommet A coïncide avec l'origine, la formule
donne un zéro z — placé au centre du parallélogramme ABDC;
comme on ajoute ensuite des multiples de w et to', elle en donne un placé au centre de chaque parallélogramme; puisque chaque parallélogramme ne comprend qu'un zéro, il s'ensuit que la formule représente tous les zéros.
La même conclusion s'applique aux quatre fonctions ô définies par les formules (5) du n° 74; les formules (9) du même numéro représentent tous les zéros de ces fonctions. On connaît ainsi tous les zéros et tous les infinis des trois fonctions elliptiques X(z), fJt(2), v(z) (n°76).
i26. Théorème IX. — Lorsqu une fonction est holomorphe dans toute rétendue du plan, et que son module reste moindre quune quantité déterminée^ cette fonction est constante.
Une fonction /(z), holomorphe dans toute l'étendue du plan, est développable en une série entière
et convergente, quelle que soit la variable z; les coefficients de la série sont donnés par la formule (n° 94)
u„=-^ r^" fire'")e-"''d9,
dans laquelle le rayon r est arbitraire. Si, sur la circonférence r, le module de la fonction/(z) reste moindre qu'une quantité déterminée M,
celui du coefficient M„ sera moindre que — -, comme on peut supposer le
rayon r aussi grand qu'on veut, on en conclut que le module de u^ est nul. Ainsi tous les coeffîcienls de la série, à partir du second, sont nuls, et par conséquent la fonction est égale à une constante Mo-
Ce théorème fondamental est dû à M. Liouville. On en conclut (\w'une
fonction, holomorphe sur toute la sphère, est constante. Il en résulte que, lorsqu'une fonction n'est pas constante, elle doit avoir sur la sphère un
|ou plusieurs points singuliers où elle cesse d'être holomorphe. Ainsi la fonction e' est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', qui est un point d'indétermination (n" 59).
127. Théorème X. — Lorsque deux fonctions, méromorphes dans toute rétendue du plan, admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré, leur rapport est une fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan; si, de plus, le module du rapport reste moindre quune quantité déterminée, le rapport est constant.
Soient /(2) et F(z) les deux fonctions proposées. Si a est un zéro commun, du degré /i, on a, d'après le théorème V,
f{z) = {z-aYS\{z), F(i;) = (z-a)"F.(2),
les fonctions /, (z) et ^k[z) étant holomorphes dans le voisinage du pointa, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut que le rapport
reste holomorphe dans le voisinage du point a. Si a est un pôle ou un infini commun, du degré n, on a, d'après le même théorème,
les fonctions/, (s) et ^\{z) étant holomorphes dans le voisinage du point a, et ne s'annulant pas en ce point; on en conclut encore que le rapport
■p / \ reste holomorphe dans le voisinage du point a. Le rapport jr—- est donc
une fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan.
Si le module de ce rapport reste moindre qu'une quantité déterminée, il résulte du théorème précédent que ce rapport est constant.
128. Théorème XI. — Toute fonction, holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', quelle admet comme pôle, est une fonction entière. *
Si l'on pose z = ,» la fonction proposée /(z) devient une fonction de z'y que nous désignerons par 9(2'). Cette fonction
est holomorphe par rapport à la nouvelle variable z\ excepté pour z' = o. Dire que sur la sphère le point 0' est pôle de la fonction/(z), c'est dire que, dans le plan des z', le point z' = 0 est pôle de la fonction <f(z'). D'après le théorème IV, il existe un nombre n, entier et fini, tel que le produit ^{z') = z'"(p(s') reste holomorphe dans le voisinage du point 0', et par conséquent dans un cercle décrit du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, sur le plan des z' \ cette fonction est développable en une série entière, convergente dans ce cercle, et l'on a
(l). (].(z') = Ao + A.z'4- A,2'* 4- . -H A.-.V"-' -i-2'"P,
en posant
De l'équation (i) on déduit
P, ,. A9 Ai A||i
"" T V ; 2'" z'"-' ■ ■ z' ou
Au cercle r décrit du point 0' comme centre sur le plan des z' correspond sur la sphère un cercle R, qui divise la surface de la sphère en deux zones, contenant, l'une le point 0, l'autre le point 0'; d'après l'équation (3), la quantité P est holomorphe dans la première zone; comme elle est représentée par la série (2) dans la seconde zone, elle est aussi holomorphe dans cette seconde zone; la quantité P est donc holomorphe sur toute la sphère, et par conséquent, en vertu du théorème IX, c'est une constante A„. On déduit de là, d'après l'équation (3),
/(z) = Ao2" 4- A, z«-' + . . . + A„.
