I-f-C0Sh2V

(6) jtanghj^i;

cette racine est/, = '»i997 L^ valeur correspondante de z, déduite

de l'équation (2), est

I cosj; coshr + /sina;sinhr

cosw CCS 2 a; 4- CCS h 2j^

et l'on a

mod z = 4 / ^-^ .

V sinh2j

Le second membre diminuant quand/ augmente, et la valeur de jetant comprise entre o et jo il en résulte que le module de z est compris entre i et la quantité

V smh2j, ^-^ ' '

Ainsi les deux points critiques fournis par les racines imaginaires de l'équation (3) sont compris, quelle que soitÇ, entre deux circonférences décrites de l'origine comme centre avec les rayons b et i; il est évident d'ailleurs que les points critiques fournis par les racines réelles sont extérieurs à cette dernière circonférence. On en conclut que, quelle que soit la valeur réelle attribuée à Ç, la série de Lagrange est convergente dans le cercle de rayon b.

Quand on attribue à Ç la valeur -? les équations (4) et (5) admettent

la solution £c = -» j = jo à laquelle correspond le point critique z = bi. Pour voir quelles sont les racines qui se permutent autour de ce point critique, posons z = z'i et m — - -hyi; l'équation (i) devient

^'' coshr '

la nouvelle fonction y ayant la valeur initiale / = o pour z' = o. L'équation différentielle

coshj "^

montre que, quand y est réelle et croît de o à y, , z' est aussi réelle et croît de o à è; on en conclut que, réciproquement, quand z' croît de o à è, y est réelle et croît de o à j, . La racine considérée se permute donc avec une autre autour du point critique z = bi, et, par conséquent, pour

Ç = -5 le cercle de rayon b est bien le cercle de convergence. Il est

clair que, si Ç a une valeur différente d'un multiple impair de -> le rayon du cercle de convergence est plus grand que b.

132. Théorème XIIL — Lorsque, dans une partie déterminée A du plan, une /onction u de z n'a pas de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques, et admet un nombre fini m de valeurs en chaque point, toute fonction entière symétrique de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans cette partie du plan.

Pour définir la fonction, on fait partir la variable z d'un point fixe s», la fonction ayant une valeur initiale u^ déterminée. Nous admettrons, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, que, excepté en certains points singuliers, la fonction est continue et a une dérivée, et, par conséquent, que, tant que la variable se meut dans une partie de l'aire A ne comprenant aucun point singulier, la fonction est holomorphe.

Supposons qu'il existe, dans la partie A du plan, un point critique algébrique a relativement à la branche de la fonction que l'on obtient en allant du point Zq à un point voisin de a par un chemin déterminé, c'est-à-dire un point a tel que, si la variable tourne ensuite autour de ce point, la branche de la fonction acquière, en chaque point voisin, un nombre limité/? de valeurs finies, peu dilTérentes les unes des autres, u^ ♦^oCA Ktt^XM^»^ et devenant toutes égales à une même quantité è, quand le point s se rapproche de a. Posons

la branche considérée de la fonction se reproduisant quand z' fait p tours et, par conséquent, quand z" reprend la même valeur, est une fonction holomorphe de z" pour les valeurs de z" voisines de zéro ; elle est donc développable en une série entière

et les p valeurs de la branche considérée de la fonction sont représentées par la même série

^< = 6 -f- Az'P 4-Bz' P -^ ...

Si l'on fait la somme des puissances semblables de ces p valeurs, les termes à exposants fractionnaires disparaissent, et il ne reste que des termes à exposants entiers; cette somme est donc une fonction holomorphe de z dans le voisinage du point a. Les mêmes choses se passent dans le voisinage de chacun des points critiques algébriques autour desquels se permutent des valeurs finies de la fonction.

Supposons maintenant qu'il existe un point critique a, tel qu'une

branche de la fonction acquière, quand la variable tourne autour de ce

point, /? valeurs très-grandes, et qui deviennent infinies au point a.

