I.2...(2Ai— 1) ' ^ '' J
le résidu est
l^ln~l ^ , V / 1.2.3' 1 .2. . .(2n — l) ' J
et l'on a l'équation
A'"-*!^! I.2.i ' I.2...(art l) ' 'J
Concevons maintenant que, après avoir multiplié les deux membres de cette équation par dt, on intègre en faisant varier / de o à s, sans passer par aucun pôle de X(z); on aura
(36) X»(.) = jjf.;,[c + ^>>(.)+^^DU.(.) + . .+ t:^*^t,I»'-^'(-)].
C étant une constante que l'on déterminera par la condition que le second membre s'annule pour z = o.
En remplaçant z par s + — ? on en déduit
168. Théorème XIII. — Une fonction méromorphe doublement périodique f[z), aux périodes w, w', est une fonction linéaire des quantités D \o^Q^(z — oi), si les infinis a sont simples, et, en outre, de leurs dérivées si les infinis sont multiples.
En vertu des relations (lo) et (ii) du n° 75, les quatre fonctions
impaires Dlog5(z) = -^j-^ admettent la période cj et éprouvent un
iTii
chacune d'elles satisfait à la relation
accroissement constant quand on remplace z par z + w'; car
Dlogô(z 4-6)') = - i!!^ + Dlog9(2).
On en déduit
DMogô (2 + w') = l)Mog0 (2).
Ainsi les quatre fonctions paires D^ \ogO {z) admettent la seconde période w'; ce sont des fonctions méromorphes doublement périodiques du second ordre, aux périodes w, w'. Chacune d'elles a un infini double qui est le zéro de la fonction correspondante 6. Considérons l'intégrale définie
^. Jf{z)DJoge,{z-t)dz,
relative au contour du parallélogramme ABDC, dont nous nous sommes servis dans les numéros précédents, et dans lequel nous marquons toujours un point t. Les deux côtés BD, CA donnent des résultats égaux et de signes contraires. Si z est un point de AB, le point homologue de CD est z -h &)', et l'on a
D,log0,(2- / + co') = 2iL^-f. D.log0.(z-/);
Cl)
l'intégrale définie se réduit donc à l'intégrale
suivant le côté AB; nous la représenterons par H.
Cherchons maintenant les résidus de la fonction/(z) D^ log5< {z — t) relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme. Ces pôles sont le point / et les infinis «^ ^^ 1^ fonction /(z). Le résidu relatif au pôle simple t est f{t), puisque le résidu de la fonction D^log^, {z — t) est égal à l'ordre de la fonction Qf{z-~t) en ce point (n'* 121), c'est-à-dire à l'unité. On a donc l'équation
(38) /(O-Vi /(2)D,log0,(z-O = H.
Lorsque l'infini a^^ est simple, le résidu cherché est
\/,'D,\og9,it— CCI,),
Aa désignant le résidu de/{z). Si tous les infinis sont simples, l'équation devient, en remplaçant t par s,
(39) f{z) = E+-\AHDAoge,{z-oc,.).
Supposons maintenant que la fonction/(2) ait un infini multiple (/.^ du degré p. En posant 2 = «/, H- z' et développant en série, il vient
D, loge, [t-oc,,-z') = î) logô, (/ - «a) — Y D^ logÔ. {t-a,.)-h...
^-^)^~'i...Mp-.j"^'^g^-(^-^^)
et le résidu cherché est
A*Dlog0,(/-aA)-^DMog0,(/-aA)H-...
On obtient ainsi l'équation
( f{z) = H +^ Fa? D log0,{ 2 - «a) - m D' logô. (5 - «a) + . . .
Il est facile de reconnaître que les seconds membres des équations (39) et (4o) admettent la période «', grâce à la relation 2Aj = o (n° 148), ce qui démontre que ces équations sont générales.
