Les relations (10) et (11) du n° 75 deviennent

â,{z-h(o'} = -Mz);

I mi â,(z-h(o)^-- -e "■ 53(3),

5,(z-f-w) = e "' âtiz),

D'après le corollaire du n° 150, les fonctions & sont, abstraction faite

<jgg LIVRE IV. - CHAPITRE III.

d'un facteur constant, les seules qui satisfassent aux relations pré-

cédentes.

On a aussi

lO

(lO

\ xtn'Kzi

^3 Iz -h mwj = /?-'"' 6 "' M^)»

â, Iz + mwj = (- irp-'"'e "' Mz),

pntn zi

/ \ •" zi

173. En vertu de la relation (3) du n° 170, les deux fonctions ^3 (z), &j (2), qui ont les mêmes zéros, satisfont à la relation

â,[z)=zC^ Q,{z).

En remplaçant z par z + -j z h — 1 z + — ^î on en déduit

^ ^ 6(2) /0,{2r Ô,iz) 03(2)

Les formules (18) du n° 76, qui définissent les fonctions elliptiques, deviennent

^'^^ ^^"^^^^' '^(^^^VxJ(^' ^(^)==v/^yû)-

On en déduit et Ton a

{16) â,io)=~-i + i^p''\ 5,(0) = 1 + 2 ^(- !)";>-', 5(o)=2^;>^ ' ^

Le module ^ et le module complémentaire k' sont exprimés en fonction de p au lieu de l'être en fonction de q. Le multiplicateur g est donné par la formule

Nous déterminerons plus tard la constante C. / 3 *i,o.