Posons

la branche correspondante de la fonction u' acquerra, dans le voisinage de ce point, p valeurs voisines de zéro ; et, d'après ce que nous avons dit, ces/? valeurs seront représentées par une même série convergente

u' = z'p[k'-hB'z'~P-h. ..);

il en résulte que les p valeurs de u seront représentées par une série de la forme

u = z'~p[A-hBz'P-h. . .).

La somme des puissances semblables de ces p valeurs ne contient encore que des exposants entiers; mais il peut y avoir au commencement de la série des termes à exposants négatifs; dans ce cas, le point a est un pôle de la somme, qui est alors une fonction méromorphe de z dans le voisinage de ce point.

Nous avons supposé en outre que la fonction u n'a qu'un nombre fini m de valeurs u,, u^,..., w,„ en chaque point; il résulte de ce qui précède que la somme des puissances semblables de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans l'aire A. On en conclut que toute fonction symétrique entière de ces m valeurs est une fonction méromorphe de z dans cette étendue.

133, Corollaire I. — Désignons par (p, (z) la somme des m valeurs m,, Ma,..., M^ de la fonction en chaque point, par 92 (^) la somme des produits des m valeurs deux à deux, et enfin par (p^ {z) le produit de ces m valeurs; ces fonctions symétriques sont des fonctions méromorphes de z dans l'aire A, et la fonction u de z est racine de l'équation

M"" — 9, ( 2 ) a'"-' 4- cp2 ( 2 ) M"'-- . . . ±: 9,,, ( z ) = o.

Lorsque l'aire A est finie, les fonctions méromorphes ç?< (z), 92 (-s), ..

peuvent être mises sous la forme

^0 [z] étant un polynôme entier, et ^t {z), tj^a (^). • • • des fonctions holomorphes dans l'aire A (n° 118), et l'équation devient

¥{z,u) = ^,{z)u'" — i^,{z)u'"-' -h^^izf-'.. ±^„{z) = o.

Son premier membre est une fonction entière de u et holomorphe de z dans l'aire A.

Les points où des racines deviennent infinies vérifient l'équation entière tj'o(^) = o- Les points où des racines finies deviennent égales sont donnés par les deux équations simultanées

rélimination de u conduit h une équation x{z) = o, dont le premier membre est une fonction holomorpbe de z dans l'aire A. On en conclut que le nombre des pôles et des points critiques situés dans Faire finie A est limité.

134. Corollaire II. — Nous appellerons, d'une manière générale, ordre de la fonction u en chaque point z l'ordre de la fonction

la fonction <pm(^) étant méromorphe dans l'aire A, cet ordre est entier. En tout point où aucune des m, valeurs de u ne devient nulle ou infinie, l'ordre est nul. Supposons qu'en un point critique a les/? valeurs m,. Ma».--. "/». qui composent un système circulaire, deviennent nulles, ces p valeurs seront représentées par une même série

m = zv(a+B2'^h-. ..),

et leur produit par une série entière

le point « est un zéro du degré - pour chacune des p valeurs du système

circulaire et du degré entier q pour leur produit. De même, si les/> valeurs d'un système circulaire deviennent infinies au point a, ces p valeurs seront représentées par la série

et leur produit par la série

le point a est un infini du degré - pour chacune des p valeurs du

système circulaire et du degré entier q pour leur produit. L'ordre du produit est, dans le premier cas, h- y; dans le second cas, — q.

Supposons que, sur la courbe C qui enveloppe l'aire A, chacune des m valeurs de la fonction u soit continue et différente de zéro ; la fonction <p,„(2) sera elle-même continue et différente de zéro. Nous savons, d'après le théorème YII, que la somme des ordres de la fonction méromorphe o,n[z) dans l'aire A est égale à la variation qu'éprouve la

fonction — ; log9;„(z) sur le contour C de l'aire, décrit dans le sens positif. On en conclut que la somme des ordres de la fonction u dans l'aire A est égale à la variation qu'éprouve sur ce contour la fonction —. log(M, Mj. . .M,„), OU la somme des fonctions

; logM, H -. logM, H H . log Un,,