Ainsi la fonction proposée est une fonction entière d'un degré égal au degré du pôle 0'.
129. Théorème XII. — Toute fonction , méromorphe sur toute la sphère y est une fraction rationnelle.
Supposons d'ahord que le point 0' soit un point ordinaire de la
fonction /(^j; si l'on pose z = — » cela signifie que la fonction/) ^)
est holomorphe dans un cercle décrit du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, sur le plan desz'; à ce cercle correspond sur la sphère un cercle R, qui divise la sphère en deux zones, comprenant, l'une le point 0, l'autre le point 0'; tous les pôles de la fonction /(z) étant situés sur la première zone, c'est-à-dire dans le cercle décrit du
point 0 comme centre avec un rayon égal à - sur le plan des z, d'après
le théorème IV, leur nombre est limité. Si le point 0' est un pôle, on peut, du point 0' comme centre, avec un certain rayon r, décrire sur le plan des z' un cercle qui ne comprenne aucun pôle de la fonction
f[^\ autre que le point 0'; tous les pôles de la fonction /(z) autres
que le point 0' sont donc situés dans le cercle décrit du point 0 comme
centre avec le rayon - sur le plan des z, et par conséquent leur nombre
est encore limité. Ainsi, dans tous les cas, une fonction méromorphe sur toute la sphère n'admet qu'un nombre limité de pôles.
Cela posé, désignons par a, |3, . . . les pôles de la fonction/(z) autres
que le point 0', par /i, /?, . . . leurs degrés; on peut, d'après le théorème V, déterminer des sommes de fractions simples, telles que la
différence
{z — oc.)"
soit holomorphe sur la première zone. Si la fonction proposée/(z) est holomorphe en 0', la fonction (^(z) sera holomorphe sur toute la sphère, et par conséquent ce sera une constante (n^ 126). Si le point 0' est pôle de /(^), ce sera un pôle du même degré de (p(^); cette dernière fonction, étant holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0', qu'elle admet comme pôle, est une fonction entière d'un degré égal à celui du pôle 0' (n° 128). Il résulte de là que la fonction /(^) est le quotient de deux fonctions entières, telles que l'excès du degré du dénominateur sur celui du -numérateur est égal à l'ordre de la fonction/(z) au point 0'.
Il est évident que la somme des ordres d'une fraction rationnelle sur toute la sphère est nulle. '
Fonctions polytropes.
130. Les fonctions algébriques, que nous avons étudiées dans le Chapitre II du Livre 1, constituent une première classe de fonctions polytropes; elles ont un nombre fini de valeurs pour chaque valeur de la variable, et n'admettent sur toute la sphère que deux sortes de points singuliers, savoir des pôles et des points critiques algébriques. j %si ^
Une équation /(z, u) = o, dont le premier membre est, non plus un ^ .JL^Jjij'^ j^^ polynôme entier en z et m, mais une fonction holomorphe des deux variables z et w, dans le voisinage des valeurs a et b, définit une fonction implicite u àe z qui jouit de quelques-unes des propriétés des fonctions algébriques. Nous remarquons d'abord que la racine b est d'un degré entier et fini de multiplicité, puisque/(z, u), où l'on regarde z comme une constante a, est une fonction holomorphe de u dans le
voisinage de la valeur 6 (n° 115). Le théorème sur la continuité des racines subsiste : si pour z = a l'équation a n racines égales à 6, pour une valeur de z voisine de a elle a n racines voisines de 6, et ces n racines forment un ou plusieurs systèmes circulaires; car on peut répéter ici les raisonnements que nous avons faits aux n°^ 28 et 32, Soient m,, Wg,.. ., w^ les p racines d'un système circulaire; quand la variable z tourne autour du point a, une branche de la fonction u acquiert successivement les/? valeurs u^, u.^,..., Up\ après/? tours, elle reprend sa valeur primitive u^ . Si l'on pose z = a -h ^', z' = z"p^ quand z" décrit une petite circonférence autour du point z" = o, z' décrit p circonférences autour du point z' = o, et par conséquent u reprend sa valeur primitive; on en conclut que u est une fonction holomofphe de z" dans le voisinage du point s"= o, et par conséquent est développable en une série entière par rapport à la variable z",
u — b=:Az"'i + 'Bz"i^' -i- ...