I ul' ( z) v^ l z) 169. Corollaire. — Chacune des fonctions ^tt-tj Ç77-T' yttH admet
les périodes w, «', et a un infini double a= o dans le premier parallélogramme ; ces fonctions étant paires, dans les développements en séries
le coefficient A, est nul ; on a d'ailleurs A, = — •, on obtient ainsi les
expressions
(4r) m^=:^JH.-DMog0.(.)],
En remplaçant z par l une des quantités z -\ , z + -» z h ;
et tenant compte des relations des n°* 75 et 77, on en déduit
'^'i^)= ^. [H-DHog9{z)],
(42) vMz)= -- [H.-DMog9(z)],
fc>
l-'i^)= ^ [H,-DMog0(z)];
^=^[H.-I)'log5.{.)];
(44) jîrfr)=?p5['*'-"''°8«''")]'
On a ainsi les carrés des trois fonctions elliptiques, de leurs réciproques et de leurs rapports deux à deux, ou, ce qui est la même chose, les carrés des rapports des quatre fonctions Q deux à deux.
On obtient les valeurs des constantes en faisant z = o dans la première des équations (/p), la seconde des équations (43) et la troisième des équations (44)- On trouve
,,., H-^"(^) H-^"^^^ u-Q"Ao)
(45) ^^WJ' '""ôTm' '~ôj^)'
Les deux théorèmes précédents sont dus à M. Hermite; le dernier joue dans les questions d'intégration le même rôle que la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples ; il permet d'exprimer l'intégrale d'une fonction doublement périodique quelconque à l'aide des fonctions Iog5,(z — a^) et de leurs dérivées. On a, par exemple,
(46) £'xM.)</z = ^[|^.-Dioge(.)].
Les fonctions S-.
170. Les zéros des quatre fonctions B, formées avec les deux constantes w, w', sont représentés par les formules
zéros de 01, ;; = mw + m'w',
» 0j, z = — h (/noj + m'o/),
» 0, z=^ 1- (mw H- m 0) ),
OÙ m et m' désignent deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs (n° 74). Les zéros de chacune d'elles sont les sommets d'un réseau construit sur les périodes w, «'. Imaginons que l'on forme avec deux autres constantes w,, (ù\ quatre nouvelles fonctions Q analogues aux précédentes. Pour que l'une des nouvelles fonctions ait les mêmes zéros que l'une des premières, il faut que les sommets des deux réseaux correspondants coïncident, et, par conséquent, que les deux systèmes de périodes (w, w'), («,, w'J soient équivalents (n" 14-4) ; ©n doit donc avoir
(i) Cf)i := ati) -+- 6&)', 0)', = a' M + 6' co',
les nombres entiers «, b, a', h' satisfaisant à la relation ah' — ba' = i \ nous prenons le déterminant égal à H- i, afin que dans le rapport —
le coefficient de i soit positif, ce qui est nécessaire pour la formation des nouvelles fonctions Q (n° 73). On en déduit les formules inverses
(2) M = b'(t), — b(ù\y &)' = — «'wi + aw', .
Lorsque cette condition est remplie, c'est-à-dire lorsque le système des deux périodes (ù^,u[ est équivalent au système w, o^', les quatre fonctions Q ont respectivement les mêmes zéros. Ceci est évident pour les deux fonctions désignées par ^, (z); comme elles ont un zéro commun z = 0, tous les sommets des deux réseaux correspondants coïncident, et, par conséquent, les deux fonctions ont les mêmes zéros. Les trois autres fonctions jouissent de la même propriété; mais ce ne sont pas nécessairement les fonctions homologues qui ont les mêmes zéros; cela dépend du choix des nombres entiers a, b, a\ b'. Remarquons d'abord, en vertu de la relation ab' — ba'= i, que, de ces quatre nombres, deux au moins sont impairs, savoir a et b\ ou b et a', et que les quatre ne peuvent être impairs. Remarquons ensuite que les nombres a-h a',b-\- b' ne peuvent être tous les deux pairs; car les deux nombres a et b', par exemple, étant impairs, il faudrait que les deux autres a' et b le fussent aussi, ce qui est impossible. En outre, des trois nombres a, a', a + a', deux sont impairs, un pair; de même, des trois nombres b, b\ b+ b', deux sont impairs, un pair. 11 résulte de là que les trois quantités
-- = a-+6— , -^ = a' - -h b' -■, - = (a'ha')- -\-(b + b') —
sont respectivement égales aux quantités -> — ? > augmentées de
multiples des périodes w, w', mais dans un ordre quelconque, et, par conséquent, que les trois fonctions ^a» ^» ^3 dans les deux systèmes ont les mêmes zéros. Supposons, par exemple, que a et b' soient des nombres impairs, b et a' des nombres pairs, on aura
on, &) Oi', (t)' (Ml H- w', &) + &)'
dans ce cas, les fonctions homologues ont les mêmes zéros. Mais si a
et h' étaient pairs, h et à impairs, on aurait
W, 6>' 6)', tù W, -!- w', &) + w'
la fonction 02 de chaque système aurait les mêmes zéros que la fonction 5 de l'autre, les deux fonctions $3 ayant d'ailleurs les mêmes zéros.
