Fonctions inverses. — Considérons l'équation

dans laquelle/(s) est une fonction méromorphe doublement périodique de l'ordre w, aux périodes w, w', et où nous regardons z comme l'inconnue. A chaque valeur finie ou infinie de u correspondent n séries de valeurs de z de la forme

(29) z, -h mw -+- m'oV, z, + m&) h- m'o/,. . ,, z„ -t- mo) + iw'w',

m et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Le premier membre de l'équation étant une fonction méromorphe de u et de z pour toutes les valeurs finies ou infinies de u et pour toutes les

valeurs finies de z, les racines jouissent des propriétés énoncées au n° 130. L'équation peut servir à définir une fonction implicite z de la variable u\ on fera partir la variable du point Wo> en attribuant à z une valeur inilialç z^ qui soit racine simple de l'équation; tant que z reste racine simple, elle est fonction holomorpbe de u. Supposons que, la variable u arrivant au point m, par un cbemin déterminé, z devienne égale à une racine multiple z^ du degré />; si l'on fait w = m, -t- m', z =^ z^-\- z'\ l'équation devient

On se trouve ici dans le cas simple examiné au n° 33: les/? racines voisines de z^ forment un système circulaire, et se permutent les unes dans les autres, quand la variable u tourne autour du point w,. Les mêmes propriétés subsistent quand la variable u devient infinie; car,

si l'on pose m = ^) le point u' = o est un point ordinaire ou un point

critique semblable aux précédents. Si donc on figure la variable u par le mouvement d'un point sur la spbère, on peut dire que sur toute la sphère il n'y a pas de points singuliers autres que des points critiques algébriques.

Les points critiques sont donnés par les équations simultanées

La seconde équation est satisfaite par n' séries de valeurs de z de la forme z^-\- m(ù -\- m' (xi\ auxquelles correspondent n' valeurs de u. Relativement à la variable w, il y a donc un nombre fini n' de points critiques; mais à chacun d'eux se rapportent une infinité de groupes de racines égales; car, s'il y a un groupe de/? racines égales à z,, il y a un groupe de/? racines égales à z, -i- mw ■+• m'w', m et m' étant des nombres entiers quelconques.

Quand la variable u, partant du point initial w»» décrit diff'érents chemins aboutissant à un même point u, la fonction z acquiert toutes les valeurs comprises dans les formules (29); car, lorsqu'on regarde z comme la variable, à des chemins allant du point z^ à ces diverses valeurs correspondent des chemins allant du point Uq au même point u.

Inversement, lorsque la variable u décrit ces derniers chemins, la fonction z décrit les premiers.

164. La considération de la fonction inverse permet de démontrer le théorème VII sans avoir recours à la formation des fonctions doublement périodiques à l'aide de la fonction 6. La fonction -^r-- > dans

laquelle u est une constante, étant doublement périodique, la somme des résidus de cette fonction relatifs aux pôles z,, z^,...^ z„, situés dans un parallélogramme élémentaire, est nulle (n° 148). L'un de ces résidus

est la limite vers laquelle tend la quantité ^ ' — - quand z tend vers z.; cette limite est -^r, — :• On obtient ainsi l'équation

Concevons maintenant que u varie d'une manière continue, sans passer

par aucun point critique; chacune des quantités z,, Zg,..., z^ variera .. w»^******

d'une manière continue et sera une fonction holomorphe de u dans une i^^^^^

dz I

certaine étendue ; il en est de même de leur somme C. Puisque -j-' = -?r7 — r'

^ du J'{zt)

l'équation précédente devient

</Ç dzt dz, dzn

du du du " ' ' du

On en conclut que la somme Ç reste constante.

Il peut se faire toutefois que, dans leurs variations, un ou plusieurs des points z^, Zj,..., z^ sortent du parallélogramme où ils étaient d'abord; en les remplaçant par les points homologues de ce parallélogramme, on augmente ou on diminue la somme de l'une des périodes.

165. Théorème XII. — Une fonction méromorphe doublement périodique /{z), aux périodes aw, w', de i' ordre 2/i, et qui satisfait à la relation f[z -h «) = — f{^)* ^*' "^^ fonction linéaire des quantités

XI \- z — (/.\i si les infinis a. sont simples t et, en outre, de leurs dérivées

si les infinis sont multiples.

Considérons le parallélogramme ABDC, dont le sommet A est un point arbitraire ^o» et les deux sommets B et G les points z^ + w, z^^-\- «'. Soit t un point situé à l'intérieur. La fonction

admettant les deux périodes u, w', la somme de ses résidus dans le parallélogramme ABDC est nulle, et Ton a Téquation

af^ étant l'un quelconque des infinis de la fonction /(z) situés dans le parallélogramme ABDC, moitié du parallélogramme élémentaire relatif à cette fonction; l'autre moitié renfermera les infinis «/, + w. Lorsque l'infini a^ de la fonction /(z) est simple, on a

l[ah-t)

en désignant par A/, le résidu de la fonction /(s). Si tous les infinis sont simples, l'équation (3i) devient

li = n

oc,}

Puisque les deux membres changent de signes quand on augmente t de 0), l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de t. En remplaçant /

par z, on a

Supposons maintenant que oc^ soit un infini multiple du degré/). En

posant z = Cf.,, -{- z' et développant en séries, on a

CT- -, r-^ = -/r>.(— +/-a/. — 2')

A[(Xh — t + Z ) \2 /

et l'on trouve pour le résidu cherché

+ (- 'K .-T-^'-:: — n i(f-n(^^t - aM

On obtient ainsi l'équation

1 +(.).-'^ ^ liP-^)('l+z-ccM,

qui est vraie pour toutes les valeurs de z.

166. Corollaire I. — Une puissance impaire de ^{z) est une fonction linéaire de\{z) et de ses dérivées d' ordres pairs .

La fonction X"'^'(z) change de signe quand on remplace z par s + oj; elle n'admet qu'un infini — au degré 2/ih-i dans le parallélogramme («, w'); on peut donc lui appliquer la formule (33). La fonction

étant impaire par rapport as', son développement en série ne con-

tient que des puissances impaires de z\ et l'on a

t Ajn-(-l Aj„i A|

On en déduit

(34) ^"'"'(^)^^rA.X(z)+^>.-(z) + ...+ ^""' A("')(z)1.

Remarquons que le coefficient A2„+, est égal à — ^•

Si l'on remplace z par z h — 7 il vient

167. Corollaire II. — Une puissance paire de \{z) est une fonction linéaire de ).'(2) et de ses dérivées d'ordres pairs.

La fonction

V^iz)

admettant les deux périodes w, w', la somme de ses résidus dans le parallélogramme ABDC est nulle. Le résidu relatif à l'infini double

z = t est — D,X^"(0- Pour trouver le résidu relatif à l'infini — du

degré 2n, nous poserons, comme précédemment, z — — h z'; d'où

— — -— r == k'i'it - z' ) = h'\ r-it) ~ - D,v{t) -f -- D]iHt) - . . .

^1 X'-'nn+ '];