Les/? valeurs du système circulaire sont représentées par la même série
En particulier, si /? — i , la branche de la fonction u est holomorphe dans le voisinage du poipt a.
Supposons que le premier membre de l'équation proposée/(2, m) = o soit une fonction holomorphe des deux variables z et w pour toutes les valeurs finies de chacune d'elles. On obtient les valeurs finies de z pour lesquelles l'équation admet des racines égales en cherchant les valeurs de z et de M qui satisfont aux deux équations simultanées
fiz, n)-=rzO. r^ = O.
Dm
Lorsque, dans le voisinage d'une de ces valeurs de z, une racine n'est pas holomorphe, elle appartient à un système de racines qui se permutent autour de ce point, et il peut arriver qu'à un même point critique correspondent une infinité de systèmes circulaires de racines. L'analogie avec les fonctions algébriques cesse d'exister lorsqu'à
une valeur finie de z correspond une valeur infinie de m; car, si l'on pose M = — 5 l'équation ne se transforme pas en général en une équation entre z et u' ayant son premier membre holomorphe pour les valeurs de u' voisines de zéro. Ces valeurs de z sont, en général, non des pôles ou des points critiques algébriques, mais des points singuliers transcendants. L'analogie n'existe pas non plus pour les valeurs infinies
de z\ car, si l'on pose z—-—^ l'équation ne se transforme pas en général en une équation entre z' et m, ou entre z' et u', ayant son premier membre holomorphe pour les valeurs de z' voisines de zéro; de sorte que sur la sphère le point 0' est un point singulier transcendant.
Considérons, par exemple, l'équation sinw — z= o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de i; et de m pour toutes les valeurs finies de ces variables, et qui définit la fonction u = arcsin^, que nous avons étudiée au n** 62. Les deux équations simultanées
smu
z = o, --^- ÔU
ces M = O
sont satisfaites par les valeurs
am
m étant un nombre entier quelconque. A chacune des valeurs z = ± t correspondent une infinité de groupes de deux racines égales; on a ainsi deux points critiques z = ±i, autour desquels se permutent les deux racines d'un même groupe. Si l'on pose, en effet,
z = {—i)r{i — z'), u = (im-hi)- ~hu'.
l'équation devient
z' + CCS a'— I — o.
et, en développant en série,
à une valeur infiniment petite de z' correspondent deux valeurs infiniment petites de m', dont les valeurs approchées sont m'=\/2z''.
La fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z\ mais elle devient infinie quand z augmente indéfiniment. Si l'on pose
l'équation devient
2 sm —
le premier membre est indéterminé pour m' — o.
(j ^ 131. Revenons à l'équation
(i) f[u,z)=zu — Ç — 2sinM=;:o,
dans laquelle Ç est une quantité réelle. Nous avons vu (n" 123) que, lorsqije ^ est réelle, l'équation admet une infinité de racines; l'une d'elles se réduit à m r- Ç pour z = o\ on peut la développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z, d'après la formule de Lagrange (n** 97). Pour déterminer le rayon du cercle de convergence, il faut regarder z comme une variable imaginaire et u comme une fonction de z ayant la valeur initiale m == Ç pour z = o. On obtient les points critiques en joignant à l'équation précédente l'équation
ou
d'où l'on déduit
(3) M — Ç — lang^^ = o.
On reconnaît immédiatement que cette dernière équation admet une
solution réelle comprise entre mn et mn + -•, m étant un nombre
entier quelconque positif ou négatif, et, par conséquent, qu'elle a une
infinité de solutions réelles; la méthode dont nous avons fait usage au
n** 123 indique, en outre, qu'elle a deux racines imaginaires conjuguées,
dont la partie réelle est comprise entre les mêmes multiples consécutifs
de - que la quantité Ç. Autour de chacun des points critiques se per-
mutent deux racines de l'équation (i), puisque la dérivée y- n'est pas
nulle.
Considérons maintenant les deux racines imaginaires de l'équation (3); si l'on pose u = x -h yiy cette équation se décompose en deux,
cessa: -f- coshaj
ie\ L sinhir . ,
(5) i-4-cosh2j =— =2sm'j:.
Les valeurs dey étant égales et de signes contraires, on peut supposer y positive. En développant en série le premier membre de l'équation (5) suivant les puissances entières et positives de j, on voit que cette fonction croît avec y de zéro à l'infini; on en conclut que, dans les racines imaginaires de l'équation (3), la valeur de r est moindre que la racine positive de l'équation
, sinhar