Cela posé, désignons, d'une manière générale, par ^ (z) une fonction du premier système, etpar<j;(z) la fonction du second système qui a les mêmes zéros. Une fonction intermédiaire, c'est-à-dire satisfaisant aux relations (1) du n° 146, par rapport aux périodes w, w', satisfait évidemment à des relations de même forme par rapport aux périodes équivalentes w,, w', . Il résulte aussi de la formule (iS) du n° 147, qui représente toutes les fonctions de cette espèce, que le rapport de deux fonctions intermédiaires, qui ont les mêmes zéros, est une exponentielle de la forme Ce^-'*^''. Ce rapport étant ici une fonction paire de z, le coefficient B est nul, et l'on a
Déterminons maintenant la constante A. De cette relation on déduit
D log4^(2) = 2 Az -f Dlog<p(z),
D[og4^(z -f- co,) = 2A(z -+- 0),) H- Dlog9{2 + w,)»
D log ^ \ , ^ ' = 2Aw.+ D log ^ , , ■• mais, en vertu des relations (10) et (12) du n° 75, on a
on en conclut A = — -^ et, par suite,
(3) v{/(z) = Ce ""' (p(z).
171. Parmi les systèmes de périodes équivalents au système primitif (w, w'), nous considérerons en particulier le système fo, = — w', 03', = w, que l'on obtient en faisant « = o, ^ = — i , a'= i , è' = o ; on a alors
,,. Oii 0) W, (ti &)! + &),
Les deux fonctions ^3 ont les mêmes zéros, ainsi que les deux fonctions 5^; la fonction Q de chaque système a les mêmes zéros que la fonction Q2 de l'autre. Nous désignerons par la lettre ^ les nouvelles fonctions ainsi obtenues, et nous disposerons les indices de telle sorte que les fonctions 6 et 3-, qui ont les mêmes zéros, soient affectées du même indice. Si donc on appelle 0< la fonction analogue à 0, et formée avec les nouvelles constantes, savoir :
on posera, comme au n" 74,
On peut appliquer aux fonctions 9- les formules et les relations établies pour les fonctions d, en mettant — w' et w à la place de w et w', et en ayant soin de remplacer Q et O.2 par ^2 et 3^. Si l'on appelle p la
quantité e '" — e "' , analogue à la quantité q, et ayant comme celle-ci
son module plus petit que l'unité, on aura, d'après les formules (8) du n° 74,
âi{z) = i-\-i y />"'cos — —1
â,[z) ^- 1 -i- 2 > ( - i)"/;" cos ^ ,
a, . V (-— y (2»- 1)7:2 â{z\ s-=2\p\ » /ces ,~^-~'i
Dans les applications, la première période w est réelle et positive, la seconde «' imaginaire et de la forme a)"i, w" étant une quantité réelle et positive; les quantités q etp qui entrent dans les séries sont réelles, positives et inférieures à l'unité; en outre la variable z est réelle; les formules (8) du n°74 contiennent des sinus et des cosinus ordinaires, les formules précédentes des sinus et des cosinus hyperboliques.
